彈性力學課程學習指南

1、彈性力學課程學習指南第一章緒論彈性力學是研究載荷作用下彈性體中內力狀態(tài)與變形規(guī)律的一門科學，彈性體是指在卸載后能完全恢復其初始形狀和尺寸的物體。事實上，各門力學之間有著深刻的聯(lián)系，正確認識它們之間的相同與不同之處，這樣在學習彈性力學的過程中便能達到事半功倍的效果。各個學科的研究對象與適用范圍如下表所示：力學學科研究對象適用范圍理論力學剛體非變形體材料力學彈性桿件線彈性、小變形等彈性力學彈性體線彈性、小變形等結構力學彈性桿件系統(tǒng)小變形等流體力學流體理論力學：理論力學和材料力學是我們學習彈性力學的基礎。平衡方程和應力邊界條件這些基本控制方程的簡單性體現(xiàn)在理論力學，而它們的豐富內涵則體現(xiàn)在彈性力學。

2、而動力學部分，彈性力學的運動微分方程根理論力學的達朗貝爾原理有著相通之處。彈性力學以彈性體應力和變形作為研究對象，對理論力學來說是一個非常大的跨越；而工程中結構的破壞大多是由于內部的應力或應變超過了所能承受的限度，彈性力學更能指導工程建設。材料力學：材料力學從簡單的拉壓變形開始一直到復雜的組合變形，為我們建立了應力和應變、應力狀態(tài)和應變狀態(tài)的概念，這些也是我們學習彈性力學的基礎。材料力學主要研究桿狀結構在拉、壓、剪切、彎、扭作用下力學分析；而彈性力學所研究的問題則非常廣泛，包括桿系、板殼、實體等結構的力學分析，能解決非常復雜的工程實際問題。材料力學中最重要的平截面假定是非常強的，而彈性力學中摒

3、棄這一假定，其基本假定為：連續(xù)性假定（即連續(xù)介質）、均勻性假定（即認為物體由同一類型材料均勻組成）、各向同性假定（采用各向同性的本構關系）、線彈性假定（外力與變形線性變化）、小變形假定、無初應力假定。彈性力學解要更準確，但同時求解也更加復雜。例如，以均布壓力作用下梁的彎曲問題為例，材料力學給出的梁的彎曲應力為Mc=y,c=0 xIy2y其中M為彎矩，I為截面慣性矩；而彈性力學的解答為1+其中q為均布力大小，h為截面高度；可見彈力的解能滿足應力邊界條件，是精確的解，而材力給出的為近似解。流體力學：流體力學跟彈性力學也有著非常密切的關系，二者的研究對象流體和彈性體都是宏觀意義上的連續(xù)介質，可以認為

4、它們都是連續(xù)介質力學的分支。當然流體與固體內在屬性是不同的，流體不能承受拉力，在靜止狀態(tài)下也是不能承受剪力的，由于這些原因，這兩個學科處理問題的出發(fā)點和方式也是不同的，關于這方面更詳細的了解可以參考連續(xù)介質力學類教材。第二章張量分析張量分析是研究張量和以張量為自變量的函數(shù)的性質和運算規(guī)則的數(shù)學工具。而張量是不依賴與坐標系的選擇而改變的不變量。已知物理量的大多數(shù)都可以表示未張量；如時間、長度、溫度、質量等基本物理量，是0階張量，也稱為標量；位移、速度、加速度、力等物理量則是1階張量，也稱矢量；而我們彈性力學中的應力、應變等量則是2階張量；描述一種材料彈性性質的彈性張量則為4階張量?？傊畯埩科毡榇?/p>

5、在，而且在各個學科，特別是連續(xù)介質力學，有著廣泛的應用。張量憑借其嚴密的理論基礎，非常簡潔的表達形式，現(xiàn)在已經(jīng)成為大多數(shù)現(xiàn)代應用力學文獻的基本語言。因此掌握張量不光對我們彈性力學的學習非常有幫助，而且也會使我們閱讀文獻變得更加容易。張量的簡潔性毋庸置疑，如笛卡爾坐標系下的平衡微分方程可以表示為：do比Qt石+斗+注+f=0TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark12 QxQyQzxQtQoQt HYPERLINK l bookmark16 密+y+密+f=0QxQyQzyQtQtQo HYPERLINK l bookmark20 zx+徑+z+f=0QxQyQzz而

