熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理e

1、f (p, V, T )=0另外，定義幾個與物態(tài)方程有關(guān)的物理量：等壓膨脹系數(shù):等容壓力系數(shù):等溫壓縮系數(shù):根據(jù)物態(tài)方程，可得關(guān)系式：(dV )糾8T )V 故可得三個系數(shù)之間的關(guān)系為：a = k_阮.氣體的物態(tài)方程理想氣體狀態(tài)方程：PV = NkBT實(shí)際氣體的范德瓦爾斯方程：(P + 一V 2 )3T)11 -8V)Pan 2V - nb)= nRT，第一章熱力學(xué)的根本規(guī)律熱力學(xué)的平衡狀態(tài)熱力學(xué)的研究對象是由大量微觀粒子組成的有限宏觀系統(tǒng).與系統(tǒng)發(fā)生相互作用的其他物體稱 為外界.按照系統(tǒng)與外界的相互作用狀態(tài)，可將系統(tǒng)分為以下三種：孤立系：與外界既不發(fā)生質(zhì)量交換，也不發(fā)生能量交換的系統(tǒng)；閉系：

2、可與外界發(fā)生能量交換，而不發(fā)生質(zhì)量交換的系統(tǒng)；開系：可與外界發(fā)生能量、質(zhì)量交換的系統(tǒng).熱力學(xué)平衡態(tài)：當(dāng)一個孤立系經(jīng)過足夠長的時間，將會到達(dá)這樣一種狀態(tài)，在這種狀態(tài)下，系 統(tǒng)的各種宏觀性質(zhì)在長時間內(nèi)部發(fā)生變化，稱之為熱力學(xué)平衡態(tài).狀態(tài)參量：在熱力學(xué)平衡態(tài)下，系統(tǒng)的各種宏觀性質(zhì)不再變化而擁有固定值，用這些固定值就 可以確定系統(tǒng)的宏觀狀態(tài).一般情況下，描述一個系統(tǒng)的狀態(tài)參量有：熱學(xué)參量溫度T、幾何參量體積V、力學(xué)參 、量壓強(qiáng)P 和電磁參量D、H).物態(tài)方程描述系統(tǒng)的狀態(tài)參量之間關(guān)系的方程稱為物態(tài)方程，以簡單的固液氣系統(tǒng)為例，其物態(tài)方程可 表示為：an 2其中為壓強(qiáng)修正項(xiàng)，nb是體積修正項(xiàng)。V 2簡單

3、固體與液體的物態(tài)方程對于簡單固體和液體，可通過實(shí)驗(yàn)測得體脹系數(shù)a和等溫壓縮系數(shù)%，它們的特點(diǎn)如下:固體和液體的膨脹系數(shù)是溫度的函數(shù)，與壓強(qiáng)近似無關(guān)。a和%的數(shù)值都很小，在一定的溫度范圍內(nèi)可以近似看成常量。 由此可得：物態(tài)方程為：、V(T, p )= VT, p0 h + a(T T0) k(p p0 )JO順磁性固體將順磁性固體置于磁場中，順磁性固體會被磁化。磁化強(qiáng)度M，磁場強(qiáng)度H與溫度T的關(guān)系: f M, H, T )=0。實(shí)驗(yàn)測得一些順磁性固體的磁物態(tài)方程為：M = CH； C 另一些順磁性固體的磁物態(tài)方程為：M = H，T 0其中，C和0是常量，其數(shù)值因不同的物質(zhì)而異。功氣體準(zhǔn)靜態(tài)過程的

