高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題向量的模長問題幾何法

1、第34煉向量的模長問題一一幾何法、基礎(chǔ)知識:r r1、向量和差的幾何意義：已知向量a,b,則有:r r(1)若a,b共起點，則利用平行四邊形法則求r r r r r ra b ,可得a b是以a,b為鄰邊的平行四邊形的對角線r r(2)若a,b首尾相接，則利用三角形法則求出r r rb, a,b圍成一個三角形r2、向量數(shù)乘的幾何意義：對于 ar r(1)共線(平行)特點：a與a為共線向量，其中r r0時，a與a同向;r0時，ar與a反向(2)模長關(guān)系:3、與向量模長問題相關(guān)的定理:(1)三角形中的相關(guān)定理：設(shè)VABC三個內(nèi)角A,B,C所對的邊為a,b,c正弦定理:a bsin A sinBcs

2、inC 余弦定理：a2 b2 c2 2bc cos A(2)菱形：對角線垂直平分，且為內(nèi)角的角平分線特別的，對于底角60的菱形，其中一條對角線將此菱形分割為兩個全等的等邊三角形。(3)矩形：若四邊形 ABCD的平行四邊形，則對角線相等是該四邊形為矩形的充要條件4、利用幾何法求模長的條件：條件中的向量運算可構(gòu)成特殊的幾何圖形，且所求向量與幾何 圖形中的某條線段相關(guān)，則可考慮利用條件中的幾何知識處理模長二、典型例題：例1 : (2015屆北京市重點中學(xué)高三8月開學(xué)測試數(shù)學(xué)試卷)已知向量r ra,b的夾角為45,且r1,2aA. 5 B.2 C, 2、2 D.32思路：本題利用幾何圖形可解，運用向量

3、加減運算作出如下圖形：可知A. 2B.5 C.2 或 5 D.J2 或 J5r r r思路：首先由a,b,c兩兩所成的角相等可判斷出存在兩種情況：一是r r ra,b,c同向（如圖1,此r r r時夾角均為0）,則a b c為5 ,另一種情況為兩兩夾角突破口，由平行四邊形法則作圖得到r r rb與a,b夾角相等,23 r a（如圖2）,以1 （底角為60o的菱AB 2,B -, AC 屈，只需利用余弦定理求出|BC即可。 . .一一 r .222,解：如圖可得：b |BC ,在 VABC 中，有：AC |AB | BC 2 AB| BC cosB一2即：10 4 BC|2 2 BC cos-B

4、C2 272|BC 6 0 解得 BC| 3板或BC 夜（舍） r l 所以b 3展，答案：選Dr r r例2：若平面向量a,b, c兩兩所成的角相等,r形性質(zhì)），且與c反向，進而由圖得到答案：C例3:已知向量ra的取值范圍是（r r r a, b ,且 ar2 ,則 2bA. 1,3B.2,4 C.3,5 D.4,6思路:r先作出a ,即有向線段r rAB，考慮2b ar,將2b的起點與A重合，終點C繞A旋轉(zhuǎn)2 b 4,則 2b達到r .ra即為BC的長度，通過觀察可得 C與A,B共線時2br r最值。所以2b a max5, 2baminr3,且 2bra連續(xù)變化，所以r2b的取值范圍是3

5、,5答案:例4:r r設(shè)a,b是兩個非零向量，且思路:r r r r可知a,b,a b為平行四邊形的一組鄰邊和一條對角線，由2可知滿足條件的只能是底角為 60,邊長a 2的菱形,求出另一條對角線的長度為2.3答案：2、3例5:已知r ra,b為平面向量,從而可rD.b與a的夾角為一，aB.C._63思路:可知r r rb,a,b為平行四邊形的一組鄰邊及對角線，通圖和平行四邊形性質(zhì)得：在VABD中AB,ABD -, ADB 由正弦定理可得:ABADsinADBsin ABDsin 一4sin 一 3.634a1,即十b_63答案:已知r a,.一 .一 r .b是單位向量，且a,b的夾角為大值為

