高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)多面體與旋轉(zhuǎn)體部分知識(shí)梳理及重要題型

1、2008高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)多面體與旋轉(zhuǎn)體部分知識(shí)梳理及重要題型目的要求：對(duì)本章簡(jiǎn)單幾何體知識(shí)進(jìn)行梳理和總結(jié)，突出知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知 識(shí)的能力和邏輯思維能力.內(nèi)容分析：1、這部分主要涉及棱柱、棱錐、多面體和球的知識(shí).其內(nèi)容大致可分為定義、分類、 性質(zhì)、面積和體積幾個(gè)方面.除此之外還有簡(jiǎn)單多面體的歐拉公式、球面上兩點(diǎn)問(wèn) 的球面距離等重要概念、定理，這些知識(shí)牽涉的面很廣，但并不十分復(fù)雜，有些內(nèi) 容可用類比法進(jìn)行復(fù)習(xí).然而復(fù)習(xí)中一定要弄清楚，不可混淆.2、如果說(shuō)前節(jié)課所復(fù)習(xí)的知識(shí)還是一些立體圖形的元件的話，那么本課所復(fù)習(xí)的 內(nèi)容就是幾何體了 .應(yīng)當(dāng)說(shuō)，這節(jié)課的空間觀念更綜合、更形象了.復(fù)習(xí)中也

2、應(yīng)該重 視畫圖、識(shí)圖(包括圖形的綜合和分解).只有做到這一點(diǎn)，學(xué)生才會(huì)把圖形在頭 腦中“立體化”.復(fù)習(xí)中這個(gè)任務(wù)依然應(yīng)予以重視.3、球的體積和表面積計(jì)算公式所涉及的重要數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容， 但教學(xué)目標(biāo)僅為了解，而且新授不久，因此，在這次復(fù)習(xí)中不是重點(diǎn)，復(fù)習(xí)的重點(diǎn) 是各種幾何體的基本性質(zhì).4、與前節(jié)課一樣，本課作為復(fù)習(xí)課，應(yīng)有針對(duì)性，所以重點(diǎn)、難點(diǎn)的確定和內(nèi)容 的調(diào)整應(yīng)根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)中掌握的情況而定.教學(xué)過(guò)程：1、內(nèi)容小結(jié)(1)針對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的知識(shí)內(nèi)容，教師預(yù)先擬訂提綱，讓學(xué)生課前按提綱進(jìn)行復(fù)習(xí).提綱可按教科書的學(xué)習(xí)要求和需要注意的問(wèn)題中學(xué)習(xí)要求擬定.(2)課堂復(fù)習(xí)中，讓學(xué)生比較棱柱

3、、棱錐、球三種幾何體的形狀、表面、截面、面積、體積，比較前兩種幾何體的分類、直觀圖的畫法 .(3)讓學(xué)生填寫下表FVE過(guò)頂點(diǎn)的 棱數(shù)各面的邊 數(shù)面的特征正四面體44634正三角形正六面體681234正方形正八面體861243正三角形正十二面 體12203035正五邊形正二十面 體20123053正三角形2、應(yīng)用舉例例題1 如圖8-3,三棱錐 PABC中， ABC是正三角形，/ PCA=90 , D為PA的中點(diǎn)，二面角 P AC B 為 120 , PC=2 AB=2*3。(1)求證：ACL BQ(2)求BD與底面ABC所成的角(用反正弦表示)；(3)求三棱錐P ABC的體積。解 (1)如圖8-

4、4,取AC中點(diǎn)E,連DE BE,則DE/ PC, PCX AC,DEL AG.ABC是正三角形，BEX AG又 DEC 平面 DEB BEC 平面 DEB DEA BE=EAd平面 DEB DB匚平面 DEB 1 ACL DR(2)法一：: AC1平面DEB AC5底面ABC，平面 DEBL底面ABCEB是DB在底面ABC內(nèi)的射影，/ DBE BD與底面ABC所成的角。又DEL AC, BE! AC,. / DEB即為二面角 P- AC-B 的平面角。 TOC o 1-5 h z ,13在 DEB中， DE=PC=1, BE=AB=3,，由余弦定理，得BD2=12+32 - 2X1X3cos1

5、20 =13, BD=vJ，t3 ,i由正弦定理，得1=13 ,sin DBE sin120一1.39解得sin / DBE=,即BD與底面ABC所成的角為arcsin2626法二： AC!平面 DEB AC1平面 ABC平面 DEBL平面 ABC彳DFL平面 ABC F為垂足，貝U F在BE的延長(zhǎng)線上，/ DBF是BD與平面 ABC所成的角。: DEL AC, BE! AC, / DEB是二面角P- AC- B的平面角。在.3BE= AB=3,1 .RtDBF 中，DE=- PC=1,2/DEB=120 , / DEF=60 ,DF=-。2在 DEB中，由余弦定理得BD=vT3 ，/ DF

6、39 3sin / DBF=, 故DB 26BD與底面ABC所成的角為arcsin,3926(3) ,AC1 平面 DEB A.平面 PAC平面DEBL平面PAC .過(guò)點(diǎn) 垂足G在DE的延長(zhǎng)線上。B作平面PAC的垂線段BG.在 RtBEG中，/ BEG=60 ,BE=3BG=3-32- Vp- abcfV pa= Sa pacX BG=1 x2 2.33.3x =3。2例題2 如圖8-5,三棱錐P ABC中，已知PAL BC, PA=BC=,PA BC的公垂線DE丸求三棱錐 PABC的體積。分析：思路一直接求三棱錐P-ABC的體積比較困難。考慮到是棱PA和BC的公垂線，可把原棱錐分割成兩個(gè)三棱