4、體積功：5 W = pdV。液體外表張力做功：5W =dA，q為單位長度的外表張力。電介質(zhì)準(zhǔn)靜態(tài)過程中電位移改變dD時外界所作的功為：5 W = VEdD。磁介質(zhì)準(zhǔn)靜態(tài)過程中磁感應(yīng)強(qiáng)度改變dB時外界所作的功：5 W = VHdB。熱力學(xué)第一定律假設(shè)系統(tǒng)經(jīng)歷一個無窮小的過程，那么系統(tǒng)內(nèi)能的增量與外界做功和外界傳熱的關(guān)系為:dU =5Q + 5W。熱力學(xué)第一定律說明，做功與熱量傳遞在改變系統(tǒng)內(nèi)能上是等效的。熱容與焓熱容：一個系統(tǒng)溫度升高1K所吸收的熱量，即AQ TOC o 1-5 h z C = lim，AT T0 直熱容是一個廣延量，用cm表示1mol物質(zhì)的熱容，成為摩爾熱容。系統(tǒng)在等容過程的熱

5、容用符號Cv表示：廠1- (AU)(dU)c = iim I at I = I dTATTVV系統(tǒng)在等壓過程中的熱容用符號Cp表示： (aU + pdV) (dU)(dp)了I =后J +p昂ppp引入狀態(tài)函數(shù)焓：H = U + pV，那么有氣體的內(nèi)能 從微觀角度看，在沒有外場的情形下，氣體無規(guī)那么運(yùn)動的能量包括分子的動能、分子之間相 互作用的勢能以及分子內(nèi)部運(yùn)動的能量。根據(jù)焦耳的自由膨脹實(shí)驗(yàn)，理想氣體的內(nèi)能只是溫度的函數(shù)，與體積無關(guān)，即從微觀上看，理 想氣體的內(nèi)能只是分子的動能。廠 dU 廠 dH于是可得：C = ； CV dT p dT0p可得 C = cv + nR，再設(shè)y = C .c

6、v，得: ynR邁耶公式)。y 1 U = U0 +CvdT ； H = H +C dT。根據(jù)焓的定義：H = U + pV = U + nRTnR C7，Cy 1 p理想氣體的準(zhǔn)靜態(tài)過程等溫過程：pV = const ；等容過程:等壓過程:p=const.T ，V=const.T ，pVy = const。絕熱過程：注：系數(shù)Y可通過測定空氣中的聲速獲得。聲音在空間中傳播時，介質(zhì)空間會發(fā)生周期性的壓 縮與膨脹，自然導(dǎo)致壓強(qiáng)的變化。由于氣體的導(dǎo)熱系數(shù)很小，因此在聲音傳播過程中，熱量傳導(dǎo) dp很難發(fā)生，故可認(rèn)為是絕熱過程，因此根據(jù)牛頓的聲速公式1=可得dp12=當(dāng)=o 籍=yp頃pjpSs其中p為

7、氣體密度，U=-為單位質(zhì)量氣體的體積。p熱力學(xué)第二定律克勞修斯表述：不可能把熱量從低溫物體傳到高溫物體而不引起其它變化。開爾文表述：不可能從單一熱源吸收熱量使之完全變成有用的功而不引起其它變化。熱力學(xué)第二定律的開爾文表述說明，第二類永動機(jī)不可能造成。所謂第二類永動機(jī)是指能夠從單 一熱源吸熱，使之完全變成有用功而不引起其它影響的機(jī)器?？ㄖZ循環(huán)與卡諾定理卡諾循環(huán)：卡諾循環(huán)過程以理想氣體為研究對象研究熱功轉(zhuǎn)化的效率問題，由兩個等溫過程和兩個絕熱過程組成。在整個循環(huán)中，氣體從高溫?zé)嵩次諢崃?，對外做功，其效率為：W A Q A T門=1 2 = 1 i。Q1 Q1 T卡諾定理：所有工作于兩個一定溫度之