6、用張量指標符號可表示為O+f二0ji,ji在張量的學習過程中，首先要掌握張量的基本概念、愛因斯坦求和約定。如果在表達式的某項中，某指標重復地出現(xiàn)兩次，則表示要把該項在該指標的取值范圍內遍歷求和（即愛因斯坦求和約定）。重復的指標稱為啞標，在書寫張量方程時要注意，某項中某個指標最多只能出現(xiàn)兩次，如o二0便不是一個正確的ii,i張量方程；另外只出現(xiàn)一次的指標為自由指標，要注意的是一個方程中各項的自由指標必須相同，否則就是一個錯誤的張量方程。可以通過做題加深對張量的理解。另外有兩個非常重要的張量5（單位張量）和e（置換張量）是需要我們ijrst掌握和理解的；5和e分別于矢量代數(shù)中的點積和叉積有關，即i

7、jrstee=5ijija,b,c=a-（bxc）=e.bcijkijk其中e.為單位矢量，a,b,c為任意矢量。i同樣還可以用置換張量來表示三階行列式的值aaa111213aaa=aaa+aaa+aaaaaaaaaaaa212223112233213213311223312213211233113223aaa313233=eaaa=eaaaijki1j2k3ijk1i2j3ke5恒等式為ee=5555ijkistjsktksjt退化形式為ee=25ijkrjkiree=6ijkijk另外一個非常重要的知識點是坐標與坐標轉換，實際問題中我們可能知道一個坐標系下的應力或者應變分量，需要求其在其他

8、坐標系下應力應變分量，用張量進行處理則會非常簡單，而且也比較方便得到應力應變的主值。通過坐標轉換也可以比較容易得多柱坐標或者球坐標系的平衡方程、幾何方程。關于坐標轉換的詳細內容可參考課本或者課件。第三章應力理論本章要掌握外力、內力與應力的基本概念。應力有名義應力與真實應力之分，但是彈性力學主要研究小變形問題，因此二者并無差別。本章介紹了應力分量轉換、主應力、應力不變量等內容，需要具有一定的張量知識。另外通過對微元體的平衡分析可以得到彈性力學的平衡微分方程o+f二0ji,ji有一點需要注意的是，在對微元體列平衡方程時參與平衡的量一定是力而不能是應力?？挛鞴?即面力邊界條件)是本章非常重要的一個

9、知識點，其公式如下p=v-CT其中p為面力矢量，V為法向單位矢量，o為應力張量。在實際問題中要求我們能夠快速、正確寫出系統(tǒng)的邊界條件。第三章應變理論本章用運動學觀點研究物體的變形。在連續(xù)介質力學中有兩種描述位移的方法：拉格朗日描述法：以物體變形前的初始構型B為參考構型，質點變形前的坐標a=(a,a,a)為基本未知量。將變形后物體的位置x表示為a,a,a的函數(shù)i123123x=x(a),x=x(a,a,a)ii123歐拉描述法：以物體變形后的新構型B為參考構型，質點變形后的坐標X=(X,X,X)為基本未知量。將變形前物體的位置a表示為X,X,X的函數(shù)i123123a=a(x),a=a(X,X,X

10、)ii123變形梯度為Fda變形梯度是非常重要的一個物理量。借助于變形梯度，我們可以寫成格林應變張量變形梯度的表達式也可寫為該式是非常重要的一個公式，即包含大小又有方向的變化dxda,v一dSdS)T(F-v)-(dS)2C-Ft-F-v)2Gs+Xe8ijkkijvdSF-vdS,v0n(dS)(dS)(F-v00認清這一點，可以很方便的求解伸長比與變形后線元的方向第四章本構關系本章中比較重要的兩個知識點是廣義胡克定律和應變能密度。廣義胡克定律：1+vvij=Ecij-Eckk廠cij在本構關系的應用中要注意平面應變與平面應力的區(qū)別，沒有應力不代表該方向沒有應變，反之也是如此。彈性力學中研究

