牙輪鉆頭的巖屑破碎機理及可鉆性的分形法

1、牙輪鉆頭的巖屑破碎機理及可鉆性的分形法作者：中國石油天然氣股份有限公司渤海鉆探第一鉆井公司 40615隊工程師：李富摘要：為滿足高速優(yōu)質鉆井的要求，需要對巖石可鉆性做出快捷、精確的判 斷。利用分形幾何理論，研究了鉆井過程中牙輪鉆頭的破巖機理及巖屑的破碎概 率等問題。根據(jù)Bond裂紋學說，建立巖石可鉆性極值和巖屑分形維數(shù)的關系模 型。關鍵詞：牙輪鉆頭；巖石可鉆性；分形維數(shù)；破碎機理；等破碎概率中圖分類號：TE21;TE921正文巖石破碎機理研究是石油鉆井工程中一個重要分支，主要研究鉆 頭與地層巖石之間的作用關系及巖石的破碎規(guī)律問題，是決定鉆進效 率的基本因素之一。目前確定可鉆性指標的方式是在室內(nèi)

2、通過測試巖 石試樣的力學性能，或模擬真實鉆進條件用微鉆頭來研究可鉆性指 標。微鉆頭法測定結果符合程度高，但由于室內(nèi)試驗滯后于實際鉆進， 費用高，周期長，妨礙鉆井速度的提高。為解決以上問題，引入分形 理論，提出一種用巖屑粒度分布分形維數(shù)來確定可鉆性級別的測試方 法，簡稱分形法。該方法以井底返出巖屑作為研究對象，可以邊取樣 邊測定，實現(xiàn)隨鉆隨測，從根本上解決了傳統(tǒng)的取心法德滯后性、費 用高等缺點。1分形概念分形幾何學是一種定量的研究和描述自然界中極不規(guī)則且看似 無序的復雜結構、現(xiàn)象或行為ide新方法，主要內(nèi)容是研究一些具有 相似性的不規(guī)則曲線和形狀；具有自反演性的不規(guī)則圖形；具有自平 方性的分形變

3、換以及自仿射的分形集等等。由于沒有特征尺度，分形 體不能用一般的測度進行度量，描述分形的特征參數(shù)叫做分形維數(shù)， 簡稱分維，用D表示。分形的基本特征是自相似性，而且自然界中 的自相似性或標度不變性常常是統(tǒng)計意義上的。在實際應用中，這種 自相似性可以是數(shù)學意義上的嚴格自相似，也可以是“擬自相似性”。 通常把幾何上并不明顯的自相似性轉變成統(tǒng)計意義上的自相似性，文 中所研究的砂巖破碎體就是在統(tǒng)計意義下的自相似性。分形幾何理論在20世紀70年代后建立后，迅速在物理學、地理 學、冶金學、材料科學和計算機圖形學等領域得到應用，例如，在結 構性巖體爆破破碎分形、礦山巖體斷裂構造分形、巖石分形強度理論、 巖石破

4、裂、巖石損傷的研究方面。鉆井過程中的巖石破碎問題可以用 分形理論來描述鉆井上返巖屑的分形規(guī)律，進而確定巖石破碎的難易 程度。2牙輪鉆頭的砂巖破碎體分形石油鉆井中使用的鉆頭分為刮刀鉆頭、牙輪鉆頭及金剛石鉆頭等 三大類，其中牙輪鉆頭占完成進尺的80%-90%。本模型選擇的鉆頭 即為牙輪鉆頭，地層巖性為砂巖。巖屑顆粒尺度大于了的巖屑顆粒數(shù) 量N與r成冪律關系N=Cr d （1）某時刻t時，粒徑為x的砂巖碎屑的質量分布函數(shù)為M（x,t）。則dt時間內(nèi)，粒徑介于xx+dx的砂巖碎屑的質量為/ t M(x,t)/ xdxdt碎屑質量可分為兩部分：砂巖碎屑以速率S (x)破碎為下一級 粒徑的碎屑和由粒徑為a

5、的砂巖碎屑破碎成粒徑介于x-x+dx的砂巖 碎屑的質量/ t M(x,t)/ xdx=-S (x) M(x,t)/ xdx+f xx maxs(a) M(a,t)/ a B(x,a)/ xdxda (2) 式中，B(x,a)表示由粒徑a的碎屑破碎成粒徑為x的砂巖碎屑的質量 分布函數(shù)。砂巖碎屑的質量保持不變。試驗表明，S (x) =Kxb，B (x,a) =(x/a) b。為簡單起見，令M(xmax，t) =1，則變?yōu)?TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark19 o Current Document M (x,t) =1-exp(-kxbt)(3)令kt=xc-b，