8、間的熱機(jī)，以可逆機(jī)的效率為最高。推論：所有工作于兩個一定溫度之間的可逆熱機(jī)的效率相等。根據(jù)卡諾定理，工作于兩個一定溫度之間的熱機(jī)的效率不可能大于可逆熱機(jī)的效率，即1 QT門=1 2 1 TQ1T由此可得克勞修斯不等式：Q + QV0,等號只適用于可逆循環(huán)過程）其中Q為熱機(jī)從高溫?zé)嵩次盏臒崃?，Q2也定義為熱機(jī)從低溫?zé)嵩次盏臒崃繑?shù)值為負(fù)數(shù)）。將克勞修斯不等式推廣到n個熱源的情形，可得：i i對于更普遍的循環(huán)過程，應(yīng)將求和號換成積分號，即坪0。熵與熱力學(xué)根本方程根據(jù)克勞修斯不等式，考慮系統(tǒng)從初態(tài)A經(jīng)可逆過程R到達(dá)終態(tài)B，又從狀態(tài)B經(jīng)另一可逆 過程R回到狀態(tài)A。在上述循環(huán)過程中，有J B 也 +

9、JA性=0A T B T可見，在可逆循環(huán)過程中，J dQ與路徑無關(guān)，由此定義狀態(tài)函數(shù)熵S，從狀態(tài)A到狀態(tài)B 的燔變定義為：SB SA=Jb 平r dQ注：僅對可逆過程，J T 才與路徑無關(guān)。對不可逆過程，B和A兩態(tài)的熵變?nèi)匝貜腁態(tài)到B態(tài)的可逆過程的積分來定義。在這種情形下，可逆過程與不可逆過程所引起的系統(tǒng)狀態(tài)變化相同， 但外界的變化是不同的。5 Q . 對前面熵變等式取微分：dS = T，表示無窮小的可逆過程中的熵變。根據(jù)熱力學(xué)第二定律，可得可逆過程中5Q = TdS，結(jié)合熱力學(xué)第一定律可得熱力學(xué)的根本微 分方程：dU = TdS - pdV假設(shè)系統(tǒng)與外界之間除了體積功，還有其他形式的功，可將

10、上式表示為dU = TdS +Z Ydyi熱力學(xué)第二定律的數(shù)學(xué)表示：dU 5Q。熵增加原理：系統(tǒng)在絕熱條件下，熵永不減少，即SB -Sa 0等號只適用于可逆過程）。自由能與吉布斯函數(shù) A約束在等溫條件下的系統(tǒng)，定義狀態(tài)函數(shù)：F = U - TS。根據(jù)熱力學(xué)第二定律可得，等溫條件下dF -pdV，說明在等溫條件下，系統(tǒng)自由能的增加量 不大于外界對系統(tǒng)做的功。在等溫等容過程中可得：dF 0，即等溫等容條件下，系統(tǒng)的自由能永不增加，或者表述為在 等溫等容條件下的不可逆過程朝著使系統(tǒng)自由能減少的方向進(jìn)行。約束在等壓條件下的系統(tǒng)，定義狀態(tài)函數(shù)：G = U -TS + pV。同理可得：等溫等壓條件下，dG

11、 1，那么氣體在節(jié)流過程前后溫度降低，稱為制冷區(qū).假設(shè)aTo，揣為物體對頻率在o附近的輻射其中，。3稱為物體對頻率在附近的電磁波的面輻射強(qiáng)度; 能量的吸收系數(shù).注：吸收系數(shù)為1的物體稱為絕對黑體，此時有磁介質(zhì)的熱力學(xué) 磁介質(zhì)中磁場強(qiáng)度和磁化強(qiáng)度發(fā)生改變時，外界所做的功為: 一H 2 +日 VHdM)0當(dāng)熱力學(xué)系統(tǒng)只包括介質(zhì)而不包括磁場時，功的表達(dá)式只取第二項(xiàng)，即5W =日 Hdm，其中，m = MV是介質(zhì)的總磁矩.忽略磁介質(zhì)的體積變化，可得熱力學(xué)根本方程為，dU = TdS + r Hdm，類比于理想氣體，即-p h H，V m.絕熱去磁制冷：根據(jù)吉布斯函數(shù)dG = -SdT-HomdH，可得