11、的是線彈性體，因此總可以找到一個應變能密度函數(shù)W(s.)使dWW(s)jeijcds,Qij0ijijijdsij在線彈性小變形情況下，可以將應變能密度展開為1Wicss2ijklijkl其中c.“為4階彈性張量。ijkl借助于應變能密度表達式和應力應變張量的對稱性，我們可以很容易得到彈性張量的對稱性C=C=CC=Cijkljiklijlkijklklij第六彈性理論的微分提法、解法及一般原理本部分內容首先給出彈性理論的微分提法，把彈性力學問題歸結為偏微分方程的邊值問題。學好本章的內容后，再學習平面問題，必然會比較容易?？刂品匠淌菑椥粤W的基石首先，給出笛卡爾坐標系下的彈性力學控制方程平衡方程

12、b+f二0ij,ijGV2u+(G+1)0+f=0i,iiII物理方程ij其中，剪切彈性模量Gb8,b=2G+九5EijEkkijijijkkij，梅拉常數(shù)九=EV2(1+v)(1+v)(1-2v)III幾何方程=(U+U)cij2i,jj,i(b)n=fijsji其中應力邊界S與位移S滿足SIS=0.bubu以上各式共同組成了彈性力學的基本體系(u)uisi一些討論：1)一般地，i,j=1,2,3，即為空間問題，共15個未知量，15個控制方程,方程組封閉.若b=0,t=t=0，則問題蛻化為平面應力問題，若zzxzy=0,t=t=0，問題轉化為平面應變問題zzxzy此外，彈性力學問題總是超靜定

13、問題，因此需要聯(lián)立平衡方程、物理方程、幾何方程方能求解。2)對于平面問題，借助直角坐標和極坐標的轉換關系(也可仿照直角坐標下推導控制方程的方法推導），可得極坐標下的控制方程：平衡方程da16taa宀+p+p4+f=0TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark74 dpp6pp HYPERLINK l bookmark76 1da6t2t4+p+p+f=0pddppII物理方程8=j-5aij2GEijkkIII幾何方程duTOC o 1-5 h z8=p-pdpu1du8=P+令申ppd申 HYPERLINK l bookmark90 1duduuY=p+4pp64d

14、pp物理方程對各類問題均是適用的，因為不管是直角坐標、極坐標、球坐標、柱坐標，它們的共同點都是正交的坐標系需要指出的是，在不同坐標系下，控制方程形式上有所不同，但推導基本原理一致，基本內涵也一致比如平衡微分方程是根據(jù)靜力學平衡原理推導的，物理方程反應了研究對象的物性，幾何方程則緊扣應變的定義。E3）由平面應力問題到平面應變問題轉換，只需將E替換為，-替換為1-2即可；由平面應變問題解答轉換為平面應力問題解答將E替換為,1-（1+-J24）上述任何一個方程只要作適當修改，便可推廣到塑性、溫度應力、波動等問題如波動問題，與靜力問題相比，物理方程、幾何方程一致，運動微分方程增加一慣性力項，形式如下a

15、+f-pU&二0ij,ijj類似地，對于溫度應力問題，假設溫度變化僅引起線應變，并且膨脹系數(shù)各向同性，那么物理方程成為8=j-8c+aAT8ij2GEijkkij相應地，應力分量表達二2G8+X88+（3九+2G）aAT8ijijijkkij由此可見，我們可以根據(jù)適當?shù)臈l件，引入相應的假設，對彈性力學的基本控制方程作合理修改，即可得到更加符合實際情況的控制方程也就是說，彈性力學基本方程為整個固體力學控制方程構建提供了基本框架求解思路在整個彈性力學體系中，控制方程求解占據(jù)著重要位置如果說控制方程是彈性力學大廈的基礎，那么對控制方程求解則構成了這座大廈的主體主要求解方法可分為解析法和近似法用解析法