6、xc相當于度量尺寸，可以假設xc=1。所以，當x1(xc=1) 時有 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document M (x,t) =xb(4)可見，牙輪鉆頭破碎砂巖得到鉆屑的質量分布是分形。由式(1) 可以得到砂巖破碎體的D表達式D=3-b(5)式中，b為M (x,t) /Mx在雙對數(shù)坐標下的斜率值，M (x,t) /M 為直徑小于x的碎屑顆粒的累計百分含量。3等概率砂巖破碎體破碎機理 3.1取砂巖破碎體試樣以大慶油田升深2-7井上返巖屑為試驗對象，該井位于松遼盆地 東南斷陷區(qū)徐家圍子斷陷代升平構造上，上返巖屑由牙輪鉆頭破碎地 層巖石得到，層位取自327

7、03520m，巖性為砂巖、頁巖、泥巖為主。 每隔10m取樣一次，每隔樣本質量大約在200g左右，自然干燥，巖 性描述后裝袋并記錄井深。井底三牙輪鉆頭輪齒對巖石的破碎主要是沖擊、壓碎、剪切作用。 適用于軟和中硬地層的剪切作用是通過牙輪鉆頭錐頂?shù)某敗湾F和 移軸產(chǎn)生滑移來實現(xiàn)的，破巖產(chǎn)物多以片狀巖屑為主。3.2巖屑破碎體的等破碎概率上返巖屑雖然粒度不同、形狀各異，但從宏觀來看，至少存在一 個近似的三角錐體。若從幾何角度出發(fā)，用三角錐體的變化來模擬巖 石的破碎過程，則有：在鉆頭輪齒的作用下，巖石由一個大的三角石 塊以線性相似比一Y =1/3、等破碎概率Pc破碎成幾個近似的小三角形 石塊，由于破碎碎

8、屑顆粒間相互摩擦、擠壓或與鉆頭碰撞同樣的方式 發(fā)生的再次破裂，部分石塊再一次破碎成更小的三角形石塊。如此破 碎在一定的尺度范圍內(nèi)進行下去。此過程可以用下面的方程式描述Nm=27 (1-Pc)1+27Pc+(27Pc)2+(27Pc)3+(27Pc)m-i (6)Nm+1=27 (1-Pc)1+27Pc+(27Pc)2+(27Pc)3+(27Pc)m (7)得Nm+1/ Nm27 Pc(8)有式(1)可得27 Pc =3d由于巖石破碎體的巖石體積尺寸分布區(qū)間廣，下面用歸納法 給出一個普遍的推導。假設邊長為h的立方體巖塊破碎為h/r的n個 子單元，巖屑破碎過程是嚴格的自相似，每次破碎將是以Pc破碎

9、為n個下級碎屑顆粒，相似比Y (0V 1)，同理可以推導得 TOC o 1-5 h z n Pc =Y -d(10)趙中巖提出的另一個模型，假設立方體破碎技術為B, 一次一個 單元破碎為B3個子單元。若將他們進一步分為可進一步破碎單元Nf 和不破碎的堅固單元A,則N廣Bd(11)趙中巖進一步證明，分形維數(shù)與破碎體形狀無關。注意到N廣Pc B3,式(10)可變?yōu)镻c =Bd-3(12)由式(12)可知，砂巖破碎體Pc，不僅與其D，也與每級破碎單元 B有關。其中B=2,3,4，.，m。在圖1中看到，巖石破碎單元基 數(shù)B=2時，初始值偏大；而在B=4,5或值更大時？扁小趨于0且又 過于接近，所以巖石

10、破碎單元基數(shù)B=3時是最合適的。當B確定后， Pc是隨D增大而增大的指數(shù)式。當Pc =0.5時，破碎與未破碎的體積 相等的臨界狀態(tài)，即D=2.37時，為臨界破碎分維。巖石的Pc是鉆頭 破碎巖石能力的表現(xiàn)，也是該組巖屑的整體破碎程度的表征。分形指數(shù)圖1巖石的燈破碎概率隨分形維數(shù)變化關系3.3巖石破碎體試驗結果將所取25組巖屑試樣一一進行篩分，按照式（4）計算D。實驗結果表 明：統(tǒng)計的相關性系數(shù)在0.96以上，相關程度極高，D在2.22.6 之間變化，牙輪鉆頭對巖石的Pc分布在0.3-0.7之間，見表1。表1 實驗結果巖性組數(shù)DPc砂巖102.3-2.60.4-0.7頁巖82.3-2.50.4-0

