數(shù)字信號處理：第四章 信號與系統(tǒng)的相互作用

1、 第四章：信號與系統(tǒng)的相互作用4.1 卷積的描述4.2 相關(guān)的描述4.3 卷積和相關(guān)的比較 4.1 卷積的描述4.1.1 卷積的定義4.1.2 卷積的深入理解 4.1.3 卷積的邊界效應(yīng)4.1.4 從卷積的性質(zhì)看系統(tǒng)互聯(lián)4.1.5 卷積的頻域描述卷積：系統(tǒng)的輸入與輸出之間的關(guān)系。 在第三章中已經(jīng)提到，單位沖激響應(yīng)可以完全表征一個LTI系統(tǒng)的特性，此時系統(tǒng)的輸入/輸出關(guān)系可以表示為：實(shí)際上，上式所示的系統(tǒng)輸入/輸出關(guān)系在信號處理中非常普遍，因此引入了一個專用的名稱，即線性卷積，通常簡記為： 4.1.1 卷積的定義式中，“*”表示線性卷積，通常簡稱為卷積。因此，一個系統(tǒng)的輸出也通常稱為輸入與單位沖

2、激響應(yīng)的卷積。利用上式來計(jì)算系統(tǒng)輸出可以分解為如下5個基本步驟：Step1：更換坐標(biāo)。將 和 的坐標(biāo)由 替換為 ，得到 和 。Step2：折疊。將 關(guān)于 折疊，得到 。Step3：平移。將 平移 個單位，得到 。若 則右移，若 則左移，若 則不必移動。Step4：相乘。將 和 相乘，得到一個新信號 。Step5：求和。將 的所有值求和，得到系統(tǒng) 時刻的輸出 。利用這5個步驟，可以計(jì)算任意時刻的輸出 。但在實(shí)際應(yīng)用中， 并不是在 每個整數(shù)上都有值；只有當(dāng) 和 有重疊時， 才不全為0，此時的 才有值；否則 的所有值都為0， 也必為0。因此在實(shí)際計(jì)算時，還需要根據(jù) 和 的長度，判斷 有值時 的范圍。

3、這部分工作在步驟3中就要完成。 4.1.1 卷積的定義 4.1.1 卷積的定義例1 一個系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)為：其波形如圖（a）所示。系統(tǒng)輸入x(n)為其波形如圖（b）所示。 4.1.1 卷積的定義下面按前面講的5個步驟來計(jì)算系統(tǒng)的輸出 y(n)。Step1：更換坐標(biāo)，得到了x(m) 和h(m)，其波形分別如圖（c）和（d）所示。分別與圖（a）和圖（b）相比，波形均未發(fā)生變化，只是坐標(biāo)由n 變成了m。 4.1.1 卷積的定義Step2：折疊。將 h(m) 關(guān)于m=0折疊，得到 h(-m)，其波形如圖（e）所示。Step3：平移。在本例中，由于系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，當(dāng)n=(3+3-1)=5時，

4、x(m)與h(n-m)就不再重疊了，此時系統(tǒng)也無輸出。也即是說，只有當(dāng)0=n=4時， y(n) 才有值。這就說明了n平移時的取值范圍。當(dāng) 時n=0，h(-m) 無需平移 。 4.1.1 卷積的定義Step4 : 相乘。將 x(m)與 h(-m)相乘，得到新信號v0(m)，其波形如圖(f)所示。Step5：求和。將 v0(m)的所有值求和。本例中v0(m)只有一個值，求得的 y(0)=2 。這個計(jì)算結(jié)果也可以表示為： 這樣就完成了n=0時系統(tǒng)的輸出。按照步驟3得到n的范圍，重復(fù)第35步的過程，可以得到各個時刻的輸出： 4.1.1 卷積的定義 圖（g）給出了 的波形。圖（h)給出了 的波形。圖(i

