拉氏變換傅氏變換與Z變換課件

1、第七講 拉氏變換、傅氏變換與Z變換的關(guān)系 序列的付里葉變換 離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應(yīng) 2.5 拉氏變換、傅氏變換與Z變換的關(guān)系圖 1-34 S平面與Z平面多值映射關(guān)系 s=+jz=re jr=eT=T2.5.1 拉普拉斯變換與序列的Z變換左單位圓內(nèi)右單位圓外虛軸單位圓2.5.2 連續(xù)信號(hào)的傅氏變換與序列的Z變換 采樣序列在單位圓上的Z變換，就等于其理想采樣信號(hào)的傅里葉變換 （頻譜）。 2.5.3 序列的傅氏變換與Z變換數(shù)字頻率是模擬角頻率對(duì)采樣頻率fs的歸一化值.單位圓上序列的Z變換為序列的傅里葉變換 數(shù)字頻譜是其被采樣的連續(xù)信號(hào)頻譜周期延拓后再對(duì)采樣頻率的歸一化。 因單位圓上序列的Z變換

2、為序列的傅里葉變換，用ej代替z，得到序列傅里葉變換的定義為 序列的傅里葉反變換公式 其收斂條件為 2.6 序列的傅氏變換圖1-35 序列及其傅里葉變換 表2-3 序列傅里葉變換的主要性質(zhì) 表2-3 序列傅里葉變換的主要性質(zhì) 表2-4 傅里葉變換對(duì) 2.10 離散時(shí)間系統(tǒng)的頻域分析（域和Z域） 在時(shí)域中，一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)完全可以由它的單位脈沖響應(yīng)h(n)來(lái)表示。對(duì)于一個(gè)給定的輸入x(n)，其輸出y(n)為 對(duì)等式兩端取Z變換，得 則 H(z)定義為線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，它是單位脈沖響應(yīng)的Z變換，即 在單位圓上(z=ej)的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)H(ej)。 因果系統(tǒng) 單位脈沖響應(yīng)h(

3、n)為因果序列的系統(tǒng)稱(chēng)為因果系統(tǒng)， 因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)具有包括z=點(diǎn)的收斂域，即 穩(wěn)定系統(tǒng) 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為h(n)必須滿足絕對(duì)可和條件，即 而Z變換的收斂域由滿足 的那些z值確定，因此穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在單位圓上收斂，即收斂域包括單位圓|z|=1，H(ej)存在。因果穩(wěn)定系統(tǒng) 因果穩(wěn)定系統(tǒng)是最普遍、最重要的一種系統(tǒng)，它的系統(tǒng)函數(shù)H(z)必須在從單位圓到的整個(gè)Z域內(nèi)收斂，即 也就是說(shuō)，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)必須在單位圓內(nèi)。 2.10.2 系統(tǒng)函數(shù)和差分方程的關(guān)系 一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)也可以用常系數(shù)線性差分方程來(lái)表示， 其N(xiāo)階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 若

4、系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，可以直接對(duì)上式兩端取Z變換， 利用Z變換的線性特性和移位特性可得 系統(tǒng)函數(shù)為 系統(tǒng)函數(shù)分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)分別就是差分方程的系數(shù)。將其分別進(jìn)行因式分解，可得 z=ck是H(z)的零點(diǎn)z=dk是H(z)的極點(diǎn)例 2-23 已知系統(tǒng)函數(shù)為 2|z| 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。 解 系統(tǒng)函數(shù)H(z)有兩個(gè)極點(diǎn)z1=0.5, z2=2。 從收斂域看，收斂域包括點(diǎn)，因此系統(tǒng)一定是因果系統(tǒng)。 但是單位圓不在收斂域內(nèi)，因此可以判定系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 由于2nu(n)項(xiàng)是發(fā)散的， 可見(jiàn)系統(tǒng)確實(shí)是不穩(wěn)定的。 例 2-24 系統(tǒng)函數(shù)不變， 但收斂域不同。 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)及系統(tǒng)性質(zhì)。