11、.6泥巖72.2-2.40.3-0.5實驗研究表明：砂巖碎屑的破碎過程分為2個階段：（1）在低圍 壓作用下，起破碎為沿膠結帶破裂，砂粒保持完整，這時砂巖碎屑以 砂粒和膠結物碎屑為主；（2）隨著圍壓的增加，其破碎為孔隙破裂，砂粒相互接觸，在接觸處產(chǎn)生高壓縮應力，砂粒發(fā)生沿品或穿品破裂， 破碎難度大幅度增加。由于上返巖屑取自3270-3520m，地層巖石的 圍壓大，鉆頭破碎單位體積巖石耗功隨之增大，對鉆頭而言巖石可鉆 性極值增大了，單位時間內(nèi)破碎體積減小，粒度變小。使得巖屑粒度 趨向細粒端，造成分形維數(shù)較高。3.4破碎能耗與破碎體粒度分布的關系巖屑分形模型破碎能耗u的微分表達式為du = -c4(

12、13)X 4 - D式中，C為常數(shù)。式(13)概括了所有D取值的粒度分布與破碎能耗的 關系。當D值取值為2,2.5和3時，對比式(13)積分就得到了巖石破 碎比功三大學說中的比功表達式Rittinger新表面學說比功a表達式 TOC o 1-5 h z a = K (土 - )(14)Bond裂紋學說比功a表達式a=Kbdm-土)(15)Kick相似學說比功a表達式a = K lg(d)(16)k dm式中，Kr,Kb和Kk均為材料常數(shù)；dm為粒度平均值，mm； d為初始 粒度mm。破碎比功三大學說在解釋破碎能耗對巖石作用方式完全不同，但 在分形模型破碎能耗微分表達式中得到了統(tǒng)一。因此，確定D

13、不僅 可以得到粒度分布，而且又是判別破碎能耗對巖石作用方式的依據(jù)。 試驗表明升深2-7井巖屑破碎體D變化區(qū)間近似Bond裂紋學說破碎機理，可見其能耗對巖屑的作用主要用來增加裂紋使巖屑破碎。4砂巖破碎體分維與可鉆性的關系眾所周知，巖石可鉆性極值Kd與微鉆時T之間的關系式K =log；(17)研究表明，砂巖破碎體D與砂巖抗壓強度之間存在著近似的 正比關系。筆者研究發(fā)現(xiàn)：巖心的壓入強度Py、微鉆頭可鉆性極值 Kd和巖石破碎體D液存在著近似的正比關系。Py和Kd是巖石可鉆性 的重要描述參數(shù)，巖石破碎體D與他們建立關系，也就與巖石可鉆 性就愛那里關系。由功等于功率(W)與時間(s)的積W=NT(18)即

14、T=W/N(19)式中，W可以由式(15)與破碎體積V的積得出，W=a V,式(15)中 dm是一個含有D和d的函數(shù)，且隨D的遞減的指數(shù)函數(shù)，而d可以 根據(jù)巖屑尺寸實際情況來確定。N為牙輪鉆頭破碎巖石所需的功率， N=CPnDh，P為鉆壓，n為轉速，Dh為鉆頭直徑。所以式(19)得T = aV / CP 氣)(20)將式(20)代入式(17 )中aV歐(21)至此，建立D與Kd之間的函數(shù)關系，根據(jù)室內(nèi)微鉆頭試驗得到由D表示的分級標準如下表，表中1-4級為軟，5-8級為中，9-11級為硬。表2中數(shù)據(jù)來源于松遼盆地巖心。巖屑D隨Kd增大而 增大，且D和Kd由明顯的對應性。一定區(qū)域的D代表著不 同K

15、d的大小，而且分級區(qū)間大小適宜。由于PDC鉆頭巖屑 與牙輪鉆頭巖屑在尺度和分布上有很大區(qū)別，所以分級表具 體分布區(qū)間有待于進一步研究。Kd1234567891011D1.731.731.851.952.072.182.292.402.512.622.741.851.952.072.182.292.402.512.622.742.85表2牙輪鉆頭可鉆性極值的分形維數(shù)表征5現(xiàn)場精度檢驗應用可鉆性分形模型(21)編制的地層可鉆性預測軟件，并制備相 應測定工具，對松遼盆地東南斷陷區(qū)徐家圍子斷陷帶升平構造、松遼 盆地中央斷壟區(qū)安達一肇州背斜帶、松遼盆地西部斷陷區(qū)古龍斷陷北 部葡萄花構造中臨近3 口井進行取樣測試。共取試樣75組，測試項 日有：巖心的室內(nèi)微鉆頭試驗、試驗巖屑的分維和上返巖屑氛圍等。 實驗結果表明：(1)巖樣破碎體D和Kd存在線性相關關系，其相關 性因子為0.826；(2)取心破碎得到碎屑D和分級表中D之間誤差波 動為2%-11%，整體平均值為6.08%；臨井上返巖屑和分級表中D之 間誤差波動為1%-9%，整體平均值為4.19%； (3)試驗中砂巖的預測 效果明顯要高于泥頁巖的預測值，由此造成整體預測誤差增大。根據(jù) 以上試驗結果，筆者對分級進行了相應的修正，使其精度得到進一步 提高。