5、)給出了系統(tǒng)輸出 的波形圖，這就是輸入信號 與系統(tǒng) 相互作用下的輸出，或者說 與 卷積的結(jié)果。卷積是信號處理中一個非常重要的概念，從數(shù)學(xué)定義上看并不復(fù)雜。但實(shí)際上，很少用公式來計(jì)算系統(tǒng)的輸出。在實(shí)際中，更重要的是利用卷積的概念來解決信號處理的問題，這就要求卷積這個概念有更深入的理解，下面分別從輸入信號和系統(tǒng)這兩個不同的角度來深入的理解卷積的概念。 4.1.2 卷積的深入理解 從輸入信號的角度理解 所示的卷積運(yùn)算是從輸入信號分解為單位沖激信號之和得到的。這點(diǎn)在前面有些比較詳細(xì)的說明。下面來深入理解一下為什么要將h(n)先折疊。h(n)是指輸入為 時系統(tǒng)的輸出，通俗地說就是，僅在n=0時刻給系統(tǒng)輸

6、入一個值,系統(tǒng)不只在n=0時刻有輸出，在 等隨后的時刻也可能有輸出。也就是說在0時刻這個數(shù)值，可能會導(dǎo)致系統(tǒng)在很長時間之后還有輸出。更有甚者，只要在0時刻該系統(tǒng)施加一個沖激信號系統(tǒng)就一直源源不斷的會有輸出，直到永遠(yuǎn)。這就是IIR系統(tǒng)的情況。 4.1.2 卷積的深入理解對h(n) 長度有限的情況及，F(xiàn)IR系統(tǒng)的情況,舉一個例子來說明。例1 某人一天走路不小心摔了一跤，如果將人體看作一個系統(tǒng)的話，摔跤可以看作一個沖激信號，對這個沖激信號人體這個系統(tǒng)的反應(yīng)是馬上就有點(diǎn)疼，第二天還有點(diǎn)疼，第三天可能還有點(diǎn)感覺，一個星期后可能就沒事了。這就說明對摔跤這個信號人體這個系統(tǒng)的h(n)的持續(xù)時間是一個星期，這

7、個過程可以由下圖比較直觀地來反映，圖(a)表示摔跤，圖(b)表示人體的疼痛程度與時間的關(guān)系。 4.1.2 卷積的深入理解例2 假定最近比較不順，第二天不小心又摔了一跤，與第一天摔跤的情況一樣，第二天摔跤造成的身體疼痛也要持續(xù)一個星期。對應(yīng)的圖形如下圖(c)和圖(d)所示，用公式表示第二天的輸入為(n-1)，對應(yīng)的輸出為h(n-1) 。很顯然，如果對身體這個系統(tǒng)來說，連續(xù)兩天摔跤的輸入信號可以表示為: 對應(yīng)的輸出為： 4.1.2 卷積的深入理解其對應(yīng)的圖形如圖(e)和圖(f)所示?？梢钥闯龅诙焯弁闯潭让黠@增加，這也符合人們的感受，舊傷未愈又添新傷，自然就更疼了。更一般的情況是，即使是連續(xù)兩天摔

8、跤，每次摔跤的強(qiáng)度也是不一樣的，如果用x(0)表示第一天的摔跤長度，用x(1)表示第二天的摔跤強(qiáng)度，那么此時的輸入改寫為： 4.1.2 卷積的深入理解對應(yīng)的輸出變?yōu)椋喝绻偻茝V一下，x(n)包含了M個值,那么這M個值對于輸出都會有所貢獻(xiàn)。n=m時刻的輸入值x(m)對應(yīng)的貢獻(xiàn)值是x(m) h(n-m)，總的輸出就是不同x(m)貢獻(xiàn)值的求和，即：這就是 的結(jié)果，由此也可以將卷積公式中的h(n-m)理解為延時，這樣的物理意義更清晰一些。通過摔跤這個例子可以這樣理解卷積的過程：對于一個信號來說，不同時刻的輸入值x(m)對系統(tǒng)的輸出都有貢獻(xiàn)，貢獻(xiàn)的大小一方面與x(m)的大小與有關(guān)，另一方面與m的大小有關(guān)

