高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)立體幾何解答題專題訓(xùn)練含解析

1、【狀元之路】2015版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 立體幾何解答題專題訓(xùn)練(含解析)1 .如圖，直三棱柱 ABO ABiCi中，ABC等邊三角形，D是BC的中點(diǎn).(1)求證：AB/平面ADC;(2)若AB= BB=2,求AD與平面AGD所成角的正弦值.解(1)證明：三棱柱 ABC-ABC是直三棱柱，四邊形 AACC是矩形.連接 AC交AC于Q 則O是AC的中點(diǎn)，又D是BC的中點(diǎn)，如圖. .在ABC 中，OD/ AB. AB?平面 ADC, OD?平面 ADC,二.ABT面 ADC(2)因?yàn)?ABB等邊三角形，D是BC的中點(diǎn),.ADL BC以D為原點(diǎn)，建立如圖所示空間坐標(biāo)系D-xyz.由已知AB= BB =

2、 2,得以0,0,0) , N4 0,0),Ai(a/3, 0,2) , 0(0, - 1,2).則DA=(審,0,0),Db=(0 , 1,2),設(shè)平面A0D的法向量為n=(x, y, z), fn - DA= 0,I、n , DG= 0,y+ 2z=0.取 z= 1,貝U x= 0, y= 2, n=(0,2,1).又 DA=(小,0,2),設(shè)AiD與平面ADC所成角為0 ,貝U sin 0 = |cosDA, n | =3535故Ai D與平面ADC所成角的正弦值為延5.2.EB如圖，AC是圓O的直徑，點(diǎn) B在圓O上，/ BAG= 30 , BML AC交AC于點(diǎn)M EA1平面ABCFC

3、/ EA AC= 4, EA= 3, FC= 1.(1)證明：ABL BF;(2)求平面BEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值.解 (1)證明：.AC是0O的直徑，ABL BC又 FC/ EA EAL 平面 ABCFC!平面 ABCFC1 AR二ABL平面 FBC ABL BF(2)由題設(shè)可得，AB= AC- cos30o = 2y3,BC= AC sin30 =2,，AM= AB:os30 =2小X*=3,MC= 1.y如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以垂直于平面ACE勺直線以及 AC, AE所在的直線為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由已知條件得收0,0,0) , MO,3,0) , E(

4、0,0,3),a8 3,0) , F(0,4,1) , BE=(一g-3,3),BF=(一小，1,1).設(shè)平面BEF的法向量為n=(x, y, z),由 n , BE= 0, n , BF= 0,得3x 3y + 3z = 0, -、一J3x+y+ z= 0令 x =#，得 y= 1, z= 2, n=(機(jī) 1,2),由已知E4平面ABC取平面ABC勺法向量為AE= (0,0,3),設(shè)平面BEF與平面ABO成的銳二面角為 0 , TOC o 1-5 h z 一#X0+1X0+2X32貝U cos 0 = |cos n, AE | = 產(chǎn)=-.3X2 . 22平面BEF與平面ABO成的銳二面角的

5、余弦值為 字,y一一_-3.如圖，四邊形 ABC時(shí)矩形，PDL平面ABCD PD/ QA QA= AD= PDc(1)求證：平面 PQC_平面DCQ3AB.(2)右二面角Q- BP- C的余弦值為a/-,求AD/值.解 (1)證明：設(shè)AD= 1,則DQ=/，DP= 2,又. PD/ QAZ PDO Z AQD= 45 ,在 DPQK由余弦定理可得 PQ= .2.dQ+ pQ= dP,PCX DQ又 PDL平面ABCDPDL DCCDL DA DAH PD= D,CDL平面 ADPQ. PC?平面 ADPQ CDL PQ又.CE DQ= D,:.PQL平面 DCQ又PQ?平面PQC平面PQC_平

6、面DCQ(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA DP DC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系xyz.設(shè) AD= 1, AB= m( n0).依題意有 D (0,0,0),C(0,0 ,n),P(0,2,0),Q1,1,0),B(1,0 ,m),則 CB= (1,0,0) , BP= (1,2, n), PQ= (1 , 1,0),設(shè)m=(X1, y1, Z1)是平面PBC勺法向量，n1 , CB=0,n bp= 0,X1 = 0,即, 一-X1+ 2y1 -mz= 0.因此可取 m=(0, m,2).設(shè)n2=(X2, y2, Z2)是平面PBQ勺法向量,n2 - BP= 0, 則 一用2