12、：CV _CT * o，H上式說明，在絕熱條件下減小磁場，磁介質(zhì)的溫度降低，稱為絕熱去磁制冷效應(yīng).第三章單元系的相變熱動平衡判據(jù)孤立系統(tǒng)的熵判據(jù)：AS 0或5S = 0,82S 0或8F = 0,82F 0等溫等容系統(tǒng)自由能永不增加）；等溫等壓系統(tǒng)的吉布斯函數(shù)判據(jù)：AG 0或8G = 0,8 2G 0等溫等壓系統(tǒng)的吉布斯函數(shù) 永不增加）.均勻系統(tǒng)的熱動平衡條件：T = T0,p = p0，即整個系統(tǒng)的溫度和壓強(qiáng)均勻.平衡的穩(wěn)定性條件：Cv 0j 0.單元復(fù)相系的平衡性質(zhì)第六章近獨(dú)立粒子的最概然分布粒子運(yùn)動狀態(tài)的經(jīng)典描述設(shè)粒子的自由度為,，那么粒子的運(yùn)動狀態(tài)可用廣義坐標(biāo)和廣義動量來描述，粒子的能

13、量是廣義 TOC o 1-5 h z 坐標(biāo)和廣義動量的函數(shù)，即,x =0，q ；P，P Z(1r 1r為了描述粒子的運(yùn)動狀態(tài)，用Mq ;p，p)這2,變量構(gòu)成一個2,維的空間，稱為h空1r 1r間，粒子在某一時刻的運(yùn)動狀態(tài)就表示為H空間申的一個點(diǎn).自由粒子自由粒子不受力的作用而在三維空間中做自由運(yùn)動，自由度為3,它的能量就是它的動能，即( ) = 卬2 + p2 + p2 /2m x y -線性諧振子粒子在線性回復(fù)力F = -kx的作用下做簡諧運(yùn)動，振動的圓頻率為k(D =V m，對自由度為1的線性諧振子，任意時刻的能量與粒子的位置和動量有關(guān)，即218 = + mC02x22m 2轉(zhuǎn)子粒子繞原

14、點(diǎn)做轉(zhuǎn)動，它的能量就是弓的動能，可用球坐標(biāo)表氣即8 = nrr2 + 尸202 + 尸2 sin2 0cp2假設(shè)考慮到粒子到原點(diǎn)的距離不變r = 0 ,那么能量表示為:8 = m r202引入與叩共藐的動量:可將轉(zhuǎn)子的能量寫為:=mr20, p = mr2 sin2 0(p ,1 ( 1 )8 =2 + n22/ sim。 1或氏 1，那么玻色分布和費(fèi)米分布Ol近似于玻爾茲曼分布，這個條件稱為經(jīng)典極限條件或非簡并性條件.考慮個體量子態(tài)問題或者平均粒子數(shù)問題，設(shè)處在能量8 s的量子態(tài)s上的粒子數(shù)為fs，那么=e -a-Pe s1ea+pe s 1，11 + ea + Pe,各種系統(tǒng)的最概然分布可

15、表示為：S玻色系統(tǒng)：fs費(fèi)米系統(tǒng)：fs玻爾茲曼系統(tǒng)：f s第七章玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)定域系統(tǒng)和滿足經(jīng)典極限條件的玻色系統(tǒng)和費(fèi)米系統(tǒng)都滿足玻爾茲曼分布. 定義配分函數(shù)：Z=&e-p.或積分形式Z =1吃氣叫虬 111hrl0那么系統(tǒng)的熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式如下：v內(nèi)能：由玻爾茲曼分布的內(nèi)能表達(dá)式U二,匕e-a-陽，可得： l8U =- Nln Z.1外界對系統(tǒng)的廣義作用力丫為:熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式:ia8y 1p lyln Zi8、In ZV i 8pS = Nk lnZ -p2.理想氣體的狀態(tài)方程利用統(tǒng)計(jì)力學(xué)求解熱力學(xué)問題，首先要找到配分函數(shù).理想氣體的配分函數(shù)為：( 八8dS = Nkd lnZ -p V1