9、。系統(tǒng)的輸出就是將不同的x(m)的貢獻(xiàn)都加起來的結(jié)果。或者說輸入信號就像是一組加權(quán)系數(shù)，對x(m)及其延時進(jìn)行相應(yīng)的加權(quán)，可以得到系統(tǒng)的輸出。 4.1.2 卷積的深入理解 從系統(tǒng)的角度理解從輸入信號的角度對卷積過程的解釋，有比較明確的物理意義，但還有一點(diǎn)和我們直觀認(rèn)識并不一致，在日常用語中，系統(tǒng)代表的是相對不變的東西。例1 進(jìn)火車站的時候，要將行李通過一個“危險物品檢測系統(tǒng)”，這個系統(tǒng)只要開機(jī)就在那里一直不停的重復(fù)工作，系統(tǒng)是不變的，而通過這個系統(tǒng)的行李，也即通過這個系統(tǒng)的信號有源源不斷的發(fā)生變化。因此對信號處理系統(tǒng)來說，從h(n)不變的情況來理解卷積，可能更有利于從直觀上認(rèn)識信號與系統(tǒng)的相互

10、作用。例2 假定h(n)只有在0=n2時系統(tǒng)的輸出可以寫為：寫成更一般的表達(dá)式： 4.1.2 卷積的深入理解由此也可以很自然地推廣到h(n)取值更多的情況：上式的實(shí)際過程是，當(dāng)信號x(n)像流水一樣輸入系統(tǒng)的時候，系統(tǒng)猶如流水一般的輸出處理結(jié)果。他所表征的物理意義是：系統(tǒng)的h(n)可以看作是一組加權(quán)系數(shù)，系統(tǒng)的輸出不僅和當(dāng)前時刻的時候有關(guān)，而且與之前時刻的輸入也有關(guān)，但不同時刻的輸入對輸出的影響是不一樣的。 h(n)這組加權(quán)系數(shù)就是表征這種不同的影響。信號處理的過程可以看作是對輸入信號加權(quán)運(yùn)算的結(jié)果。從數(shù)學(xué)的角度也很容易得到上式，對式 做一個簡單的變量替換k=n-m，上式可以變形為： 4.1.

11、3 卷積的邊界效應(yīng)從 的卷積計(jì)算過程知道，假定系統(tǒng)的h(n)的長度為M，也就是說h(n)共有M個,系統(tǒng)的輸出與M個不同時刻的輸入有關(guān)。由上面式子可以看出，在前面這個M=3的例子中，y(2)與x(0),x(1) ,x(2) ,這3個值有關(guān)， y(3)與x(1),x(2) ,x(3) ,這3個值有關(guān)。但再看 ， y(0)的輸出僅與x(0)一個值有關(guān)。從式 可以看出，y(1)的輸出僅與x(0) ),x(1)這兩個值 有關(guān)。為什么當(dāng)n2時，輸出不是與3個輸入值有關(guān)呢？這就是邊界效應(yīng)。實(shí)際上，上述式子后面有一個假設(shè)，即當(dāng)n0時, y(n)右移；當(dāng)m=3或者m-1時， rxy(m)隨著m的增加而減小，當(dāng)m

12、-1時， rxy(m)隨著m的增加而增加，這表明，m=-1時， x(n)與 y(n)的相關(guān)性最強(qiáng)，隨著m的增加， x(n)與 y(n)的相關(guān)性越來越弱。樣了，相關(guān)性慢慢減弱，此時的相關(guān)值應(yīng)該逐步變從直觀定性的角度，m=-1時， x(n)與 y(n)兩個信號完全一致，也可以說是完全相關(guān)的，此時也應(yīng)該相關(guān)值最大，隨著m的增加，兩個信號越來越不一樣了，相關(guān)性慢慢減弱，此時的相關(guān)值應(yīng)該逐步變小。了，相關(guān)性慢慢減弱，此時的相關(guān)值應(yīng)該逐步變在信號處理中，相關(guān)從物理概念上可以理解為兩個信號的相似程度，但這是否意味著， rxy(m)越大，信號的相似性越強(qiáng)呢？看一個例子。了，相關(guān)性慢慢減弱，此時的相關(guān)值應(yīng)該逐步

