市場風(fēng)險(xiǎn)的測度VaR課件

1、第六章 市場風(fēng)險(xiǎn)的測度方法Value-at-Risk（VaR）主要內(nèi)容：第一節(jié)、引言第二節(jié)、 VaR的基本概念第三節(jié)、獨(dú)立同分布正態(tài)收益率下的VaR第四節(jié)、放寬獨(dú)立同分布正態(tài)收益率假設(shè)下的VaR第一節(jié)、引言一、為什么要測度市場風(fēng)險(xiǎn)？（ Why a Measure of Market Risk?） 1、報(bào)道信息 我們一個(gè)數(shù)據(jù)來反映我們面臨的風(fēng)險(xiǎn); 2、資源配置 風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)是一種稀缺資源。企業(yè)如何分配這些資源，取決于企業(yè)各項(xiàng)投資時(shí)所面臨的不同風(fēng)險(xiǎn)； 3、投資行為的評(píng)估 如果不考慮投資所涉及的風(fēng)險(xiǎn)，就不能評(píng)估投資者投資效果的好壞 。在投資效果評(píng)估時(shí)，你必須區(qū)分確實(shí)是好的投資還是純粹靠運(yùn)氣。 二、誰需要

2、市場風(fēng)險(xiǎn)的測度指標(biāo)？ 1. Financial Institutions， 2. Regulators3. Non-financial Corporations，4. Asset Managers二、市場投資風(fēng)險(xiǎn)的基本概念1、投資風(fēng)險(xiǎn)的基本含義 與損失的不確定性聯(lián)系在一起的。經(jīng)濟(jì)學(xué)、決策學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、金融保險(xiǎn)學(xué)中尚無統(tǒng)一的定義。第一種觀點(diǎn)(即古典決策理論的觀點(diǎn))認(rèn)為，風(fēng)險(xiǎn)是事件未來可能結(jié)果的不確定性（易變性）。它可以用可能結(jié)果概率分布的方差描述。第二種觀點(diǎn)認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)是一種損失機(jī)會(huì)或損失可能性，可用損失的概率表示。第三種觀點(diǎn)（即現(xiàn)代決策理論的觀點(diǎn)），將風(fēng)險(xiǎn)定義為損失的不確定性。第四種觀點(diǎn)（即統(tǒng)計(jì)學(xué)家

3、的觀點(diǎn)），將風(fēng)險(xiǎn)定義為實(shí)際與預(yù)期結(jié)果的偏差。認(rèn)為可預(yù)測的收入變化，不應(yīng)當(dāng)是風(fēng)險(xiǎn)，只有不可預(yù)測的收入變化才是真正的風(fēng)險(xiǎn)。1、投資風(fēng)險(xiǎn)的基本含義第五種觀點(diǎn)（即信息論的觀點(diǎn)），認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)是信息的缺乏程度。風(fēng)險(xiǎn)主要來自未來的不確定性，而不確定性則產(chǎn)生于信息的缺乏，只要對(duì)未來有完全的信息，就可清除不確定性，進(jìn)而清除風(fēng)險(xiǎn)。第六種觀點(diǎn)，認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)是可能的損失，即認(rèn)為風(fēng)險(xiǎn)是不利結(jié)果的程度，它僅從損失量的角度定義風(fēng)險(xiǎn)。從投資的角度講，風(fēng)險(xiǎn)是是一種客觀存在，無所謂好壞。對(duì)投資者來講，投資風(fēng)險(xiǎn)就是資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)。風(fēng)險(xiǎn)既可能造成損失，也可能帶來超額收益。風(fēng)險(xiǎn)是超額收益的來源。對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度應(yīng)該是正確認(rèn)識(shí)風(fēng)險(xiǎn)、客觀計(jì)量風(fēng)險(xiǎn)

4、和科學(xué)管理風(fēng)險(xiǎn)，甚至可以開發(fā)風(fēng)險(xiǎn)。例如，保險(xiǎn)業(yè)就是對(duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行開發(fā)和經(jīng)營的行業(yè)。 2、證券市場投資風(fēng)險(xiǎn)基本涵義 第一種觀點(diǎn)認(rèn)為，證券投資風(fēng)險(xiǎn)是指由于證券價(jià)格的波動(dòng)，造成投資收益率的不確定性或易變性，這種易變性可用收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)差度量。 第二種觀點(diǎn)認(rèn)為，證券投資風(fēng)險(xiǎn)是由于證券價(jià)格波動(dòng)給投資者造成損失的可能性或損失的不確定性。該觀點(diǎn)認(rèn)為只有在價(jià)格波動(dòng)給投資者造成損失時(shí)才有風(fēng)險(xiǎn)，不造成損失的任何波動(dòng)都不應(yīng)視為風(fēng)險(xiǎn)。 對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)識(shí)是一個(gè)逐步發(fā)展的過程，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)定義的不同，將直接影響對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)量與控制。 3、風(fēng)險(xiǎn)的特征 (1) 風(fēng)險(xiǎn)的客觀性。 (2) 風(fēng)險(xiǎn)的時(shí)限性。 (3) 風(fēng)險(xiǎn)的多面性。 (4) 風(fēng)險(xiǎn)

