人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一《3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（2）》教案

1、3.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)（2） 本節(jié)課選自2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第三章圓錐曲線的方程，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)拋物線的簡單幾何性質(zhì)拋物線的簡單幾何性質(zhì)是人教A版選修2-1第二章第四節(jié)的內(nèi)容。本節(jié)課是在是在學(xué)習(xí)了橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過類比學(xué)習(xí)拋物線的簡單幾何性質(zhì)。拋物線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)內(nèi)容。坐標(biāo)法的教學(xué)貫穿了整個(gè)“圓錐曲線方程”一章，是學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)掌握的基本數(shù)學(xué)方法 運(yùn)動(dòng)變化和對(duì)立統(tǒng)一的思想觀點(diǎn)在這節(jié)知識(shí)中得到了突出體現(xiàn)，我們必須充分利用好這部分教材進(jìn)行教學(xué).課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.掌握拋物線的幾何性質(zhì)及其簡單應(yīng)用B.掌握直線與拋物線的位置關(guān)系的

2、判斷及相關(guān)問題C. 掌握拋物線中的定值與定點(diǎn)問題1.數(shù)學(xué)抽象：拋物線的幾何性質(zhì) 2.邏輯推理：運(yùn)用拋物線的性質(zhì)平行 3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：拋物線中的定值與定點(diǎn)問題 4.直觀想象：拋物線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用重點(diǎn)：拋物線的簡單幾何性質(zhì)及其應(yīng)用 難點(diǎn)：直線與拋物線位置關(guān)系的判斷 多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)問題導(dǎo)學(xué)拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)圖形范圍x0,yRx0,yRy0,xRy0,xR對(duì)稱軸x軸x軸y軸y軸標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)焦

3、點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程頂點(diǎn)坐標(biāo)O(0,0)離心率e=1二、直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線l:y=kx+m,拋物線:y2=2px(p0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.(1)若k0,當(dāng)0時(shí),直線與拋物線相交,有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)=0時(shí),直線與拋物線相切,有一個(gè)切點(diǎn);當(dāng)0時(shí),直線與拋物線相離,沒有公共點(diǎn).(2)若k=0,直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.因此直線與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.二、典例解析例5.過拋物線焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，通過點(diǎn)A和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，求證：

4、直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸【分析】設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y22px（p0）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）直線OA的方程為：，可得yD設(shè)直線AB的方程為：myx，與拋物線的方程聯(lián)立化為y22pmp20，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得可得yDy2即可證明【解答】證明：設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y22px（p0）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）直線OA的方程為：，令x，可得yD設(shè)直線AB的方程為：myx，聯(lián)立，化為y22pmp20，yDy2直線DB平行于拋物線的對(duì)稱軸例6. 如圖，已知定點(diǎn)B a,-h, BCx軸于點(diǎn)C, M是線段OB上任意一點(diǎn), MDx軸于點(diǎn)D, MEBC于點(diǎn)E, OE與MD相交于

5、點(diǎn)P，求P點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)點(diǎn)P x,y, M x,m,其中0 xa,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為a,m有題意，直線OB的方程為y=-bax 因?yàn)辄c(diǎn)M在OB上，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入，得m=-bax, 所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿足直線OE的方程為y=max因?yàn)辄c(diǎn)P在OE上，所以點(diǎn)P的坐標(biāo) x,y滿足將代入，消去m得，x2=-a2hy(0 xa), 即P點(diǎn)的軌跡方程。例6中，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為A，則方程x2=-a2hy(0 xa), 對(duì)應(yīng)的軌跡是常見的拋物拱AOB.拋物拱在現(xiàn)實(shí)生活中有許多原型，如橋拱、衛(wèi)星接收天線等，拋擲出的鉛球在天空中劃過的軌跡也是拋物拱一部分。例7. 已知?jiǎng)訄A經(jīng)過定點(diǎn)D(1,0),且與直線x

6、=-1相切,設(shè)動(dòng)圓圓心E的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程.(2)設(shè)過點(diǎn)P(1,2)的直線l1,l2分別與曲線C交于A,B兩點(diǎn),直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ).證明:直線AB的斜率為定值.思路分析:(1)由拋物線的定義可知E的軌跡為以D為焦點(diǎn),以x=-1為準(zhǔn)線的拋物線;(2)設(shè)l1,l2的方程,聯(lián)立方程組消元解出A,B的坐標(biāo),代入斜率公式計(jì)算kAB.(1)解:動(dòng)圓經(jīng)過定點(diǎn)D(1,0),且與直線x=-1相切,E到點(diǎn)D(1,0)的距離等于E到直線x=-1的距離,E的軌跡是以D(1,0)為焦點(diǎn),以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線.曲線C的方程為y2=4x.(2)證明:設(shè)直線l1的方程為y=k(x

7、-1)+2.直線l1,l2的斜率存在,且傾斜角互補(bǔ),l2的方程為y=-k(x-1)+2.聯(lián)立得方程組y=k(x-1)+2,y2=4x,消元得k2x2-(2k2-4k+4)x+(k-2)2=0.設(shè)A(x1,y1),則x1=(k-2)2k2=k2-4k+4k2.同理,設(shè)B(x2,y2),可得x2=k2+4k+4k2,x1+x2=2k2+8k2,x1-x2=-8kk2=-8k.y1-y2=k(x1-1)+2-k(x2-1)+2=k(x1+x2)-2k=2k2+8k-2k=8k.kAB=y1-y2x1-x2=-1.直線AB的斜率為定值-1. 定值與定點(diǎn)問題的求解策略1.欲證某個(gè)量為定值,先將該量用某變