13、變 4.2.2 相關(guān)的深入理解例2 假設(shè)有4個因果信號：其波形分別如下圖(a )、(b )、(c )、(d)所示，可以明顯看出x1(n)與x2(n)非常相似，僅在幅度上相差一倍， x3(n)與 x4(n)也同樣如此。用相關(guān)的定義，可以計(jì)算得到， rx1x2(0)=38 ， rx3x4(0)=20。從絕對值的角度，rx1x2(0) 明顯要大于rx3x4(0)，但從下圖我們知道，從信號相似性的角度， x1(n)與x2(n)的相似程度和x3(n)與 x4(n)的相似程度是完全一致的，這個例子說明，rxy(m)的絕對值越大，并不能說明信號的相似程度越強(qiáng)。 4.2.2 相關(guān)的深入理解這就有點(diǎn)迷糊了，一方

14、面說相關(guān)表征了信號的相似程度，另一方面又說相關(guān)的絕對值越大，并不能說明這兩個信號的相似程度越強(qiáng)，這到底是怎么回事？為了解決這個問題信號處理中用相關(guān)系數(shù)xy(m)來更加細(xì)致的描述信號的相似程度，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 4.2.2 相關(guān)的深入理解xy(m)也成為互相關(guān)系數(shù)，同樣地，自相關(guān)系數(shù)可寫為：由此可以看出，相關(guān)系數(shù)xy(m) 可以認(rèn)為是歸一化的rxy(m) 。對能量信號來說歸一化因子為信號的能量；對功率信號來說歸一化因子為信號功率。借助相關(guān)系數(shù)就消除了信號幅度的影響，從而更好地描述了信號的相似性。從數(shù)學(xué)上可以證明 |xy(m)|=1，它所表示的物理意義是： xy(m)為為1時表示兩個信號完全相關(guān)或

15、者說完全相似， xy(m)為0時，表示兩個信號完全不相關(guān)或者完全不相似，這充分反映了我們的直觀認(rèn)識。利用相關(guān)系數(shù)概念，對于能量相同的信號，rxy(m)的絕對值越大，則信號越相似，rxy(m)的絕對值越小，則信號越不相似，rxy(m)為0時信號完全不相似 4.2.2 相關(guān)的深入理解相關(guān)最直接的物理意義是表征的信號的相似性，這為我們理解相關(guān)提供了一個非常直接的切入點(diǎn)。但要強(qiáng)調(diào)的是相關(guān)的意義，并不僅在于描述信號的相關(guān)性。在前面已經(jīng)看到相關(guān)可以看成是一類特殊信號與系統(tǒng)的相互作用，在后面還將看到相關(guān)是描述噪聲必不可少工具；如果再擴(kuò)展一些，是描述所有隨機(jī)信號必不可少的工具。 4.2.3 相關(guān)的頻域描述為了

16、更好地從相關(guān)的角度看待噪聲和最優(yōu)檢測系統(tǒng)，先來看一下相關(guān)的頻域描述。若x(n)和y(n)為能量信號，其傅里葉變換分別為X(ej)和Y(ej) ，則rxy(m)的傅里葉變換Rxy(ej)可以表示為:對上式做一個簡單的變量替換k=n-m，可重寫為：同樣的，對于自相關(guān)rxy(m) ，其傅里葉變換為： 4.2.3 相關(guān)的頻域描述這表明，相關(guān)的傅里葉變換Rxy(ej)可以看作是X(ej)和Y(ej)共軛的乘積。其物理意義暫時不講，在后面介紹最優(yōu)檢測系統(tǒng)時，我們還會重新認(rèn)識相關(guān)的頻率表現(xiàn)形式。對于功率信號來說，包括隨機(jī)信號與周期信號， Rxx(ej)也稱為信號的功率譜。功率譜Rxx(ej)與自相關(guān)rxx(

