高考數(shù)學一輪復習導數(shù)與單調(diào)性知識梳理2蘇教版

1、導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性一、上節(jié)回顧：【臨沂高新實驗中學】8 .將函數(shù)y = f，(x)sinx的圖象向左平移 土個單位， 4得到函數(shù)y =1 2sin2 x的圖象，則f (x)是 2sin x二、0811年江蘇數(shù)學命題研究及 12年走勢分析2011年江蘇省高考說明中，導數(shù)及其應用屬于必做題部分，其中導數(shù)的概念是A級要求，導數(shù)的幾何意義，導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及導數(shù)在實際問題中的應用是 B級要求.導數(shù)與函數(shù)、數(shù)列、三角、不等式、解析幾何等知識有著密切的聯(lián)系，導數(shù)作為工具在研究函數(shù)的性質(zhì)及在實際生活中有著廣泛的應用，導數(shù)是高中數(shù)學中與高等數(shù)學聯(lián)系最密切的知識之一，所以備受高考命題

2、老師的重視.2008年14題考查導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性的綜合運用2009年03題考查導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性2010年14題考查導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)2011年12題考查 指數(shù)函數(shù)、導數(shù)的幾何意義導數(shù)一導數(shù)作為新增內(nèi)容應為考查的重點內(nèi)容。利用導數(shù)刻劃函數(shù)，或已知函數(shù)性質(zhì)求參數(shù)范圍等，2008年江蘇考了一道“導數(shù)應用題”，理科加試考了 “導數(shù)與定積分混合型”題,2009年未考大題。那么2011年仍應重視導數(shù)題的考查，以中檔題為主。小題中兩年都考 了三次函數(shù)，應該更加關注指、對數(shù)函數(shù) ，三角函數(shù)的導數(shù)及相關的超越函數(shù).三、知識點梳理：函數(shù)單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果f(x)

3、 0,則y = f (x)為增函數(shù)；如果f(x)0 ,有一個點例外即x=0時f (x) = 0,同樣f(x)Y0是f (x)遞減的充分非必 要條件.一般地，如果f (x)在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零，在其余各點均為正 (或負)，那么f (x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加(或單調(diào)減少)的 經(jīng)典體驗：1.107廣東12函數(shù)f(x) =xln x(x 0)的單調(diào)遞增區(qū)間是.，七JILe, TOC o 1-5 h z x一 x ,3.函數(shù)f (x) = 1 X X2在0,1上的最小值是.31 x - x53.函數(shù)y =x+2cosx在區(qū)間0 , 1上的最大值是上+J326經(jīng)典講練：3 一例：1.12010拉薩

4、中學月考】 函數(shù)y = f(x)在定義域(一一，3)內(nèi)可導，其圖象如圖所2示，記y = f (x)的導函數(shù)為y = f (x),則不等式f (x) M0的解集為 A1.- ,1 2,3_332.【靖江六校2011 一倜】7.已知函數(shù)y = f (x)在定義域( 3)上可導，y = f (x)的圖像如2，圖，記y = f (x)的導函數(shù)y = f ( x),則不等式x f ( x) 的解集是 ,.31. 0,1U(-,223.【聊城一中文科】10.定義在R上的函數(shù)f(x)滿f(4)=1. f(x)為f(x)的導函數(shù)，已知函數(shù)y = f (x)的圖象如右圖所示.若兩正數(shù)a,b滿足f(2a+b)1,

5、 則b2的取值 a 21 1范圍是 .(1, 1)3 2x e a 例：2 (2001年天津卷)a A0 f(x) =一十=是R上的偶函數(shù)。a ex(I)求a的值；(II )證明f (x)在(0,收)上是增函數(shù)。e-x a 1解：(I)依題意，對一切 xW R有 f (x)= f(x),即 e+- = 2 + aex, a e aex1 (a -1)(ex -) =0對一切 x R成立，由此得到 a 1 = 0 , a2 =1 ,又 0 , a eaa =1 。(II )證明：由 f(x) = ex+e/，得 f(x) =ex e = e(e2x 1),當 x w(0,y)時，有 e(e2x