16、8P玻爾茲曼關(guān)系：S = k In O ln Z1/= -!-jjj e-專；+pl+pZ)dxdydzdp dp dph 3x y z(2冗m V2V hp J然后，再利用熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式，得到相關(guān)熱力學(xué)量:N 8 NkTp =ln Z =V 8V i V麥克斯韋分布律根據(jù)玻爾茲曼分布，可以推導(dǎo)出麥克斯韋分布律氣體分子的速度分布律).V的容器中，分布在動量區(qū)間dpdp dp內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)為：x V h dp dp dp ；那么分布在dp dp dp內(nèi)的分子數(shù)為：eq_；+p2+p2)dp dp dph 3x y z而氣體分子的總數(shù)為：N = e -a V jjj h 3h()e一2mp+

17、pl+pZ dp dp dp = e-aVx y z2兀 mkT V3因此可得，動量在dp xdp ydp z范圍內(nèi)的分子數(shù)為:(1 V2 N 2 兀mkT jM )e-2m*+p2+p2 dp dp dp xyz以n = N表示單位體積內(nèi)的分子數(shù)，那么在單位體積內(nèi)，速度在dv dv dv內(nèi)的分子數(shù)為:Vx y zf (v , v , v )7v dv dv = nxyz xyz)3 2 e_搭；+v2+v2)dv dv dvxy12nkT J上式便是麥克斯韋速度分布律，其中f】x，vy, vz)滿足：jjj f , v , v dv dv v = nx y z x y z利用速度空間的球坐標(biāo)

18、轉(zhuǎn)化，可得速率分布律：/ ( m 、3,21f vv)dv = 4兀n e2kTmv v2dv2 兀kT J分析速率分布律，可得以下特征數(shù):.2kT最概然速率：v = 1；m V m_8kf平均速率：v = .、： ；兀m方均根速率:=3kT v = vv 2 = s m計(jì)算單位時間內(nèi)碰到單位面積器壁上的分子數(shù)，稱為碰壁數(shù).(以dTdAdt表示在dt時間內(nèi)碰到dA面積上，速度在dv dv dv dA為底、以v , v , vx y zx y z線、以v dt為高的柱體內(nèi)，速度在dv dv dv范圍內(nèi)的分子數(shù).所以有：xx y z.drdAdt = fdv dv dv v dAdtx y z x

19、故可得單位時間內(nèi)碰到單位面積上的分子數(shù)r為：r = +cadv j+%v j+8 fv dv = n ，-8 y -8 z 0 x xV 2兀 m也可以表示為:r = - nv44.能均分定理能均分定理：對于處在溫度T的平衡狀態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，粒子能量中每一個平方項(xiàng)的平均值等于1()單原子分子只有平動，其能量為 =卬 2 + p 2 + p 2/，2m X y z根據(jù)能均分定理，溫度T時，單原子分子的平均能量為:g = 3 kT 2. 3、_故單原子分子的內(nèi)能為：U = -NkT ；-3定容熱容：CV =-Nk ；定壓熱容：Cp= CV + Nk = 2 Nk .雙原子分子的能量為：12m日(r

20、) =二(p 2 + p 2 + p 2 )+ p 2 +2m x y z 21 0 sin2 U如果不考慮相對運(yùn)動，式中有5個平方項(xiàng)，根據(jù)能均分定理，雙原子分子的平均能量為:雙原子分子的內(nèi)能、等容熱容和等壓熱容分別為：U = 5 NkT2Cv = 2 Nk7 ,C =萬 Nk固體中的院子可以在平衡位置附近做微振動，假設(shè)各原子的振動是簡諧運(yùn)動，每個原子的能量 為： = p 2 + m 2 q 22m2只有兩個平方項(xiàng)，而由于每個原子有三個自由度，根據(jù)能均分定理，每個原子的平均能量為: r = 3kT，那么固體的內(nèi)能、等容熱容分別為:固體熱容之間的關(guān)系為：平衡輻射問題U = 3 NkTCv = 3