8、量表示,通過變形化簡若能消掉此變量,即證得結(jié)論,所得結(jié)果即為定值.2.尋求一條直線經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)的常用方法:(1)通過方程判斷;(2)對(duì)參數(shù)取幾個(gè)特殊值探求定點(diǎn),再證明此點(diǎn)在直線上;(3)利用曲線的性質(zhì)(如對(duì)稱性等),令其中一個(gè)變量為定值,再求出另一個(gè)變量為定值;(4)轉(zhuǎn)化為三點(diǎn)共線的斜率相等或向量平行等.跟蹤訓(xùn)練1. 已知拋物線的方程是y2=4x,直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).(1)若弦AB的中點(diǎn)為(3,3),求直線l的方程;(2)若y1y2=-12,求證:直線l過定點(diǎn).解:(1)因?yàn)閽佄锞€的方程為y2=4x,則有y12=4x1,y22=4x2,因?yàn)橄褹B的

9、中點(diǎn)為(3,3),所以x1x2.兩式相減得y12-y22=4x1-4x2,所以y1-y2x1-x2=4y1+y2=23,所以直線l的方程為y-3=23(x-3),即y=23x+1.(2)當(dāng)l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y=kx+b,代入拋物線方程,整理,得ky2-4y+4b=0,y1y2=4bk=-12,b=-3k,l的方程為y=kx-3k=k(x-3),過定點(diǎn)(3,0).當(dāng)l的斜率不存在時(shí),y1y2=-12,則x1=x2=3,l過定點(diǎn)(3,0).綜上,l過定點(diǎn)(3,0).通過，回顧拋物線的幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，幫助學(xué)生整理知識(shí)。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)。 通

10、過典例解析，綜合運(yùn)用拋物線幾何性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。 通過典型例題，提升學(xué)生綜合運(yùn)用能力，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素通過典型例題，幫助學(xué)生掌握拋物線中的定值與定點(diǎn)問題，提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模，數(shù)形結(jié)合，及方程思想，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1若拋物線y22x上有兩點(diǎn)A，B且AB垂直于x軸，若|AB|2eq r(2)，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為()Aeq f(1,2) Beq f(1,4) Ceq f(1,6) Deq f(1,8)【答案】A線段AB所在的直線的方

11、程為x1，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，0)，則焦點(diǎn)到直線AB的距離為1eq f(1,2)eq f(1,2).2若直線xy2與拋物線y24x交于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是_. 【答案】(4,2)由eq blcrc (avs4alco1(xy2,y24x)得x28x40，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x28，y1y2x1x244，故線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)3設(shè)直線y2xb與拋物線y24x交于A，B兩點(diǎn)，已知弦AB的長為3eq r(5)，求b的值【答案】由eq blcrc (avs4alco1(y2xb，,y24x，)消去y，

12、得4x24(b1)xb20.由0，得beq f(1,2).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)則x1x21b，x1x2eq f(b2,4).|x1x2|eq r(x1x2)24x1x2)eq r(12b).|AB|eq r(122)|x1x2|eq r(5)eq r(12b)3eq r(5)，12b9，即b4.4.過拋物線的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的弦交拋物線于A、B兩點(diǎn)。(1)求證:A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積,縱坐標(biāo)之積分別為定值(2)證明：直線AB過定點(diǎn)；解：設(shè)A（x1,y1），B（x2,y2），中點(diǎn)P（x0,y0） OAOB kOAkOB=-1 x1x2+y1y2=0 y12=2px1，y22=

13、2px2 y10，y20 y1y2=-4p2 x1x2=4p2y12=2px1,y22=2px2（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)直線AB： AB過定點(diǎn)（2p,0）.5.如圖,已知直線l:y=2x-4交拋物線y2=4x于A,B兩點(diǎn),試在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P,使PAB的面積最大,并求出這個(gè)最大面積.思路分析:先求出弦長|AB|,再求出點(diǎn)P到直線AB的距離,從而可表示出PAB的面積,再求最大值即可.解:由y=2x-4.y2=4x,解得x=4,y=4或x=1,y=-2.A(4,4),B(1,-2),|AB|=35.(方法1)設(shè)P(x0,y0)為拋物線AOB這段曲線上一點(diǎn),d為

14、點(diǎn)P到直線AB的距離,則有d=|2x0-y0-4|5=15y022-y0-4=125|(y0-1)2-9|.-2y04,(y0-1)2-90.d=1259-(y0-1)2.從而當(dāng)y0=1時(shí),dmax=925,Smax=1292535=274.因此,當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為14,1時(shí),PAB的面積取得最大值,最大面積為274.(方法2)由y=2x-4,y2=4x,解得x=4,y=4或x=1,y=-2.A(4,4),B(1,-2),|AB|=35.設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4t2,4t),點(diǎn)P(4t2,4t)在拋物線AOB這段曲線上,-24t4,得-12t1.由題意得點(diǎn)P(4t2,4t)到直線AB的距離d=|8t2-4t-4|5=452t-142-98.當(dāng)t-12,1時(shí),2t-142-980,d=4598-2t-142,當(dāng)t=14時(shí),dmax=4598=925.此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為14,1,SPAB的最大值為12|AB|dmax=1235925=274.(方法3)設(shè)y=2x+m是拋物線y2=4x的切線方程.由y=2x+m,y2=4x,消去x,并整理,得y2-2y+2m=0.=4-8m=0,m=12.此時(shí),方程為y2-2y+1=0,解得y=1,x=14,P14,1.此時(shí)點(diǎn)P到直線y=2x-4的距離d最大(在