5、的可測定性。 (5) 風(fēng)險(xiǎn)的潛在性。 (6) 風(fēng)險(xiǎn)的相對(duì)性。 (7) 損失和收益的對(duì)立統(tǒng)一性。二、證券市場投資風(fēng)險(xiǎn)的分類1、按證券投資風(fēng)險(xiǎn)的來源分類主觀風(fēng)險(xiǎn)和客觀風(fēng)險(xiǎn)、市場風(fēng)險(xiǎn)與經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn)、偶然事件風(fēng)險(xiǎn)、購買力風(fēng)險(xiǎn)、破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)、流通風(fēng)險(xiǎn)、違約風(fēng)險(xiǎn)、利率和匯率風(fēng)險(xiǎn)。2、按證券投資風(fēng)險(xiǎn)的性質(zhì)分類系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是指對(duì)所有證券資產(chǎn)的收益都會(huì)產(chǎn)生影響的因素造成的收益不穩(wěn)定性。它與市場的整體運(yùn)動(dòng)相關(guān)聯(lián)。如市場風(fēng)險(xiǎn)、購買力風(fēng)險(xiǎn)、利率匯率風(fēng)險(xiǎn)和政治風(fēng)險(xiǎn)都是系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。（該風(fēng)險(xiǎn)不可通過分散化消除）非系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)是由個(gè)別資產(chǎn)本身的各種因素造成的收益不穩(wěn)定性。如破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)、流通風(fēng)險(xiǎn)、違約風(fēng)險(xiǎn)、經(jīng)營風(fēng)險(xiǎn)均屬此類。（投資組合可以分散非系

6、統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)） 。三、常用投資風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量方法及存在的問題 1、方差計(jì)量理論 以證券投資收益率的方差作為風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量指標(biāo)， Markowitz年提出了現(xiàn)代證券組合投資的均值方差（MV）理論，它標(biāo)志著現(xiàn)代證券投資理論的開端，在金融投資領(lǐng)域具有特別重要的意義。 Markowitz假定投資風(fēng)險(xiǎn)可視為投資收益的不確定性，這種不確定性可用投資收益率的方差或標(biāo)準(zhǔn)差度量。以此為基礎(chǔ)，理性投資者在進(jìn)行投資時(shí)總是追求投資風(fēng)險(xiǎn)和收益之間的最佳平衡，即在一定風(fēng)險(xiǎn)下獲取最大收益或一定收益下承受最小風(fēng)險(xiǎn)，因此通過MV分析，并求解單目標(biāo)下的二次規(guī)劃模型，可實(shí)現(xiàn)投資組合中金融資產(chǎn)的最佳配置。 以方差度量風(fēng)險(xiǎn)是有一些嚴(yán)格的假設(shè)，這些假設(shè)條

7、件主要有： 第一，每種證券的收益率都服從正態(tài)分布； 第二，各種證券收益率之間服從聯(lián)合正態(tài)分布； 第三，證券市場為有效市場。 第四，投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型的。證券市場有效性假設(shè)是相當(dāng)苛刻的條件，即使在相當(dāng)成熟的股票市場也無法完全滿足，即使承認(rèn)證券市場是有效的，當(dāng)以方差作為風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)量指標(biāo)時(shí)，資源配置的有效性也取決于方差方法的優(yōu)劣。1、方差計(jì)量理論自以收益率的方差作為風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量指標(biāo)以來，一直受到多方面批評(píng)，許多學(xué)者從不同方面對(duì)此問題進(jìn)行了闡述： （1）方差是用來衡量收益率的不確定性或易變性的，用其反映風(fēng)險(xiǎn)是不恰當(dāng)?shù)摹?（2）從效用函數(shù)的角度分析，以方差為風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)量指標(biāo)，只有在投資者的效用函數(shù)為二項(xiàng)式時(shí)才成