7、 PQ= 0,-X2+2y2 mz= 0,|X2 y2= 0,可取 n2= ( m m,1).又二面角 Q- BP C的余弦值為一5|cos | =2_m+2ym+ 4 12m+1 木4,-2m+7m 8= 0.又 m0,解得m= 1,因此，所求AD勺值為1.4.如圖，在四棱錐 P ABCDK 平面 PAC_平面 ABCD且PAL AC足BC/ AD ABL AD AB=BC= 1.點(diǎn)E, F分別為側(cè)棱PR PC上的點(diǎn)，且PA=AD=2.四邊形 ABCtDfPE PF=入PB PC.(2)理由.求證：EFT面PAD,1 .當(dāng)入=2時(shí)，求異面直線 BF與CD所成角的余弦值;是否存在實(shí)數(shù) 入，使得

8、平面 AFD_平面PCD若存在，試求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明(1)證明：由已知PE PF一=一=入PB PC EF/ BC又 BC/ ADEF/ AD而EF?平面PAD AD?平面PADEF/ 平面 PAD.平面 ABCQ平面PAC平面ABC固平面PAG= AG且PAL AQ PAL平面 ABCD. PAL AR PAL AD又. ABL AD PA AB AD兩兩垂直.如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)B= BC= 1, PA= AD= 2,1 , A(0,0,0),B(1,0,0, ),C(1,1,0),D(0,2,0),R0,0,2),當(dāng)入=萬(wàn)時(shí)，F(xiàn)為 PC中點(diǎn),.F1. F 2,BF=Cd

9、=(-1,1,0),設(shè)異面直線BF與CD所成的角為0 , TOC o 1-5 h z 11八 &小 2+2 gcos 0 = |cos BF, CD | = (= 6-32 XV2,3故異面直線BF與CD所成角的余弦值為七 3(3)設(shè) F( X0, 丫0, Z0),則 PF= (X0, y。，z。一 2), PC= (1,1 , -2),x=入，.y=入,m= 22 入， . AF=（入，入，2 2 入）,設(shè)平面AFD勺一個(gè)法向量為 f （xi, yi, zi）,m- AF= ,則1m- Ab= ,入 xi+入 yi+22 入 zi=,即2yi = ,令zi=入，得m= （2入一2, ,入）.

10、設(shè)平面PCM一個(gè)法向量為 n = （X2,乎,Z2）.n , PD= ,則工In - Cb= ,2y2 2z2= ,即，一X2+y2=,取 y2= i ,則 X2= i , Z2= i, n=（i,i,i）,由 mln,得 m- n=（2 入一2,入） （i,i,i） =2入2+入=,-2解得入=3 32_,，當(dāng)入=1時(shí)，使彳#平面 AFDL平面PCD 35.如圖，在四棱錐 S ABCDK 底面 ABCDI直角梯形，側(cè)棱 SAL底面ABCD AB垂直于AD和BC SA= AB= BC= 2, AD= i. M是棱 SB的中點(diǎn).D(i)求證：AM/平面SCD(2)求平面SCDW平面SAB所成二面

11、角的余弦值；(3)設(shè)點(diǎn)N是直線CD上的動(dòng)點(diǎn)，MNW平面SAB所成的角為。，求sin。的最大值.解(1)證明：以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0) ,B(0,2,0) ,C(2,2,0),D(1,0,0) , S(0,0,2) , M0，1,1) .則AM= (0,1,1) , Sd= (1,0 , -2) , CD= (-1, -2,0).設(shè)平面SCD勺法向量為n=(x, y, z),SD- n=0,E n=0,-x - 2y= 0.令 z= 1,得 n= (2 , 1,1). .AM n= 0,. . AMt n. .AM/平面 SCD(2)易知平面SAB的一個(gè)法向量為n1= (1,0,0)._ _,.，一 一一，,一一.兀設(shè)平面SCD平面SAB/f成的二面角為。，易知0。5,n1 - n 2 乖乖則 1cos 戶