高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥圓錐曲線的幾類典型題型解析與能力突破

1、高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)點(diǎn)撥圓錐曲線的幾類典型題型解析與能力突與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題， 如圓錐曲線的弦長求法、 與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值) 問題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問題以及圓錐曲線與圓錐曲線有關(guān)的證明問題等，在圓錐曲線的綜合應(yīng)用中經(jīng)常見到， 為了讓同學(xué)們對這方面的知識有一個比較系統(tǒng)的了解，本文系統(tǒng)闡述一下“與圓錐曲線有關(guān)的幾種典型題”.一、重、難、疑點(diǎn)分析.重點(diǎn)：圓錐曲線的弦長求法、與圓錐曲線有關(guān)的最值(極值)問題、與圓錐曲線有關(guān)的證明問題.難點(diǎn)：雙圓錐曲線的相交問題.(應(yīng)當(dāng)提醒注意的是：除了要用一元二次方程的判別式，還要結(jié)合圖形分析.).疑點(diǎn)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問題.(解決辦法：因?yàn)檫@類問題涉

2、及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問題的判斷方法，所以比較靈活，只 能通過一些例題予以示范.)二、題型展示1.圓錐曲線的弦長求法設(shè)圓錐曲線C： f(x , y)=0與直線l ： y=kx+b相交于A( x1, y1) B(x2,y2)兩點(diǎn)，則弦長|AB|為：或網(wǎng)= I力ji + j * /% +-%，*(2)若弦AB過圓錐曲線的焦點(diǎn) F,則可用焦半彳5求弦長，|AB|=|AF|+|BF| .1 2例1過拋物線y -x的焦點(diǎn)作傾斜角為的直線l與拋物線交于 A、B兩點(diǎn)，旦4|AB|=8 ,求傾斜角分析一：由弦長公式易解.解答為：拋物線方程為x2=-4y , ，焦點(diǎn)為(0

3、 , -1).設(shè)直線l的方程為y-(-1)=k(x-0),即y=kx-1 .將此式代入 x2=-4y 中得：x2+4kx-4=0 . 1- x1+x 2=-4 , x1+x2=-4k .由|AB|=8 得：8 1 k2 4k 2 4 14. . k 1 TOC o 1-5 h z 一3又有tan 1得： 一或 . HYPERLINK l bookmark15 o Current Document 44分析二：利用焦半徑關(guān)系.AF y1 ,BFy2 p HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 22|AB|= -( y1 +y2)+p=-(kx -1)+(

4、kx 2-1)+P=-k(x1+x2)+2+p .由上述解法易求得結(jié)果，可由同學(xué)們自己試試完成.2.與圓錐曲線有關(guān)的最值 (極值)的問題用心 愛心 專心在解析幾何中求最值，關(guān)鍵是建立所求量關(guān)于自變量的函數(shù)關(guān)系，再利用代數(shù)方法求出相應(yīng)的最值.注意點(diǎn)是要考慮曲線上點(diǎn)坐標(biāo)(x, y)的取值范圍.例2已知x2+4(y-1) 2=4,求：(1) x2+y2的最大值與最小值；(2)x+y的最大值與最小值.解一：將 x2+4(y-1) 2=4 代入得：x2+y2=4-4(y-1)2+y 2=-3y 2+8y= -3(y-y)a+y-由點(diǎn)(x, y)滿足 x2+4(y-1)2=4 知：4(y-1) 24 即

5、|y-1| 1 .0y0.1, 5 u 1 ,5 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark27 o Current Document 當(dāng) u 1 w,5時，y 1 0,2；當(dāng) u 1 V5時，y 1 0,2 HYPERLINK l bookmark91 o Current Document 55 HYPERLINK l bookmark31 o Current Document x y max 15 ; x y min 1、5.與圓錐曲線有關(guān)的證明問題它涉及到線段相等、角相等、直線平行、垂直的證明方法，以及定點(diǎn)、定值問題的判 斷方法.例3.在拋物線x2 = 4y上有