8、立，而二次效用函數(shù)并不是投資者偏好的恰當(dāng)選擇，因此，方差不是風(fēng)險(xiǎn)的最好的測度方法。 （3）方差度量風(fēng)險(xiǎn)的另一條件是要求證券投資收益率及其聯(lián)合分布是正態(tài)的。而實(shí)際證券市場投資收益率，基本上不服從正態(tài)分布的假設(shè)，因此，用方差衡量證券投資的風(fēng)險(xiǎn)是不恰當(dāng)?shù)摹?（4）從心理學(xué)角度，Kahneman Tversky的研究表明，損失和盈利對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的貢獻(xiàn)是不同的。方差計(jì)量風(fēng)險(xiǎn)是假定正、負(fù)偏差之間對(duì)稱，但投資者對(duì)上下偏差具有明顯的不對(duì)稱看法；所以以風(fēng)險(xiǎn)的方差計(jì)量風(fēng)險(xiǎn)有違投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的真實(shí)心理感受。 有些風(fēng)險(xiǎn)測度如Sharpe的beta 系數(shù)、平均誤差平方和(MSE)、平均絕對(duì)誤差平方和（MSE）、平均絕對(duì)誤差等，

9、看上去似乎與方差無關(guān)，但在數(shù)學(xué)上等價(jià)于方差，因此上述問題對(duì)它們同樣存在。 2、信息熵風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量理論 信息熵理論是Shannon(1948)在研究數(shù)學(xué)通訊理論時(shí)的重要發(fā)現(xiàn)，是研究信息系統(tǒng)不確定性測度的指標(biāo)。由于證券投資風(fēng)險(xiǎn)是證券投資收益不確定性的體現(xiàn)，所以信息熵理論在證券投資風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)量中也得到了應(yīng)用。信息熵作為證券投資風(fēng)險(xiǎn)（不確定性）的計(jì)量指標(biāo)具有以下優(yōu)點(diǎn)： (1)簡單明了、概念清晰，將系統(tǒng)不確定性用統(tǒng)一的數(shù)量指數(shù)反映，使不同系統(tǒng)不確定性之間的比較成為可能。 (2)信息熵一般與投資者對(duì)證券收益率的預(yù)測有關(guān)，它具有風(fēng)險(xiǎn)事前計(jì)量的特征。 信息熵計(jì)量風(fēng)險(xiǎn)也存在一些不足之處： (1)熵值法度量的是系統(tǒng)的不

10、確定性，系統(tǒng)的不確定性不等于系統(tǒng)的風(fēng)險(xiǎn)； (2)熵值法沒有突出損失與收益之間的差別，這與投資者的心理感受不符； (3)熵值法最明顯的不足是它沒有考慮損失的大小，而僅考慮各種狀態(tài)分布的概率； (4)熵值法沒有考慮證券投資收益率的變化頻率問題。3、風(fēng)險(xiǎn)下偏矩計(jì)量理論 風(fēng)險(xiǎn)的下偏矩計(jì)量理論有著方差理論不可比擬的優(yōu)越性。 首先，它僅將損失作為風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)量因子，反映了投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的真實(shí)心理感受，符合行為科學(xué)的原理； 其次，從效用函數(shù)的角度看，它僅要求投資者是風(fēng)險(xiǎn)厭惡型，即效用函數(shù)是凹型的，而不象方差那樣要求二次型的效用函數(shù)； 第三，從資源配置效率看，風(fēng)險(xiǎn)的下偏矩計(jì)量方法優(yōu)于方差方法?？傊?，下偏矩方法被認(rèn)為

11、是風(fēng)險(xiǎn)測度的一種較好的方法。 不足之處： 下偏矩統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算比方差復(fù)雜的多。4、VaR方法VaR(Value at Risk)是1993年J.P.Morgon,G30集團(tuán)在考察衍生產(chǎn)品的基礎(chǔ)上提出的一種新的風(fēng)險(xiǎn)測度方法。VaR的基本含義是，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)在給定的置信區(qū)間和持有期間上，在正常市場條件下的最大期望損失。VaR方法的優(yōu)點(diǎn)：（1）簡潔的含義和直觀的價(jià)值判斷；它使得資產(chǎn)組合風(fēng)險(xiǎn)能夠具體化為一個(gè)可以與收益相配比的數(shù)字，從而有利于經(jīng)營管理目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)。（2）從本質(zhì)上看，VaR 也是一種下方風(fēng)險(xiǎn)測度方法，因此，它比方差、標(biāo)準(zhǔn)差的風(fēng)險(xiǎn)測度更接近于投資者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的真實(shí)心理感受；（3）VaR考慮了決策者所處的

12、環(huán)境及具體情況，使風(fēng)險(xiǎn)決策更具有可操作性。 VaR方法的不足：（1）對(duì)于資產(chǎn)組合的收益率分布為一般分布時(shí)，求解比較困難；（2）置信區(qū)間的選擇帶有任意性，選擇不同，風(fēng)險(xiǎn)VaR 的測度值也不同；（3）該方法在一般分布時(shí)計(jì)算量很大。第二節(jié) VaR的基本概念一、 VaR的基本含義 一個(gè)價(jià)值Vt (dollar) 的頭寸， 天的VaR 指在未來 天，Vt以 的概率損失的最大值. 例如，你購買10 million Euros. 如果1EU=.564USD (USD/EU的匯率為：Mt = .564）,美圓的頭寸為： Vt = 10 Mil x Mt = $5.64 million.那么，這個(gè)頭寸的99%，

