彈性力學(xué)試卷2017上學(xué)期答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、.頁(yè)腳2016-2017第二學(xué)期彈性力學(xué)考試答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、概念問(wèn)答題1、以應(yīng)力作未知量，應(yīng)滿足什么方程及什么邊界條件？答：以應(yīng)力作為未知量應(yīng)滿足平衡微分方程、相容方程及邊界條件。（5分）2、平面問(wèn)題的未知量有哪些？方程有哪些？答：平面問(wèn)題有b、b、T、Y、U、V八個(gè)，方程有兩個(gè)平衡方程，三個(gè)幾何方程，三個(gè)物理方程。（5分）3、已知b=200Pa,b=100Pa,t=50Pa及c=100Pa,b=300Pa,xyxyr0t=100Pa，試分別在圖中所示單元體畫(huà)出應(yīng)力狀態(tài)圖。r04、簡(jiǎn)述圣維南原理。答：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)的主矩

2、也相同），那么，近處的應(yīng)力分量將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可以不計(jì)。（5分）5、簡(jiǎn)述應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義。答：形變協(xié)調(diào)條件是位移連續(xù)性的必然結(jié)果。連續(xù)體f位移連續(xù)f幾何方程f形變協(xié)調(diào)條件。（2分）形變協(xié)調(diào)條件是與形變對(duì)應(yīng)的位移存在且連續(xù)的必要條件。形變協(xié)調(diào)f對(duì)應(yīng)的位移存在f位移必然連續(xù)；形變不協(xié)調(diào)f對(duì)應(yīng)的位移不存在f不是物體實(shí)際存在的形變f微分體變形后不保持連續(xù)。（3分）6、剛體位移相應(yīng)于什么應(yīng)變狀態(tài)。答：剛體位移相應(yīng)于零應(yīng)變狀態(tài)，對(duì)平面問(wèn)題為8=8=0（5分）xyxy7、簡(jiǎn)述最小勢(shì)能原理，該原理等價(jià)于彈性力學(xué)的哪些基本方程？答：由位移變分方程可得6u-JJJ(Xu+Yv+Zw)dxdy

3、dz-JJ(XU+Yv+Zw)dS=0或6n=06n=U-JJJ(Xu+Yv+Zw)dxdydz-JJ(Xu+Yv+Zw)dS其中n為物體得總勢(shì)能（形變勢(shì)能和外力勢(shì)能在之和），6n=0稱(chēng)為最小勢(shì)能原理，它表明物體處于平衡位置時(shí)，總勢(shì)能的一階變分為零?？梢宰C明：在線彈性體中，62no,即在所有幾何可能的位移中，實(shí)際的位移使總勢(shì)能取最小值。最小勢(shì)能原理等價(jià)于平衡微分方程和靜力邊界條件。（5分）二、已知下述應(yīng)變狀態(tài)是物體變形時(shí)產(chǎn)生的，試求各系數(shù)之間應(yīng)滿足的關(guān)系（5分）=A+A（X2+y2）+X4+y4TOC o 1-5 h zx01=B+B（x2+y2）+x4+y4y01Y=C+Cxy（x2+y2+

4、C）xy012答：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變相容條件，即d糾2分）d2也x+ydy2dx2由題中給出的應(yīng)變可得：d2d2d2x=2A+12y2，y=2B+12x2，xy=3Cx2+3Cy2+CCdy21dx21dxdy1112則由相容條件可得：2A+12y2+2B+12x2=3Cx2+3Cy2+CC111112上式對(duì)任意x,y均成立，則有：12=3C(C=42A+2B=CCA+A=2C(3分)1112122三、試寫(xiě)出圖中所示各邊的精確邊界條件，圖中s、q均為均勻分布荷載，AF為固定邊界。（15分）解：AF邊：u=0，v=0AB邊：Q=0，T=0yxyEF邊：Q=0，T=0（2分）（2分）

5、（2分）BC邊:yxy（4分）lsina=v，m一cosa:2C至巨scos-至s2xy2T2xy遼.一ssinxs2y2Q+T二一SxxyT+Q二SxyyCD邊：（2分）Q二一qxT=0 xyDE邊：（3分）l=sin亞2m=cosa222Q+t=scosa=sx22xy2邁(e)(3分)I,K為x、y向的剛體平移，H為繞o點(diǎn)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角度。六、一端固定、另一端彈性支撐的梁，其跨度為l抗彎剛度EI為常數(shù)，彈簧系數(shù)為k,承受分布荷載q(x)的作用(如圖所示)。試用位移變分方程(或最小勢(shì)能原理)導(dǎo)出該梁以撓度形式表示的平衡微分方程和靜力邊界條件(15分)解：用位移變分方程推導(dǎo)(1)梁總應(yīng)變能的改

6、變?yōu)?J1EJfd2v2dx=EJJifd2v:6fd2v2oVdx2丿0Vdx2丿Vdx2丿8U=6dx(1分)外力總虛功為Jlq(x)6vdxR(6v)=Jlq(x)6vdxk(v6v)0A由位移變分方程得EJJ(四oIdx2丿1分)A0 x=l.dx2丿對(duì)上式左端運(yùn)用分部積分得EJJif空、o(dx2丿dx=Jlq(x)6vdxk(v6v)0 x=ldx=EJJldvd60dx2dv、dx丿=EJd2v6dx2=EJ代入(a)式，經(jīng)整理得d2vqfdv)dx2Idx丿-EJd3v6vdx3(a)(1分)f綃1EJJ也6|耐Vdx丿0dx3(dx丿0d2vq(dv)6Idx2Idxd3v6

7、vdx3x=0dx+kvEJ空6v+J1丿Vdx3丿0d4vEJ-qdx4d2v(dvEJ6Idx2dx1+EJJ也dxodx4o(x)6vdx=0 x=l(b)(3分)由于變分6v的任意性，式(b)成立的條件為EJ業(yè)q(x)=0dx4fdvd3v(c)d2v6dx2Idx丿6vdx3x=0d2ve/dv（d3v）EJ5+kv-EJ5vdx2dx丿Vdx3丿二0（e）（3分）xl(4)式(c)就是以撓度v表示的平衡微分方程。卞面討論邊界條件。由于梁的左端為固定端，因此有(dv)5|一Vdx丿梁的右端為彈性支撐，則有(5v)主0,xl（5v）0,x00 x0(dv)5|一Vdx丿_xl注意到式(d)能滿足，而欲使式(e)成立，必須滿足d2vVdx2式f）、0，kv-EJ空Vdx3丿0（f）（2分）（g）（2分）（h