17、m)之間的傅里葉變換對的關(guān)系如下：這就是信號處理中著名的維納-辛欽定理，為功率信號與的時域與頻域之間的分析架起了一座橋梁。功率譜是信號處理中非常重要的概念，通常用Pxx(ej)這個專門的符號來表示 4.2.4 從相關(guān)的角度看噪聲第2章已經(jīng)簡要介紹過噪聲，到那時只因而還不夠全面。是從隨機(jī)變量概率的角度來描述，講的是給定的時刻，噪聲可能的取值服從某種概率分布，但這種描述不能表現(xiàn)不同時刻的噪聲之間的關(guān)系。 噪聲的高斯平穩(wěn)假設(shè)我們都知道信號處理最主要的任務(wù)就是從被噪聲污染的信號中提取出有用的信息，如果沒有噪聲的話，很多的信號處理問題可能就不再成為問題，前面已經(jīng)講過經(jīng)典的數(shù)字信號處理有兩大基石，LTI系

18、統(tǒng)和高斯平穩(wěn)噪聲。LTI系統(tǒng)體現(xiàn)出的是疊加性，這是信號處理最重要的思維方式之一。噪聲的平穩(wěn)性，從嚴(yán)格意義上說，指的是聯(lián)合概率密度與時間的起點(diǎn)無關(guān)，只與相差的時間有關(guān)，這種平穩(wěn)也稱為狹義平穩(wěn)。從更廣泛的意義上說，平穩(wěn)性指的是其均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)與時間起點(diǎn)無關(guān)，只與相差的時間有關(guān)，這種平穩(wěn)也稱為廣義平穩(wěn)，或者寬平穩(wěn)。 4.2.4 從相關(guān)的角度看噪聲對于隨機(jī)變量和隨機(jī)過程來說，到現(xiàn)在為止人們所能采用的最科學(xué)的方法自然是用概率密度進(jìn)行描述。但這種方法不僅相當(dāng)復(fù)雜，而且不太實(shí)用。在信號處理中，通常以相關(guān)為核心來描述隨機(jī)過程，對于噪聲，也是從相關(guān)的角度來描述和分析。從嚴(yán)格意義上講，隨機(jī)過程相關(guān)的計(jì)算要從

19、概率密度出發(fā)，但在實(shí)際中概率密度往往很難精確知道。為解決這個問題，在概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，人們用了“各態(tài)歷經(jīng)”假設(shè)，在這種假設(shè)的框架下就可以從一個樣本過程直接估計(jì)隨機(jī)過程的均值和相關(guān)函數(shù)，這樣就不再需要從理論上的無窮個樣本過程出發(fā)統(tǒng)計(jì)出概率密度，然后再計(jì)算均值和相關(guān)，從而使實(shí)際上隨機(jī)過程均值和相關(guān)計(jì)算成為可能。噪聲是一類與有用信號相伴相隨的隨機(jī)過程，因而在分析中也總是用到平穩(wěn)和各態(tài)歷經(jīng)這兩個假設(shè)，一般都是默認(rèn)這兩個假設(shè)，這就是噪聲平穩(wěn)性這塊基石的基礎(chǔ)。服從高斯分布的噪聲是最常見的噪聲類型，從概率統(tǒng)計(jì)的理論出發(fā)，可以證明，用均值和相關(guān)可以充分描述一個平穩(wěn)的高斯噪聲，因而處理也相對比較簡單，因此在經(jīng)典

20、的數(shù)字信號處理中，高斯平穩(wěn)噪聲也是一塊基石。 4.2.4 從相關(guān)的角度看噪聲在信號處理中，最常聽到的噪聲就是高斯白噪聲，高斯噪聲是在給定的時刻n，噪聲v(n)是一個隨機(jī)變量，這個隨機(jī)變量服從高斯分布，或者說正態(tài)分布，其概率密度用數(shù)學(xué)公式可寫為： 高斯白噪聲的理解式中， v為隨機(jī)變量的均值，v2為方差。這兩個參數(shù)均有明確的物理意義。均值的物理意義很好理解，就是取平均，方差的物理意義稍微復(fù)雜，稍后再解釋。為了討論方便，信號處理中通常假定v為0，這一方面是因?yàn)楹芏嘣肼暤木档拇_為0，另外一方面是，如果均值不為0的話，利用協(xié)方差這個概念，可以將均值不為0的噪聲轉(zhuǎn)化為均值為0的噪聲來處理。因此，在沒有特