13、24 hours的VaR 為$78,711.84，其含義為，投資在歐元上的5.64million美圓，在未來24小時(shí)，其最大損失為$78,711.84，概率為99% 。也就是說，在未來24小時(shí)，其最大損失超過$78,711.84的概率為1% 。一、VaR的含義假設(shè)歐元匯率的收益率服從正態(tài)分布，即：這樣，投資在歐元上的價(jià)值變化為：= $5.640 mil也服從正態(tài)分布。根據(jù) 的分布密度，我們可以畫出 的分布圖(Figure 1 with a daily volatility =.6% )99% VaR 是(負(fù)數(shù))這樣一個(gè)數(shù)據(jù)，即只有 1%的概率使得我們資產(chǎn)的變化低于這個(gè)數(shù)值。二、注意的問題（1）

14、 VaR 的值取決于市場變量統(tǒng)計(jì)特征的假設(shè)。也就是說，取決于風(fēng)險(xiǎn)管理者對(duì)市場變量運(yùn)動(dòng)的假設(shè)，因此，風(fēng)險(xiǎn)管理者可能得出不同的VaR值。（2） VaR僅為統(tǒng)計(jì)意義上的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)，它與樣本均值、方差、協(xié)方差一樣，有統(tǒng)計(jì)誤差。產(chǎn)生這些誤差，有很多原因（如小樣本），不僅僅是模型的問題。（3）雖然如此，VaR在我們后文討論的情況中是非常有用 。第三節(jié) 獨(dú)立同分布正態(tài)收益率的VaR假設(shè)USD/EU匯率的收益率是獨(dú)立、正態(tài)分布，即： 這里，期望（ ）和標(biāo)準(zhǔn)差（ ）均為常數(shù)。 時(shí)間單位為1天，即 和 是匯率的日期望收益率和易變性（標(biāo)準(zhǔn)差），而不是年數(shù)據(jù)。令 是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的 分位數(shù)，分位數(shù)的含義是：如果Z N (

15、0,1) ， 表示這樣的數(shù)字，即隨機(jī)抽樣中，Z 的概率正好為下表給出了一些常用的 值。 例如，如果 =99%, 則 = -2.326 , 說明從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)值，其值大于-2.326 的概率為99%。也就是說，只有1%的概率，使得從一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中，隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)值，其值小于均值的2.326個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差。 例子：考慮前面歐元的例子。組合價(jià)值的變化為： =$5.64 mil 服從于均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布。根據(jù)上述 的定義，可以計(jì)算分布密度為 的分位數(shù)為：這個(gè)值即為一個(gè)分界點(diǎn)，即損失超過 發(fā)生的概率為 (1- ) 。這樣， ， 1 day Value at Risk 為：

16、VaR =負(fù)號(hào)表示VaR測量的是損失而不是收益。 將 代入，得：VaR=-(-2.326 *5.64 mil *.006) =$78,711.84一、證券組合的VaR一、證券組合的VaR1、兩證券組合的情況投資組合的變化為：=這里J t =.007629 由上看出，投資組合價(jià)值的變化是服從聯(lián)合正態(tài)分布變量的加權(quán)之和，因此，它也服從正態(tài)分布。其中，這樣，99%，1天的VaR 為：VaR = $177,331.59也就是說，只有1% 的概率，在未來24 小時(shí)內(nèi)，組合的損失大于$177,331.59。2、一般情況設(shè)有n 個(gè)不同的資產(chǎn)， 是t時(shí)刻投資在第i個(gè)資產(chǎn)上的資金量（美圓）， 是t + 1時(shí)刻投

17、資在第i個(gè)資產(chǎn)上的收益率。 假設(shè) 服從聯(lián)合正態(tài)分布，那么組合的變化值 也服從正態(tài)分布 記 為 的均值， 為證券 與證券 收益率的協(xié)方差， 為證券 收益率的方差 則： 這樣，我們可以用同樣方法求出，證券組合的VaR。2、一般情況考慮一般的情況，證券組合價(jià)值的變化為：這里， 為組合的總財(cái)富（$表示）， 為總財(cái)富在asset i 上分配的比例， 為組合的收益率。 是組合的收益率期望值和標(biāo)準(zhǔn)差，這樣， 1 day VaR可以由下式給出：當(dāng)然，這里涉及大量的統(tǒng)計(jì)計(jì)算問題，但基本思想與上面討論的相同。二、因素模型的簡單回顧1、對(duì)于大的證券組合，上述計(jì)算的負(fù)擔(dān)是很大的。例如：對(duì)于100證券構(gòu)成的組合，我們需

