彈性力學習題

1、習題1如果某一問題中，Q=T=T=0，只存在平面應力分量b,b,T，且它們不沿zzzxxyxyxy方向變化，僅為x，y的函數，試考慮此問題是否就是平面應力問題？（是）2如果某一問題中，=y=丫=0，只存在平面應變分量，丫，且它們不沿zzzxzyxyxy方向變化，僅為x，y的函數，試考慮此問題是否就是平面應變問題？（是）3試分析說明，在不受任何面力作用的空間體表面附近的薄層中，圖2-11，其應力狀態(tài)接近于平面應力的情況。（自由表面薄層中：bB0t=tB0bbt豐0近于平面應力問zyzxzxyxy題）2-4試分析說明，在板面上處處受法向約束且不受切向面力作用的等厚度薄板中，圖2-12，當板邊上只受

2、x，y向的面力或約束，且不沿厚度變化時，其應變狀態(tài)近于平面應變的情況。（Q=0t=t=0:.y=y=0只有y工0接近平面應變問題）zyzyzxzyzxyxy5在圖2-3的微分體中，若將對形心的力矩平衡條件乂Mc=0，改為對角點的力矩平衡條件，試問將導出什么形式的方程？（t=t）xyyx1試考察應力函數二ay3在圖3-8所求的矩形板和坐標系中能解決什么問題（體力不計）。圖圖3-2取滿足相容方程的應力函數為：（1）=ax2y，(2)=bxy2，(3)=cxy2，試求出應力分量（不計體力），畫出圖3-9所示彈性體邊界上的面力分布，并在次要邊界上表示出面力的主矢量和主矩。3-3試考察應力函數=-xy（

3、3h2-4y2）能滿足相容方程，并求出應力分量（不計體力），2h3畫出圖3-9所示矩形體邊界上的面力分布（在次要邊界上畫出面力的主矢量和主矩），指出該應力函數所能解決的問題。3-4試證二qx21-4圧+3工-1+qy212藝-丄能滿足相容方程，4Ih3h丿10Ih3h丿并考察它在圖3-9所示矩形板和坐標系中能解決什么問題(設矩形板的長度為1,深度為h,體力不計)。O廠PS.15設有矩形截面的長豎柱，密度為p，在一邊側面上受均布剪力q,圖3-10，試求應力分量。Pb1試比較極坐標和直角坐標中的平衡微分方程、幾何方程和物理方程，指出哪些項是相似的，哪些項是極坐標中特有的？并說明產生這些項的原因。2

4、試導出極坐標和直角坐標中位移分量的坐標變換式。4-3在軸對稱位移問題中，試導出按位移求解的基本方程。并證明u=Ap+B,u=0可以滿PP9足此基本方程。4-4試導出軸對稱位移問題中，按應力求解時的相容方程。4-5試由一階導數的坐標變換式，導出二階導數的坐標變換式4-3中的式(a)，(b),(c)。1長1懸臂梁，B端作用集中力P分別用1)最小勢能原理2)(拉格郎日)位移變分方程求B端撓度(設v=bx2+bx3)取t=1m,=0。6-6試求圖6-25所示結構1的結2點位移和應力，7-1試證明：在與三個主應力成相同角度的面上，正應力等于三個應力的平均值。7-2設某一物體發(fā)生如下的位移：u=a+ax+

5、ay+azTOC o 1-5 h z0123v=b+bx+by+bz0123w=c+cx+cy+cz0123試證明：各個形變分量在物體內為常量(即所謂均勻形變)；在變形以后，物體內的平面保持為平面，直線保持為直線，平行面保持平行，平行線保持平行，正平行六面體變成斜平行六面體，圓球面變成橢球面。8-5半空間體在邊界平面的一個圓面積上受有均布壓力q。設圓面積的半徑為a,試求圓心下方距邊界為h處的位移。02x3-1考察應力函數=ay3在圖示矩形板和坐標系能解決什么問題。解竺=0_=0如=0滿足雙調和方程(相容方程)可作應力函數Qx4Qx2Qy2Qy4應力分量(2-24)：g=空=6ayxQy2Q2Q