21、別指明的情況下，高斯白噪聲指的是零均值的高斯白噪聲，下圖給出了一個均值為0,方差為1的高斯分布概率密度示意圖。 4.2.4 從相關(guān)的角度看噪聲我們知道，噪聲就是一類看起來雜亂無章的隨機(jī)過程，那么白噪聲指的是什么樣的噪聲呢？這里“白”更多的是從頻域角度來講的。最初來源于英國科學(xué)家牛頓，他在研究光學(xué)的時候發(fā)現(xiàn)，白光包含所有頻率的光波。同樣的道理，白噪聲指的是包含了所有頻率的噪聲，因而，噪聲是功率信號，無法計(jì)算其傅里葉變換，因而在頻域無法用頻譜來描述，只能采用功率譜這個概念，并且功率譜可以表示為： 4.2.4 從相關(guān)的角度看噪聲根據(jù)維納-辛欽定理可知，功率譜的反傅里葉變換就是自相關(guān)，因此上式可以很方

22、便的計(jì)算出白噪聲的自相關(guān)為：白噪聲的自相關(guān)、功率譜分別如下圖所示(a)、(b)所示，可以看出，在頻域上的“白”指的是全頻段的特性一致，因而在時域上“白”指的是不同時刻的噪聲不相關(guān)。從直觀上來想，帶寬表示的是變化快慢的范圍，因此，頻域上的帶寬無限大，表示的是時間上變化的無限快，這樣就可以很自然地推斷出時間上即便是相鄰的兩個噪聲值，因其變化太快，也是不相關(guān)的。這種直觀上的定性理解和上式定量描述是完全吻合的。 4.2.4 從相關(guān)的角度看噪聲由上述討論可知，高斯噪聲和白噪聲是兩類相互獨(dú)立的噪聲。高斯噪聲表征的是噪聲所服從的概率分布是高斯的。白噪聲，從時域上來看表現(xiàn)的是不同時刻之間噪聲的不相關(guān)，從頻域上

23、來看表征的是噪聲的全頻段特性。因此，一個高斯噪聲可能是白噪聲也可能不是白噪聲，而一個白噪聲可能是高斯分布的，也可能不是高斯分布的。 不僅表明了白噪聲在全頻段的特性是一致的，而且指出了其值為v2 。與此對應(yīng)的時域中如式 所示的相關(guān)，在不同的時刻，白噪聲的相關(guān)值也是v2 。在前面我們已經(jīng)知道了噪聲的方差，下面我們來了解它的物理意義。假定白噪聲v(n)是一個電壓源，加在一個電阻上，那么這個電壓源在電阻上產(chǎn)生的功率可以很方便地寫為：式中，R0表示電阻的阻值。為了討論方便，假定R0為1，此時v2(n)表示了噪聲在單位電阻上的瞬時功率。 4.2.4 從相關(guān)的角度看噪聲若n的取值為0=n=N-1，則在這個時

24、間范圍內(nèi)，噪聲在單位電阻上的平均功率為:對于滿足各態(tài)歷經(jīng)假設(shè)條件的白噪聲v(n) ，從理論上來說，只要持續(xù)時間足夠長，一個樣本就能充分體現(xiàn)白噪聲的全部特性。因此上式變?yōu)椋簩Ρ龋?與 可以發(fā)現(xiàn)，Pa= rvv(0) 。 再回到 ， v2可寫為：上式表明，方差v2的物理意義可以表述為噪聲在單位電阻上產(chǎn)生的平均功率，或簡稱為噪聲的平均功率。 4.2.4 從相關(guān)的角度看噪聲從頻域的角度來看， 表明白噪聲在所有的頻率上功率譜均為v2 ，結(jié)合v2的物理意義也可以說，對白噪聲而言，功率譜可以等效為平均功率，這也反過來理解了功率譜的物理意義，實(shí)際上不只是對白噪聲，對更一般的隨機(jī)信號，功率譜在物理意義上也都可以