18、要計(jì)算5,150參數(shù)，(100 均值收益率+ 5050方差-協(xié)方差矩陣的參數(shù))。隨著證券組合的變大，計(jì)算量的增加是驚人的。 這樣，引起的問題之一是：參數(shù)估計(jì)的質(zhì)量隨著證券數(shù)量的增加而下降；解決問題的一種流行方法是應(yīng)用因素模型來描述資產(chǎn)收益率2、因素模型 因素模型，一般可以寫成如下形式：其中， 是因素，而且相互獨(dú)立（為了清楚起見，你可以把這些因素看成諸如超常收益率、 GNP growth等）。 測度的是收益率 對(duì)第k個(gè)因素的敏感性。三、因素模型的簡單回顧（2）3、如果一個(gè)證券組合有 100 股票，每只股票都可寫成 (1)的形式,則 VaR 的計(jì)算可以大大簡化。一旦整個(gè)證券組合的收益取決于這些因素

19、，我們?nèi)菀渍业阶C券組合價(jià)值變化 的分布 如果這些因素服從聯(lián)合正態(tài)分布，我們就可以用前述同樣的方法計(jì)算Value at Risk. 三、增加VaR （ Incremental VaR ，邊際VaR）1、意義： 從以前的討論中可以看出，證券組合的總風(fēng)險(xiǎn)，并不是單個(gè)證券風(fēng)險(xiǎn)之和(一般小于)。這并不奇怪，它僅僅是分散化原理的再現(xiàn)。 但在很多場合下，估計(jì)證券組合總風(fēng)險(xiǎn)中單個(gè)證券的邊際貢獻(xiàn)是很重要的。 例如，考慮一個(gè)金融機(jī)構(gòu)，它提供一組金融服務(wù)。這個(gè)金融機(jī)構(gòu)有幾個(gè)服務(wù)窗口 (the swap desk, the FX desk etc.) ，它們相互獨(dú)立，而且每個(gè)服務(wù)窗口都經(jīng)營若干金融資產(chǎn)。 為了估計(jì)金融

20、機(jī)構(gòu)總的風(fēng)險(xiǎn)，我們將金融機(jī)構(gòu)看成證券組合，計(jì)算證券組合一天的VaR。 但從內(nèi)部管理的角度看，金融機(jī)構(gòu)估計(jì)每一種業(yè)務(wù)對(duì)企業(yè)總風(fēng)險(xiǎn)的邊際貢獻(xiàn)是非常重要的，其原因主要有： 1) 有效管理風(fēng)險(xiǎn)的需要；2)（建立規(guī)則）對(duì)各種業(yè)務(wù)分配風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的需要（頭寸的限制）； 3)評(píng)估各項(xiàng)業(yè)務(wù)成績的需要。2、 增加 VaR的引出如果在證券I上 增加1美圓的投資，考慮證券組合VaR的邊際變化是多少。 首先，我們知道：因此，有：2、 增加 VaR的引出（2）再考慮證券組合價(jià)值變化的方差的表達(dá)式：最后一個(gè)等式來自于重新整理。等式兩邊同除以 ，得： 我們有：這樣：這里，記： 表示由于資產(chǎn)i 的微小增加導(dǎo)致總的VaR的變化，

21、這樣，定義資產(chǎn)i 的邊際VaR 為：3、實(shí)例 考慮上節(jié)的例子：這樣，4、重要提示將VaR 分解為邊際VaR ，并不意味著我們?nèi)∠Y產(chǎn) i, 余下資產(chǎn)的VaR等于最初總的VaR減去IVaRi。例如，在上例中，取消日?qǐng)A業(yè)務(wù)并不等于將VaR從$177,331.59 降低為 (VaR-IvaRJ)= $66,279.14。事實(shí)上，從上述例子中我們已經(jīng)知道，僅投資于歐元（EU）的 VaR $78,711.84 ! 四、 連續(xù)復(fù)利正態(tài)分布收益率的 VaR 1、連續(xù)復(fù)利正態(tài)分布的含義連續(xù)正態(tài)分布收益率的假設(shè)在很多情況下，可以使問題的分析得以簡化 。 回憶以前的例子， 在連續(xù)正態(tài)分布收益率的假設(shè)下，記 M t