6、1)0,此時 f(x)0。. f(x)在(0,收)上是增函數(shù)。2變式練習 1.已知函數(shù) f(x)= x ax+(a1)ln x,a 1.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)證明：若 a5,則對任意為？2亡(0,),為 第x2 2，有 f (x1) f (x2)1.x _ x2解：(1) f(x)的定義域為(0,十大)，2、a -1 xaxa1 (x -1)(x 1 - a)f (x) = x -a =xxx(x -1)2-(i)若a -1 =1即a=2,則f (x)L故f(x)在(0,收)單調(diào)增加. x(ii)若 a 1 1,故 1 a 2,則當 xw (a 1,1)時，f (x) 1,即a

7、 2,同理可得f (x)在(1,a1)單調(diào)減少，在(0,1),( a 1,)單調(diào)增加.2,(2)考慮函數(shù) g(x) = f (x) +x = x ax + (a 1)ln x + x則 g (x) =x-(a -1) a1 一2、x a-1 -(a-1)=1 -(,a1 -1)2 x , x ,由于1 a 0 ,即g(x)在(0, +=c)單調(diào)增加，從而當x1Ax2 A 0時有g(shù)(x1) g(x2) 0,即 f x) f x % x 1x 2 0，故 f (x1)f (、2) -1,當 0 x1 x2時,x1 - x2有 f (x1)- f (x2)f(x2) - f(x1)1 .x -x2x

8、2 x1變式練習2求下列函數(shù)的最值.11三 三 I1. y = 一x -cosx,x 匚,1,;2IL 2 222. y = x COSX,P JI Jr IL-2,2例：312010黃岡中學】若函數(shù)f(x)=2x2lnx在其定義域內(nèi)的一個子區(qū)間(k1,k+1)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù) k的取值范圍是【解析】因為f(x)定義域為(0,十無), .1.1 一一f (x) =4x ,由 f (x) =0 ,得 x =.據(jù)題息, TOC o 1-5 h z x2.1.k -1 ： - ： k 132，解得 1 k 0 對任意實數(shù)x都成立.1 Kcos x0 時一aw acos xwa a 1,0 aw

9、 1 當a= 0時適合；當 a 1, 1 w a0 ,求f (x)在m,2m上的最大值；n 1 n(3)試證明：對vne N”,不等式ln 2恒成立.n n-ln x解：(1) f (x) =-n11分x令 f(x)=0得 x當m 1 2m ,即一 m 0 x函數(shù)g(x)在(0,收)上單調(diào)x=1 是 方 程 f(x)=0 的 唯 一 解5分- ln x.當 0 x 0,當 x1 時 f(x)0 x函數(shù)f (x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,g)上單調(diào)遞減當x =1時 函 數(shù) 有 最 大 值f(x)max=f(1)“17分(2)由(1)知函數(shù) f (x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+*)上

10、單調(diào)遞減故當02mE1即0mE 時f (x)在m,2m上單調(diào)遞增 TOC o 1-5 h z ln 2m 八八f (x)max = f (2m) =-2m8分2m當m，時f (x)在m,2m上單調(diào)遞減ln m一 f (x)max = f (m)=-m10分m12f(X)max = f=-1(3)由(1)知當 xW(0,y)時，f (x)max = f(1)=1ln x成立.在(0,+g)上恒有f(x) = -x -1 ,當且僅當*=1時“=” xx E (0,二)14In即對vn = N*,不等式lnn i1 n0)依 x TOC o 1-5 h z aa題息、,2x+2 +之0或2x+2+ E0在(0, 1)上恒成立xx即2x2 +2x +a20或2x2 +2x +a 0在(0, 1)上恒成立,_2_1.21 .由 a *：2x -2x = -2(x) 在(0, 1)上恒成立,22可知a - 0.,._2_1.21 .由 a - -2x -2x - -2(x) 在(0, 1)上恒成立,22可知a WT,所以a20或a W4. 9分(3),910,919.h(x) =ln(1 + x) x +1k,令 y = ln(1 + x ) x +1.22所以y2x1 x2(x +1)x(x -1)x2110分令 y = 0,則 x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1,列表