25、理解為平均功率。由上述的討論可知，白噪聲是一種理想化的噪聲模型，在實(shí)際中并不存在。但實(shí)際中的噪聲往往可以近似為白噪聲，因此利用白噪聲這種理想化的模型?？梢越o問題的分析帶來很大的方便。 4.2.4 從相關(guān)的角度看噪聲信號通過系統(tǒng)，在時域上來看是卷積，在頻域上來看是相乘。高斯白噪聲通過系統(tǒng)，也有這樣的特點(diǎn)嗎？系統(tǒng)的輸出還是高斯白噪聲嗎？假定高斯白噪聲vi(n)的方差為v2 ，將其通過系統(tǒng)h(n)，從信號與系統(tǒng)相互作用的角度，自然也有卷積的關(guān)系，于是系統(tǒng)的輸出可寫為： 高斯白噪聲通過LTI系統(tǒng)因?yàn)樵肼曉跁r運(yùn)需要用相關(guān)函數(shù)來表征其平均的特性，因此，系統(tǒng)輸出信號的相關(guān)可寫為：將 所表示的高斯白噪聲的相關(guān)

26、函數(shù)代入上式中有： 4.2.4 從相關(guān)的角度看噪聲上式表明從時域來看高斯白噪聲通過一個系統(tǒng)后，其輸入/輸出仍然是卷積，不同的是參與卷積運(yùn)算不再是輸入vi(n)和系統(tǒng)h(n) ，而分別vi(n)是相關(guān)函數(shù)rvivi(m)和h(m)的相關(guān)函數(shù)rhh(m) 。卷積的結(jié)果也不再是輸出v0(n) ，而是v0(n)的相關(guān)rv0v0(m) 。而上式則表明，高斯白噪聲通過系統(tǒng)后，并不能保證輸出仍然是白噪聲。將 變換到頻域，由：考慮到 所示的白噪聲的功率頻譜特性和式 ，上式可重寫為：第一個式子表明，從頻域來看，高斯白噪聲通過一個系統(tǒng)后，其輸入/輸出仍然是相乘，只不過從頻譜的相乘變成了功率譜的相乘，而第二個式子這

27、表明，只有當(dāng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為常數(shù)時，也即是說系統(tǒng)為全通系統(tǒng)時，高斯白噪聲通過系統(tǒng)后仍然是高斯白噪聲，否則的話就變成了高斯色噪聲了。在很多應(yīng)用場合，都存在信號接收的問題。比如說雷達(dá)聲納系統(tǒng)中如何接收目標(biāo)的回波來判定目標(biāo)的距離、方位、速度等信息。通信系統(tǒng)中，通過接收信號來獲取從遠(yuǎn)方傳遞過來的信息。因?yàn)樗邮盏男盘柖急辉肼曃廴?，而且往往是被很?yán)重的污染，這是如何有效地提取有用的信息，信號處理中這類問題就成為最佳接收問題，實(shí)現(xiàn)最佳接收功能的系統(tǒng)稱為最佳接收系統(tǒng)。從直觀上講，要是有這么一個系統(tǒng)，能將所接收信號中的有用信號盡可能放大，而將其中的噪聲盡可能抑制，就能實(shí)現(xiàn)有效提取有用信息的功能。也就是說，如果

28、能有一個系統(tǒng)，能使得輸出的信噪比最大，那么這樣的系統(tǒng)就是我們所期望的最佳接收系統(tǒng)。用x(n)表示所接收的信號，可表示為上式中，s(n)表示目標(biāo)信號，或者說是接收信號中攜帶有用信息的部分，v(n)表示高斯白噪聲，其平均功率為v2 ，是所接收信號中沒有攜帶有用信息的部分。為簡單起見，在后面的討論中稱x(n)為回波， s(n)為回波信號， v(n)為回波噪聲。 4.2.5 從相關(guān)的角度看最佳接收系統(tǒng) 4.2.5 從相關(guān)的角度看最佳接收系統(tǒng)用h(n)表示最佳接收系統(tǒng)， y(n)表示系統(tǒng)的輸出，如下圖所示，由LTI系統(tǒng)疊加性的原理， y(n)可以表示為：其中， s0(n)表示s(n)通過系統(tǒng)后的輸出，