22、 為美圓對(duì)歐元在t時(shí)刻的匯率 ，則： 這里是日連續(xù)復(fù)利收益率（以天為單位?。?。正如我們上面分析的，這個(gè)假設(shè)保證匯率M t +1 是對(duì)數(shù)正態(tài)分布。2、為什么需要復(fù)利正態(tài)分布收益率 （1）當(dāng)分析 時(shí)間序列事件時(shí)，應(yīng)用連續(xù)復(fù)利收益率是很方便的。 例如，假設(shè)我們有收益率的日均值和日方差，如果改變時(shí)間長度，計(jì)算一個(gè)月收益率的均值和方差（一個(gè)月為20個(gè)交易日）。在獨(dú)立同分布的日復(fù)利收益率下， 20天的收益率為： 由于收益率是獨(dú)立同分布的， 20天的連續(xù)復(fù)利收益率為：這樣，月均收益率和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：一般地，如果時(shí)間水平為 ，則收益率和標(biāo)準(zhǔn)差分別為： 如果日收益率為正態(tài)分布（不是連續(xù)復(fù)利），有： 是從 t+i

23、-1 到t+I的收益率。注意， 20-day 的收益率是正態(tài)分布隨機(jī)變量的乘積而不是隨機(jī)變量的和，因此，如果不使用連續(xù)復(fù)利收益率，則20-day 收益率的分析將變的十分復(fù)雜。2、為什么需要復(fù)利正態(tài)分布收益率（2）(2) 當(dāng)投資的總收益率是兩個(gè)價(jià)格組合而成時(shí)，使用連續(xù)復(fù)利收益率是很方便的。例如，如果你購買了一個(gè)Frankfurt市場上的指數(shù)基金，那么，在將來你投資的總價(jià)值是由歐元的股票價(jià)格乘歐元的美圓價(jià)格得出 (看下面的例子)。(3) 對(duì)于小的收益率值(例如,以天計(jì)算的收益率)，單利收益率可以用復(fù)利收益率很好地近似,因?yàn)?，?duì)于一個(gè)很小的 X ，我們有： 在這種情況下，單利收益率可以假定為服從正態(tài)

24、分布的。3、實(shí)例 假設(shè)我們?cè)贔rankfurt Stock Market投資10 mil 歐元的指數(shù)基金，設(shè)歐元的日收益率為YM ， Frankfurt Stock Market 的收益率為YS, 即： St 是Frankfurt index在 t 時(shí)刻的價(jià)格，這里時(shí)間單位為 “one day”。 假設(shè)YM and YS 服從正態(tài)分布和聯(lián)合正態(tài)分布，其均值和方差分別為： ， 它們的相關(guān)系數(shù)為： 你的財(cái)產(chǎn)明天的價(jià)值（以美圓計(jì)）為：根據(jù)St+1 和 Mt+1的定義， 因?yàn)槁?lián)合正態(tài)分布之和仍為正態(tài)分布，我們有： 這里 因此，投資歐元的總收益率（股票市場的收益率+外匯匯率的收益率）仍然服從正態(tài)分布，所

25、以我們可以利用前面所學(xué)的技術(shù)計(jì)算VaR. 記 為Yt+1小于 發(fā)生的概率為 的數(shù)值，我們可以計(jì)算頭寸為Vt=10 Mil x Mt時(shí)的VaR。 應(yīng)用歷史數(shù)據(jù)， 假設(shè) 這樣，這意味著有99%的可能性，投資收益率大于 ：因此，投資在Frankfurt Stock Market Index上的5.64 Million dollar， a 99% 1-day VaR 為：六、含有非線性衍生品組合的 VaR 我們以前的分析，都是假定資產(chǎn)的收益率服從正態(tài)分布，但存在一種重要的情況是，當(dāng)組合中包含衍生證券時(shí)，組合的收益率不服從正態(tài)分布，因?yàn)檠苌C券的價(jià)值相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)而言是非線性的。 例如，如果一個(gè)證券組合

26、包括指數(shù)看跌期權(quán) (如組合保險(xiǎn)), 既是假定指數(shù)收益率服從正態(tài)分布，指數(shù)看跌期權(quán)的價(jià)值則不服從正態(tài)分布。這部分我們將應(yīng)用 “Delta Method” method 和 “Delta-Gamma Method” method處理這類問題. 令 為資產(chǎn)St以價(jià)值形式表示的收益 (是絕對(duì)值而不是百分比). 如果（一）Delta-Method假設(shè)一個(gè)衍生證券在t時(shí)刻的價(jià)格為 其中， 為標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格該衍生證券的delta值為 ：該衍生證券在t+1 時(shí)刻的價(jià)格為：那么，該衍生證券在t+1 時(shí)刻的收益為：這樣，衍生證券的收益也服從正態(tài)分布，其均值和均方差分別為： Example: 考慮一個(gè)投資在S&P5

27、00 market index上 $1 bil的養(yǎng)老基金和由3個(gè)月看跌期權(quán)保險(xiǎn)策略構(gòu)成的組合 假設(shè)S&P500 = 936，三個(gè)月看跌期權(quán)（執(zhí)行價(jià)K = 930 ）的價(jià)格為 ft = $36。再假定無風(fēng)險(xiǎn)收益率為r = 5% ，標(biāo)的物的紅利收益率為0，年隱含的收益率波動(dòng)性為： 則根據(jù)Black-Shose公式，有：在給定S&P500 index的價(jià)值，投資在養(yǎng)老基金上的份額為：NS = 1 bil/936 = 1,068,376 index share (spot market). 令Nf = 1,068,376. Example 這樣整個(gè)頭寸的變化量為： 可見， 服從正態(tài)分布，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差