6、x2TxyQ2力邊界條件(2-25)：1g+mT=xyxmG+It=yxy上下邊界l=0m=1:fxf=0=0左邊界l=1m=0f=g=6ayf=0 xxy右邊界l=1m=0f=g=6ayf=0 xxya0解決偏心拉伸問題a0解決偏心壓縮問題yy3.2解：g=Q2=0GxQy2y力邊界：E=F=0t=qx(3xxybb2Eb+F=0則b=0b=y(1-)-pgyxybb4-1解：物理方程完全相似，因為極坐標和直角坐標都是正交坐標等。平衡方程多了非微分項，這是由于i）微分體二徑向邊不平行，使bq對p方向的平衡產生了影響。ii）二環(huán)向邊不等長使b在p方向，t在Q方向產生附加影響。pp0幾何方程多了

7、非微分項這是由于微分體二徑向邊平不平行，u引起周向應變UPu引起剪應變算-UPp申dpp2仿照直角坐標系的旋轉變換u=ucos+usin92-1K3、整體分析整體剛度矩陣k=ka4K=K+K+K111213K+K+K21K31K4122K32K4223K330K14K240K4430丨01-20丨-1-03:10-1-1:0-2廠1-T01:30-1-1:-201一衛(wèi)丄0301-21-1-1-2-1:-10311:000-1:-1-2；13:00|_1+-10:-2-100:31-1-2:0-100:13E43001-20-1-10310-1-10-20130-1-1-2010030-2-1-

8、1-2-1-1031000-1-1-21300-10-2-10031-1-20-10013=0=0整體剛度方程4、位移邊界條件處理u2u3E4uF、11v01u02v-FV2=V2u03v03u04v04=0U=03u45、方程求解,去除u=01U=0六個方程4得：31136、單元應力,u1v2F1-F2=(3F+F)2E22v=(F+3F)22E1=2F=E2F2F1Tr-2f2F100006=0000LEEJLEET6=v2u1設F=F=F貝y,122FE00-202010 xQ=ss=ELL020-20012F00002F-T=V0yT2LL10-1-101LLEE0_xyQ00-202

9、01-2F002F卜2F1xVqs6-ELL020-200IL001T=V+2FyT2LL10-1-101LEE0_=00平均應力丿axayTxy7-1試證明：在與三個主應力成相同角度的面上，正應力等于三個主應力的平均值。證：取坐標面與三個主平面重合，由題意l=m=n=吉由式(7-3),a=12G+m2G+n2G=土(a+a+a)127-2解：1)8=Qu=axQx1Qv78=byQy2QwY=+=yzQyQzdvQw=cQzQudw=+=a+cQzQx31QvQu7Y=+=b+axyQxQy122)平面方程Ax+By+Cz+D=0，按題意平面上任一點(x,y,z)位移到(x+u,y+v,z+

10、w)彳弋入萬程后仍是平面萬禾呈(A+a+b+c)x+(B+a+b+c)y+(C+a+b+c)z+(D+a+b+c)=0111222333000Aix+By+Ciz+?咒即二平面的交線Ax+By+Cz+D=02i223)設直線方程：4c+b23yx變形后，按2)得二個新的平面的交線，仍為直線4)二個平行平面：Ax+By+Cz+Di=0法線的方向數ABC。點(x,y,z)用Ax+By+Cz+D=02(x+u,y+u,z+w)代替整理后，二平面的法線的方向數仍相同，即平行。由此推論：正平行六面體變形后成為斜平行六面體(由于yyy的存在單元體變斜)xyyzzx把二平行線定義為二平行平面的法線，變形后按4)二新的平行平面的法線仍平行園球面方程x2+y2+z2=a2，點(x,y,z)用(x+u,y+u,z+w)代入可得形如Ax2+By2+Cz2=a2的方程，即橢球面。iii8-5解：按(8-