5、解 收斂域包括單位圓但不包括點(diǎn)，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的但是非因果的。由系統(tǒng)函數(shù)的Z反變換可得 由于存在2nu(-n-1)項(xiàng)， 因此系統(tǒng)是非因果的。 2.10.3 系統(tǒng)頻率響應(yīng)的意義 對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，如果輸入序列是一個(gè)頻率為的復(fù)正弦序列： x(n)=ejn -n1/2。 該收斂域又包括單位圓， 所以系統(tǒng)也是穩(wěn)定的。 對(duì)系統(tǒng)函數(shù)H(z)進(jìn)行Z反變換，可得單位脈沖響應(yīng)為 或 （2） 解法一： 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 由于系統(tǒng)是線性時(shí)不變且因果穩(wěn)定的，故當(dāng)輸入x(n)=ejn時(shí)，應(yīng)用公式（1-125），可得輸出響應(yīng)為 解法二： 2.10.4 頻率響應(yīng)的幾何確定法頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)就等于各零點(diǎn)至ej點(diǎn)向量長(zhǎng)度之積除以

6、各極點(diǎn)至ej點(diǎn)向量長(zhǎng)度之積，再乘以常數(shù)b0/a0。而頻率響應(yīng)的相位函數(shù)等于各零點(diǎn)至ej點(diǎn)向量的相角之和減去各極點(diǎn)至ej點(diǎn)向量相角之和。當(dāng)頻率由0到2時(shí)，這些向量的終端點(diǎn)沿單位圓反時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一圈，從而可以估算出整個(gè)系統(tǒng)的頻率響應(yīng)來(lái)。頻率響應(yīng)的幾何表示法 例 2-29 設(shè)一個(gè)因果系統(tǒng)的差分方程為y(n)=x(n)+ay(n-1) |a|1, a為實(shí)數(shù)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。 解 將差分方程等式兩端取Z變換，可求得 單位脈沖響應(yīng)為 該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 幅度響應(yīng)為 相位響應(yīng)為 一階離散系統(tǒng)的各種特性 例 2-30 設(shè)系統(tǒng)的差分方程為 這是M-1個(gè)單元延時(shí)及M個(gè)抽頭相加所組成的電路，常稱(chēng)之為橫向?yàn)V波器。試求

7、其頻率響應(yīng)。 解 令x(n)=(n)，將所給差分方程等式兩端取z變換，可得系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)的零點(diǎn)滿足zM-1=0, 即 這些零點(diǎn)等間隔地分布在單位圓上，其第一個(gè)零點(diǎn)為z0=1 (i=0)， 它正好和單極點(diǎn)zp=1相抵消，所以整個(gè)函數(shù)有(M-1)個(gè)零點(diǎn) ，而在z=0處有(M-1)階極點(diǎn)。 當(dāng)輸入為x(n)=(n)時(shí)，系統(tǒng)只延時(shí)(M-1)位就不存在了， 故單位脈沖響應(yīng)h(n)只有M個(gè)值，即 圖 1-39 橫向?yàn)V波器的結(jié)構(gòu)與特性（a） 零-極點(diǎn)分布; （b） 單位脈沖響應(yīng); (c) 幅度響應(yīng);(d) 相位響應(yīng); (e) 橫向網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖 M=62.10.5 有理系統(tǒng)函數(shù)的單位脈沖響應(yīng)（IIR，F(xiàn)IR）對(duì)于一個(gè)N階的系統(tǒng)函數(shù)，它的一般表示式為 該系統(tǒng)函數(shù)是z-1的有理函數(shù)，如果它僅僅具有一階極點(diǎn)，那么它通常可以展開(kāi)成如下形式: H(z)對(duì)應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為 在線性時(shí)不變系統(tǒng)中，分成兩類(lèi)不同的系統(tǒng)：若系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)延伸到無(wú)窮長(zhǎng)，稱(chēng)之為“無(wú)限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)”，簡(jiǎn)寫(xiě)為IIR系統(tǒng)。若系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)是一個(gè)有限長(zhǎng)序列， 稱(chēng)之為“有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)系統(tǒng)”，簡(jiǎn)稱(chēng)為FIR系統(tǒng)。 分母多項(xiàng)式除a0外至少有一個(gè)系數(shù)ak0，則在有限Z平面0|z|就會(huì)出現(xiàn)極點(diǎn)，IIR系統(tǒng)。 H(z)在有限Z平面0|z|0.5。該系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為 因h(n)為無(wú)限長(zhǎng)，故為I