28、分別為：將 代入到VaR的計(jì)算公式中， a 99% one day VaR 為：評(píng)論（1）你可能會(huì)立刻注意到在計(jì)算非線性證券VaR時(shí)， Delta -Normal method的不足 ：（1）根據(jù)定義，VaR給出的是小概率下極端的損失值 (損失大于$22.147 mil in the next 24 hours的概率，僅有1%)。Delta方法僅僅在股票價(jià)格小的變化時(shí)才適用。 因此，在近似方法(假設(shè)價(jià)格有小的變化)與VaR (價(jià)格有大的變化)定義之間存在不一致性。（2）為了進(jìn)一步考察近似的程度，我們計(jì)算看跌期權(quán)的價(jià)值，這里收益率為均值- 2.326 standard deviations （假

29、設(shè)均值為0）這樣，日收益率為：是低于均值2.326 standard deviations的股票收益率 (這也是用于計(jì)算沒有期權(quán)時(shí)99% VaR的分界值）。這時(shí)，新的指數(shù)值為 S = 900（對(duì)應(yīng)于VaR的分界值）。 看跌期權(quán)的價(jià)格為：評(píng)論（2）總頭寸的價(jià)值下跌（也就是VaR ）為：可見，與$22.147不同，其差異的原因是相對(duì)于標(biāo)的資產(chǎn)，看跌期權(quán)的價(jià)值是非線性的(價(jià)值上升的快，進(jìn)而高估了VaR)。 換言之，隨著股票價(jià)格的下跌，看跌期權(quán)的Delta變的更負(fù)，即它的Gamma（Delta 對(duì)標(biāo)的股票價(jià)格變化的敏感性） 是正值（此例中) ，看跌期權(quán)的價(jià)值比 增加更快。在這種情況下，估計(jì)值超過實(shí)際的

30、a 99% one day VaR，但是，同樣的非線性也可能會(huì)低估a 99% one day VaR。（二）The Delta-Gamma Method比delta method 更好的近似方法是應(yīng)用Taylor expansion 中的高階項(xiàng)。應(yīng)用上述例子 (Taylor expansion),我們有： 這樣，有： 或： 從上述公式，我們立刻可以看出使用高階項(xiàng)估計(jì)衍生證券風(fēng)險(xiǎn)的問題。既是 服從正態(tài)分布， 也不服從正態(tài)分布（實(shí)際上， 服從自由度為1的Chi-square分布）。（二）The Delta-Gamma Method 因此，使用正態(tài)分布假設(shè)的優(yōu)點(diǎn)在這里消失。一旦出現(xiàn)這種情況，建議使用

31、更符合實(shí)際的收益分布。 一種方法是計(jì)算整個(gè)頭寸（股票+期權(quán)）的標(biāo)準(zhǔn)差，并應(yīng)用2.33分位數(shù)計(jì)算VaR.這是一個(gè)相對(duì)簡單的方法，因?yàn)?，如?服從正態(tài)分布，則所有矩的分析表達(dá)式均可以寫出：例如（數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)中），這里，這樣，我們得到:因此，這里，我們假設(shè)這個(gè)結(jié)果比用delta method更接近與實(shí)際值。注意：如果假定 99%的分位數(shù)為 2.326 ，那么，我們是假定收益率為正態(tài)分布，但實(shí)際上往往不是正態(tài)分布。非線性VaR(Non-Linear Value-at-Risk)將（2）式重新整理為：這里，如果，非線性VaR如果 是 分布的 分位數(shù)，這樣，更好的估計(jì)是：在這種情況下，我們得到：VaR =

32、20.1303 這告訴我們什么？（當(dāng)頭寸不服從正態(tài)分布時(shí)，VaR計(jì)算的一般方法）第四節(jié)非獨(dú)立同分布正態(tài)收益率假設(shè)的情況：厚尾分布一、非正態(tài)分布的情況 在計(jì)算大型證券組合 VaR 時(shí)涉及大量的計(jì)算，應(yīng)用收益率的簡化假設(shè)，如獨(dú)立同分布正態(tài)收益率假設(shè)，可以使風(fēng)險(xiǎn)管理者很快速計(jì)算所需要的風(fēng)險(xiǎn)值。使用這些簡化假設(shè)時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)管理者要在VaR的準(zhǔn)確性與快速估計(jì)方法之間尋求一種平衡。這一部分，我們將分析幾種不同的VaR 計(jì)算方法，這些方法不依賴于獨(dú)立同分布正態(tài)收益率的假設(shè)。1、實(shí)例 下圖是USD/Euro匯率日收益率的歷史分布密度圖與在參數(shù)估計(jì)中假設(shè)的正態(tài)分布密度圖 。從圖中可以看出，歷史分布密度圖表現(xiàn)為胖尾細(xì)