6、（B.C.ft廣 6.一 r . 一 , r r 一,右向量c滿足|c a 3r2b |2, r. 則| c |的最D.litr思路：本題已知a,b模長且夾角特殊，通過作圖可得2b a為模長為LT,設(shè)mr r2b a ，ir r irr r則可得m 2且c m 2b a為半徑的圓上。通過數(shù)形結(jié)合可得uur r,而m可視為以2b a共起點，終點在以起點為圓心,答案：A例7：在VABC中， B平面內(nèi)的一點，且uuu 3OAc的最大值為2邪（此時m的終點位于a點）uuu-,A6 uuu2OB6 ,設(shè)D是AB的中點，O是VABC所在uuurOCuuuDO的值是C.3D.思路：本題的關(guān)鍵在于確定O點的位

7、置，從而將uuurDO與已知線段找到聯(lián)系,uuu將 3OAuuu2OBuurOCr0考慮變形為uur 3OAuuu2OBuurOCuuu3 OAuuuOBuuu uur uuuOB OC CB,即uuuOEuurr uuuOA OB ,則O,D,E三點共線，且OE / BC ,uurOD答案:1 uur-OE 2B1 uuu6CB例8：已知向量R,恒有r思路：本題以artere作為突破口,通過作圖設(shè)uuurr則有AD te 。從而可得arBC , arteuuuOAuuu 1 uurrOB -CB,設(shè)3所以由平行四邊形性質(zhì)可得:r ra teuuuABrr rrrae,則eae的值為uuura

8、, AC e, D為直線l上一點,BD| ,即|BD BC，所以C點為直線l上到B距離最短的線段，由平面幾何知識可得最短的線段為B至U l的垂線段。所以 BC l ,即答案:小煉有話說：本題若用圖形解決，找到r rte, are在圖上的位置和兩個向量的聯(lián)系是關(guān)鍵r若向量ac,b c的夾角為60,則c的最大值是思路：由a,b條件可得a,b夾角 的余弦值csr ra bab120,若用代數(shù)方法處理夾角60的條件，則運算量較大。所以考慮利用圖形，設(shè)uurABr UULT a,ADr uuur r b,AC c ,則uuurrr uuurrCDbc,CBac,即 DCB 60,從而 DCB180,可判

9、定A,B,C,D 四點.LUTr共圓，則 AC的最大值為四邊形 ABCD外接圓的直徑，即VABD的直徑。在VABD中，由余弦定理可得:BDABAD2 AD| AB cs7 ,所以BD 書,由正弦定理可得：d 2RBD 2 21sin BAD2 21max 3urur urur=1 ,且與 的小煉有話說：若條件中向量的夾角為特殊角且很難用數(shù)量積，模長進行計算時，可考慮尋找 幾何圖形進行求解。ur ur ur r ur ur例10: （2010年，浙江，16）已知平面向量，0, 滿足夾角為120,則ir的取值范圍是思路：本題很難找到與數(shù)量積相關(guān)的條件，那么考慮利用圖形輔助求解。從圖中可觀察到2ur

10、 it itit2而 DBC 0,3sinDBC 0,1ir2-2.3rsinDBC 0,J33答案:ur的取值范圍是0,空3小煉有話說:例題中的部分問題也可采用模長平方的方式，從而轉(zhuǎn)化成為數(shù)量積求解。具體解法如下:解:r 2ar2 r4a 4ar r2b b4 4 b cosa,br2 b10r2 b2 Mb解得例2:解:r2 br2ar2br 2ar r rQ a,b,c夾角相同r r r當(dāng)a,b,c同向時，可得25r r r當(dāng)a,b,c兩兩夾角時,可得1,b2一,a2所以綜上所述:例3:解:r2br24br4ar2 a17b cos( a,b17.r r8cos ：； a,b因為 cos(a,b1,1r2b9,25r r即2b a3,5例4:解:2可得r2 ar2 br r2a b代入r2 br2a12例8:解:uuu 則OA2.33 3x, 239 6x 0得：2 一93 a c6y 0BC為x軸建立直角坐標(biāo)系。所以C6,0 ,A3.32uuu,OB1343.3uuur x, y ,OC6 x, yuuu,由 30Auuu2OBuiurOCx,y，r0可13 3.3,所以O(shè) ， 44因