21、NkTVa 2K能均分定理得到的固體熱容理論，在高 溫和室溫時與實(shí)驗(yàn)符合得很好，但在低 溫時，難以解釋固體熱容隨溫度迅速降 低，當(dāng)溫度為絕對零度時，熱容也變?yōu)?零.考慮一個封閉的空窖，窖壁原子不斷地向空窖發(fā)射并從窖壁吸收電磁波.經(jīng)過一定的時間，空窖 內(nèi)的電磁輻射與窖壁到達(dá)平衡，稱為平衡輻射，二者具有共同的溫度.電場分量可以表示為:空窖的輻射場可以分解為無窮多個單色平面波的疊加，如果采用周期性邊界條件，單色平面波的E = E eiQr-at)rr其中a是圓頻率，k是波矢.k的三個分量的可能值為:72 兀)k = n ,n = 0,1, Vx = x, y,z).、具有一定波矢k和一定偏振的單色平

22、面波可以看做輻射場的一個自由度，它以圓頻率隨時間 做簡諧變化，因此相當(dāng)于一個振動自由度.在體積V內(nèi)，在r + d的圓頻率范圍內(nèi)，輻射場的振動自由度數(shù)為：D()d = 2 d.兀2 C 3根據(jù)能均分定理，每一個振動自由度的平均能量為建=kT.所以在體積V內(nèi)，在d范圍內(nèi)平 衡輻射的內(nèi)能為：此式稱為瑞利-金斯公式.理想氣體的內(nèi)能與熱容經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能均分定理得到的關(guān)于理想氣體內(nèi)能和熱容的結(jié)論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果大體相同，但有幾個問 題沒有得到合理的解釋：原子內(nèi)的電子對氣體的熱容為什么沒有奉獻(xiàn)；雙原子分子的振動在常溫 范圍內(nèi)為什么對熱容沒有奉獻(xiàn)；低溫下氫的熱容所得結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符.本節(jié)以雙原子分子為例，講述理想氣

23、體內(nèi)能和熱容的量子統(tǒng)計(jì)理論.暫不考慮原子中電子的運(yùn)動，在一定近似下雙原子分子的能量可以表示為平動能，、振動能 印和轉(zhuǎn)動能 r之和： = t +V + r，以t、V和 r分別表示平動能、振動能和轉(zhuǎn)動能的簡并度，那么配分函數(shù)Z1可表示為: Z = ,e-吃 = tV re _p(t +V+ r)lt ,V ,r=Zt - Zv .Zj考慮平動對內(nèi)能和熱容的奉獻(xiàn):2m 2m 7 + P2 + P 2v-AC2 2 2)Zt =一j e一2mVx + py + pz dp dp dp1h3x因此，Ut =_ N 壽(8Uln Zt3=_ NkT ,2，CtV1Y n + h, n = 0,1,2, k

24、 2 J=e 一心+12 )=E利用等比數(shù)列公式)，考慮振動對內(nèi)能和熱容的奉獻(xiàn)：V =n因此，8 NhNhU v = 一 N In Z v =+8Pi 2CV竺)Nk(公* e心、引入振動特征溫度VV (8T Jv(kT J (h kT_1) k6v = h，可得8Nk0Nk0廠（8U）Uv N 8 In Zv +y，C = I-8 I = Nk常溫下，T 0E 和低溫T 0 E時，可得Cv = 3 Nk，結(jié)果與能均分定理結(jié)果一致.當(dāng)T 1或心=% 2.612時，將會出現(xiàn)獨(dú)特的玻色-愛因斯坦凝聚現(xiàn)象.考慮由N個全同、近獨(dú)立的玻色子組成的系統(tǒng).假設(shè)粒子的自旋為零，根據(jù)玻色分布，處在能 級s i的