29、v0(n)表示v(n)通過系統(tǒng)后的輸出。系統(tǒng)輸出的信噪比定義為輸出信號功率輸出噪聲功率之比：式中，Ps為s0(n)的瞬時功率， Pv 為v0(n)的平均功率。最佳接收系統(tǒng)就是能夠使得(S/N)。最大的系統(tǒng)h(n) 。下面從時域和頻域兩個角度分別來看。 4.2.5 從相關(guān)的角度看最佳接收系統(tǒng) 從頻域角度看從頻域來看，系統(tǒng)h(n)的頻率響應(yīng)為H(ej) 。輸入信號按s(n)的傅里葉變換為S(ej) ，由卷積定理可知，輸出信號s0(n)的傅里葉變換為：其中n時刻的瞬時功率為：由 可知，通過系統(tǒng)后噪聲功率為：由 可知，通過系統(tǒng)后噪聲功率為： 4.2.5 從相關(guān)的角度看最佳接收系統(tǒng)利用數(shù)學(xué)中的施瓦茨不等

30、式：上式取等號的條件為：于是上式可寫為：式中K為常數(shù)。將上式整理可得： 4.2.5 從相關(guān)的角度看最佳接收系統(tǒng)其中：表示信號s(n)的能量。上式表明，被噪聲污染的信號通過LTI系統(tǒng)，其輸出的信噪比最大為ES/v2而且只有當(dāng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：上市表明，被噪聲污染的信號通過聊天系統(tǒng)，其輸出的信噪比最大為，點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)，而且只有當(dāng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：上市表明，被噪聲污染的信號通過聊天系統(tǒng)，其輸出的信噪比最大為，點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)，而且只有當(dāng)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為輸出在n=n0時刻的信噪比達(dá)到最大值，上式即為最佳接收系統(tǒng)在頻域的表現(xiàn)形式。具有上式所示頻率響應(yīng)特性的系統(tǒng)也稱為匹配濾波器。 4.2.5 從相關(guān)的角度看最佳接收系統(tǒng)

31、從時域角度看從對 進(jìn)行逆傅里葉變換，可以得到最佳接收系統(tǒng)的時域表現(xiàn)形式為： 考慮到s(n)為實(shí)信號，因此有： 、將第二個式子帶入第一個式子，并做一個簡單的變量替換，第一個式子可變形為：由于物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)都要求是因果系統(tǒng)，因此若回波信號的持續(xù)時間為【0，N-1，則在h(n)因果性的約束條件下，n0至少要大于N-1。 4.2.5 從相關(guān)的角度看最佳接收系統(tǒng) 最佳接收系統(tǒng)的物理解釋上面已經(jīng)分別得到了最佳接收系統(tǒng)的頻域和時域表達(dá)形式，由 可以看出最佳接收系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是回波信號的傅里葉變換，先求共軛，再乘上一個相移因子，但是最佳接收系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是回波信號在時間軸上先折疊再平移。該怎么理解呢？同樣是先來看頻域的情況，常數(shù)K對所有頻率的信號響應(yīng)都一致，因而可以忽略。最佳接收系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)等于回波信號的幅頻特性，表示的意義就是當(dāng)信號越強(qiáng)的時候，系統(tǒng)對應(yīng)的放大倍數(shù)越大；信號越弱的時候系統(tǒng)，對應(yīng)的放大倍數(shù)越?。辉跊]有信號分量的頻率上，噪聲完全被抑制。這在物理直觀上正是讓信號盡可能通過，而盡可能地抑制噪聲，從而使得輸出的信噪比最大。最佳接收系統(tǒng)的相頻響應(yīng)與回波信號的相頻特性完全相反，表示的是信號通過系統(tǒng)之后，相位都被抵消了，這樣所有不同頻率的信號在0時刻的相位都是相同的，因而在這個時刻點(diǎn)上的輸出具有最大值。以此對應(yīng)的是噪聲相位是隨機(jī)的，無論系統(tǒng)的相頻特性如