7、錐 EBC和A EBC利用PAL截面 EBC且 EBC的面積易 求，從而體積可求。DE解 如圖8-51,連結(jié)BE,CEDE是PABC的公垂線，PA!DE=又PALBC,PA1截面 EBCVf-ebc= 1 Saebc - PE, VA ebc= 1 Saebc AEoDE BC,SaEB(= 1 BC , DE= lh ,VpAB(=VEBc+VaEB(=工 SaEBC . ( PE+AE= PA , SaEBC= - l 2h O注 本例的解法稱為分割法，把原三棱錐分割為兩個(gè)三棱錐，它們有公共的底面EBG而高的和恰為PA,因而計(jì)算簡(jiǎn)便。思路二本題也可用補(bǔ)形法求解。解 如圖85 2,將 ABC

8、#成平行四邊形 ABCD連結(jié)PD則PAX AD,且BC/平面PAD 故C到平面PAD的距離即為BC和平面PAD的距離。. MNL PA,又 MNL BC, BC/ AD, . MNL AD, MNL平面 PAD故 V P AB(=VP- AD(=VC PA= - SA PAD, MN=1 ( - - PA- AD) MN=1 l 2h。3326注本題的解法稱為補(bǔ)形法，將原三棱錐補(bǔ)形成四棱錐，利用體積互等的技巧進(jìn)行轉(zhuǎn)換，以達(dá)到求體積的目的。本題也可將三棱錐補(bǔ)成三棱柱求積。想一想，怎樣做？例題3 如圖817,已知正四棱柱ABCD-ABCD,點(diǎn)E在棱DD上，截面EAC/DB,且面EAC與底面ABC所

9、成角為45 , AB=a。(1)求截面EAC的面積；(2)求異面直線 AB與AC之間的距離；(3)求三棱錐B EAC的體積。(1999年全國(guó)高考試題)解 (1)如圖818,連結(jié)DB交AC于O,連結(jié)EQ底面 ABCD正方形，DOLAG 又 EDL底面 AC,EOLAG/EO喇是面EAC與底面AC所成的二面角的平面角，/EOD=45 。又 DO=-a, AC= V2 a, EO=asec45 =a,故 Seac=-?- a2。(2)由題設(shè) ABCD-ABCD是正四棱柱，得 AAL底面 AC AiAAC 又AiALAiB, AiA是異面直線 AB與AC之間的公垂線。d DiB/W EAC 且面 DB

10、D與面EAC交線為EQ.DiB/EO又O是DB的中點(diǎn)，E是DiD的中點(diǎn),DB=2EO=a。DD=D1B2 - DB2 = 22 a,即異面直線 AE與AC之間的距離為 J2 a。(3)法一：如圖 8- 18,連結(jié) DB,DD=DBAB =AC,可知 &VBC是正三角形 考查方向：考查三棱錐體積的常用求法。分析一：作點(diǎn)P在底面上的射影 O,求PO和三角形ABC的面積；，2把PBC作為底，則PA為高分析二：注意到 PA= 1 AB且/ PAB = 60知PA1PB如圖，作底面三角形頂角A的平分線AD,BC于D,過(guò)P點(diǎn)作底面同理PB_PC, 分析三：割法、補(bǔ)法 解法一：（用公式法解）的垂線，垂足為

11、Q由分析知射影 O必在AD上，易知AB=2q- S.abc =-3a2過(guò)P作PEJAB,垂足為E,連OE,則OE_LAB在 RtiPAE 中,3.PE = a,2/PAE =60，PA =aa -v 3AE = , OE =AE tg300=a HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 26在Rt妒OE中,PO = ；PE2 -OE2- 6=a3ABC是正三角形,1c -2 3PAB中 V p sbc = Sabc PO = a 33解法二：(利用等積轉(zhuǎn)換法解)在4PA =a, AB =2a, . PAB =60. PB2 =a2 (2a)2 -2 a

12、(2a) cos60=3a2.PAB是直角三角形，PA1PB,同理可證PA1PC,又PBPlPC=P ,PA _平面 PBC在.PBC中，PB = PC= 3a, BC=2a , S pBc=.；2a2 VpSBC -VA _PBC2 3S PBC PA = -3- a解法三：（用分割求積法解）由解法二知，PB = PC = T3a, D是BC中點(diǎn)，連結(jié)PDBC-LPD, BCJAD , PDAD=DBC,平面PAD- Vp-ABC =Vb_PAD VC -PAD= 2Vb_PAD =S PAD3、2 3BD = a33解法四：（用補(bǔ)形求積法解）延長(zhǎng)AP到Q,使PQ=a連結(jié)QB QC可得一個(gè)棱

13、長(zhǎng)為2a的正四面體1V p &BC = _ v q _ABC223石（2a）- 2 3二 a3例題6 過(guò)半徑為R的球面上一點(diǎn)作兩兩垂直的弦SB、SGSA(1)求證：SA2 + SB2 + SC2 為定值;（2）求三棱錐S-ABC的體積的最大值。解題：（1）如圖2,設(shè)SA SB確定的平面截球面為球小圓 QSA1SBAB為小圓直徑，連結(jié) SO并延長(zhǎng)交小圓于 D,連結(jié)SDSC-LSA, SC-LSBSC _L 平面 SAB 又由 SA 平面 SABSC -LSD截面SCM球大圓，即CD過(guò)球心OCD 2 = SD2 SC2 = SA2 SB2 SC2而 CD =2R 故 SA2 +SB2 +SC2 =4R2(2)三棱錐