25、粒子數(shù)為：a =氣， l ea+ps i 1 顯然處在任一能級的粒子數(shù)都不能為負(fù)值，這要求所有能級必須滿足ea+psi 1.以s0表示粒子 的最低能級，那么上述要求可是表示為：s 日s 0，那么上式也可表示為：R V 0.化學(xué)勢R由公式y(tǒng) . 一V e P（s 廠Q 1 i i確定，為溫度T和粒子數(shù)密度n的函數(shù).由上式可知，在粒子數(shù)密度給定的情形下，溫度越低， 化學(xué)勢必然越高.將求和用積分代替，可得史（2m 禹卜 S12 & = n.h30 epGr） 1 TOC o 1-5 h z 化學(xué)勢隨著溫度降低而升高，當(dāng)溫度降低到某一臨界溫度T時，R將趨于-0 .臨界溫度由 下式確定：cC竺（2m甬3

26、 = n， h30 e Ps 1可解得，臨界溫度二為：2兀h2T =n2 3，c 也.612加 mk上述關(guān)于臨界溫度確定的式子僅在臨界溫度時適用，當(dāng)T V 時，應(yīng)用下式代替：n T）+ 竺（2m）2W = n0 h 30 e Ps 1其中，第一項(xiàng)為溫度T時，處在能級s= 0上的數(shù)密度，第二項(xiàng)是處在激發(fā)態(tài)s 0的數(shù)密度.計(jì)算可得：偵）=1一!）2 In = n0T kTc /在絕對零度時，粒子將盡可能地占據(jù)能量最低的狀態(tài)，對于玻色系統(tǒng)，一個量子態(tài)可容納的粒子 數(shù)目不受限制，因此絕對零度下玻色子將全部處在8 =0T 2.612光子氣體在前面，已經(jīng)通過熱力學(xué)理論論證了，平衡輻射的內(nèi)能密度和內(nèi)能密度的

27、頻率分布只是溫度的函 數(shù)，并證明內(nèi)能密度與絕對溫度的四次方成正比.在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中國，利用能均分定理所得的內(nèi)能 頻率分布在低頻與實(shí)驗(yàn)符合，在高頻范圍與實(shí)驗(yàn)不符.更為驗(yàn)證的是，根據(jù)能均分定理得到的平 衡輻射的內(nèi)能與熱容是發(fā)散的，據(jù)此輻射場不可能與其他物體到達(dá)熱平衡，與實(shí)際不符.本節(jié)將利用量子統(tǒng)計(jì)理論，討論平衡輻射長的問題.根據(jù)粒子的觀點(diǎn)，可將空窖內(nèi)的輻射場看做光子氣體.量子理論中的粒子滿足德布羅意關(guān)系：8 =力p = hk考慮到3= ck，可得光子的能量動量關(guān)系：8 = Cp .光子是玻色子，到達(dá)平衡后遵從玻色分布.由于窖壁不斷發(fā)射和吸收光子，光子氣體中光子數(shù)不 守恒.因此在推導(dǎo)光子的玻色分布時，只有能量E守恒這一個約束條件，只能引入一個拉氏乘子 P，這樣光子的統(tǒng)計(jì)分布為：a =、I e P- r光子的自旋量子數(shù)為1，自旋在動量方向的投影有兩個土h，相當(dāng)于左右圓偏振.考慮到自旋簡并度的作用，在體積V內(nèi)，在動量范圍dp內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)為：8兀VP2 dP ；h3考慮到光子的動量能量關(guān)系，可得分布在頻率范圍d3內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)為：D（3）d3 = 32d3 .兀 2C3V 3 2 d3平均光子數(shù)為：兀 2C3 e P3-1輻射場的內(nèi)能那么為：U*,T3 =v h3 3如志亦頊；此式稱為普朗克公式自由電子