16、求解，有兩大思想貫穿始終，即：“盡可能減少方程中未知數(shù)的數(shù)目”，“將邊界條件人為放松”前者誕生了各種應力函數(shù)、位移函數(shù)，后者則誕生了圣維南原理可以說，這兩種思想為整個彈性力學求解體系的完善和發(fā)展注入了強大活力根據(jù)選取的基本未知量的不同，基本方程求解方法大體上分為三種：按應力求解，按位移求解以及混合求解位移解法是以位移分量U為基本未知量，利用位移表示的平衡方程解出U,ii再代回幾何方程和本構方程，求出應變和應力分量8,c。當全部邊界給定位移ijij時，用位移法較簡單。應力解法則是以應力分量為基本未知量。對于全部邊界給定外力的邊值問題，應力解法可以直接解出工程中關心得應力分量，但是應力解法處理位移

17、邊界條件非常困難。在應力解法中可以引進某些自動滿足平衡方程的函數(shù)，即應力函數(shù)，合理利用應力函數(shù)可以有效減少未知量個數(shù)（但方程階數(shù)會相應升高），給求解帶來簡便，特別是針對平面問題，通過引入Airy應力函數(shù)，可以將三個應力分量減少為只用求一個未知量應力函數(shù)，而只用求解一個雙協(xié)調方程。由于彈性力學的線彈性小變形假設，我們可以利用迭加原理求解復雜載荷作用下力學分析；另外還有解的唯一性原理、圣維南原理，理解這些一般原理對我們更深入地理解彈性力學非常有幫助。本章建立了彈性力學解題的一般思路，因此也是非常重要的，需要多做練習，加深理解。另外要說明的，在實際問題中能得到解析解的問題非常少，大部分問題我們都無法

18、得到解析解，這時候就需要用數(shù)值方法（近似法）來求解。第七章柱形桿問題柱形桿問題是最早應用圣維南原理的典型例子。通過本章的學習可以看到，對于均勻拉壓（桿結構）、純彎和圓軸扭轉問題，材料力學解是精確的。但是對于一般彎曲和非圓截面扭轉問題，彈性力學可以提供更通用的解法和更精確的結果。本章要掌握什么是柱形桿問題、柱形桿自由扭轉的位移解法和應力函數(shù)解法。更詳細的內容可以參加教材。第八章平面問題平面問題是空間問題的特殊情況。彈性力學解題的基本思路在第六章已經(jīng)說明。這一章首先要明確平面應力和平面應變的概念。本章重點介紹了平面問題的應力函數(shù)解法。需要我們根據(jù)應力函數(shù)的性質，利用邊界載荷估計應力函數(shù)的分布規(guī)律，

19、從而給出應力函數(shù)的一個合理假設，這對解題非常重要。第九章能量原理在第六章中我們建立了彈性力學的微分提法，是從微元入手，建立基本微分方程，在給定邊界條件下求解微分方程的邊值問題。而本章介紹彈性力學的另一個提法變分提法（又稱能量原理），變分方法考慮整個系統(tǒng)的能量關系，建立泛函變分方程，為在給定約束條件下，求泛函極值的變分問題。能量原理在彈性力學體系中是非常重要的一環(huán)。實際問題中大部分問題都不可能得到解析解，需要尋求數(shù)值解，而能量原理為數(shù)值解的獲得創(chuàng)造了可能性。變分問題有歐拉法和直接法兩種解法。該章中有很多基本概念需要掌握和理解，比如彈性力學的三類基本關系：變形關系、靜力關系、本構關系；真實狀態(tài)、靜力可能狀態(tài)、變形可能狀態(tài)，變形功、可能功與虛功，應變能、應變余能、勢能；這些基本概念的理解非常重要?？赡芄υ恚嚎赡芡饬Γw力和面力）在可能位移上所做的功等于可能應力在相應可能應變上所做的功。可能功原理推導中與本構關系無關，適用于任何連續(xù)介質力學，但是用到了小變形的幾何方程，因此只適用于小變形。在可能功原理用于線彈性體就可以導出功的互等定理，即線彈性體受兩組不同的力作用，則第一組力在第二章力引起的位移上所做的功等于第二組力