6、兩點(diǎn) A(x1, y1)和B(x2 , y2)且滿足|AB|=y 1+y2+2,求證：11(1)A、B和這拋物線的焦點(diǎn)二點(diǎn)共線；(2) 為定值.|af| |bf證明：(1) .拋物線的焦點(diǎn)為 F(0, 1),準(zhǔn)線方程為y=-1 .A、B到準(zhǔn)線的距離分別 d1 = y1+1, d2=y2+1(如圖2 46所示).用心 愛心 專心由拋物線的定義：|AF|=d1=y 1+1, |BF|=d2=y 2+1.，|AF|+|BF|=y1+y 2+2=|AB| 即 A、B、F 三點(diǎn)共線.(2)如圖 246,設(shè)/ AFK=0 . |AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sin又 |BF|=|BB1|=2-

7、|BF|sin00 +2 BFAF221 sin1 sinJ -網(wǎng) |BF|小結(jié)：與圓錐曲線有關(guān)的證明問題解決的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用圓錐曲線的定義和幾何性質(zhì).圓錐曲線與圓錐曲線的相交問題直線與圓錐曲線相交問題，一般可用兩個方程聯(lián)立后，用來處理.但用0來 判斷雙圓錐曲線相交問題是不可靠的.解決這類問題：方法 1,由“ 0”與直觀圖形相 結(jié)合；方法2,由“ 0”與根與系數(shù)關(guān)系相結(jié)合；方法 3,轉(zhuǎn)換參數(shù)法(以后再講).2例4已知曲線C：x2y a 1及C2：y x2 1有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21 + (y - a)1 一 2 = 0.解：由兩方程聯(lián)立二 ，可得：y2=2(1-a)y+ a -4=

8、0.z = y - 1,=4(1-a) 2-4(a 2-4) 0,. a 52如圖2 47,可知：用心 愛心 專心橢圓中心0,a ,半軸長aJ2,拋物線頂點(diǎn)為 0,1，所以當(dāng)圓錐曲線在下方相切或相5綜上所述，當(dāng)1 髭 a 時，曲線C1與C2相交.25.利用共線向量解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問題2 X 例5.已知橢圓a2y2-1(a bb0）的長、短軸端點(diǎn)分別為A B,從此橢圓上一點(diǎn)M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點(diǎn)Fi,向量AB與OM是共線向量。（1）求橢圓的離心率e; （2）設(shè)Q是橢圓上任意一點(diǎn),Fi、F2分別是左、右焦點(diǎn)，求/ F1QF2的取值范圍;解：(1) F1( c,0),則 xMC

9、, Ymb2b2oacb-,OM與Ab是共線向量，. ab2ac設(shè) FQ r1, F2Q12a, F1F22c,22.2r1r2 4ccos 2r1r2（12）2 2122124 c2一1)2當(dāng)且僅當(dāng) r1 r2 時，cos 0 =0,0 0, o由于共線向量與解析幾何中平行線、三點(diǎn)共線等具有異曲同工的作用，因此, 中與平行線、三點(diǎn)共線等相關(guān)的問題均可在向量共線的新情景下設(shè)計(jì)問題。解析幾何求解此類問題的關(guān)鍵是：正確理解向量共線與解析幾何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系，把有關(guān)向量的問題轉(zhuǎn)化為解析幾何問題.6.利用向量的數(shù)量積解決圓錐曲線中的參數(shù)范圍問題22例6.橢圓X941的焦點(diǎn)為F1,F2，點(diǎn)P為其上的動點(diǎn)，當(dāng)/ F1P F2為鈍角時,點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是2 X 解：由橢圓一92y- 1 的知焦點(diǎn)為 F1 ( J5 ,0 ) F2 ( 5 ,0 ).4設(shè)橢圓上的點(diǎn)可設(shè)為P （3cos ,2sin ）F1PF2為專屯角PF1 PF2 (而 3cos , 2sin ) (V5 3cos ,