33、腰的特征，這就是說， USD/Euro匯率日收益率出現(xiàn)大值或小值的概率比具有相同期望收益率和方差的正態(tài)分布假設(shè)下出現(xiàn)大值或小值的概率大，亦即這些值比正態(tài)分布假設(shè)下作出的預(yù)測更容易發(fā)生。2、說明 這對(duì)于基于正態(tài)分布收益率計(jì)算的VaR 來說，不是一個(gè)好消息，因?yàn)?，厚尾意味? 對(duì)應(yīng)于99%概率的實(shí)際分界點(diǎn)要低于使用基于正態(tài)分布收益率計(jì)算的分界點(diǎn)。實(shí)際上（上圖）, 1% 處分界點(diǎn)的值對(duì)應(yīng)于正態(tài)分布中-1.4% 的值(非標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)), 在實(shí)驗(yàn)（歷史）分布中對(duì)應(yīng)于-1.54% 。二、應(yīng)用歷史收益率密度計(jì)算 VaR 解決上述問題的一種方法是應(yīng)用收益率本身的歷史分布密度。如6.2 中的例子，我們可以找到1.5

34、4% 的分位點(diǎn)，記為則：此值大于獨(dú)立同分布正態(tài)收益率假設(shè)下的VaR(等于 $78,711.84).這種方法對(duì)估計(jì)大型證券組合的VaR也是十分有效的 。6.2節(jié)中的例子一個(gè)公司在歐元上的投資額為5.6 million dollars ，在日?qǐng)A上的投資額為7.629 million dollars 。為計(jì)算99% 1 day VaR, 我們只需要計(jì)算證券組合價(jià)值變動(dòng) 的歷史分布中，左邊1%對(duì)應(yīng)的分位數(shù)即可。 也就是說，對(duì)于樣本中每一個(gè) t值，計(jì)算： 利用歷史收益，我們可以計(jì)算對(duì)應(yīng)于左邊1% 概率的證券組合變化值為200,570,這樣，VaR = $200,570。同樣，此值比使用正態(tài)分布假設(shè)下，通

35、過計(jì)算均值和標(biāo)準(zhǔn)差，進(jìn)而計(jì)算的VaR 數(shù)值大（為$177,331.59 ）。在此例中，我們得到的VaR 數(shù)值比正態(tài)分布假設(shè)下大13% 。處理非線性衍生證券的全值法歷史分布密度方法也可以用來消除我們6.2節(jié)中討論的非線性問題。 再考慮前面討論的組合保險(xiǎn)的例子。為了計(jì)算VaR, 對(duì)樣本區(qū)間0,t中的每一個(gè) ，令 為股票S t 的日收益率，我們可以計(jì)算明天股票模擬價(jià)格的變化為： 給定明天股票模擬價(jià)格的分布，可以根據(jù) Black and Scholes formula計(jì)算明天看跌期權(quán)的價(jià)格，最后，我們可以計(jì)算證券組合價(jià)值變化的分布。實(shí)例使用S&P500 ，1997年日收益率數(shù)據(jù)，我們計(jì)算 99% on

36、e day VaR 為： VaR = $13,155,515.61這個(gè)數(shù)據(jù)比我們以前得到的VaR小的多。但對(duì)這個(gè)數(shù)據(jù)的解釋要小心 。事實(shí)上，（1）我們僅僅有 252個(gè)日收益觀測數(shù)值 。這意味著 1% 最低百分位數(shù)是第3個(gè)最負(fù)的收益率數(shù)值，因此，由于我們僅有2 低于該數(shù)值的觀測值, 那么計(jì)算的 VaR數(shù)值并不可靠 ，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的術(shù)語，它不顯著，因?yàn)榇嬖诤艽蟮臉?biāo)準(zhǔn)差。（2）1997 對(duì)于美國股票市場是非常好的一年（盡管不如1996年），因此，計(jì)算的VaR 反映的是市場沒有任何實(shí)質(zhì)性的不好收益率的情況。 對(duì)于這些問題，使用大樣本數(shù)據(jù)，可以部分地得到解決 。 問題：如何判斷VaR計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性？如何計(jì)

37、算準(zhǔn)確的VaR結(jié)果。這涉及到資金利用和風(fēng)險(xiǎn)管理的問題。三、可變方差的正態(tài)分布收益率我們可以假定正態(tài)分布的參數(shù)是變化的，進(jìn)而放松獨(dú)立同分布假設(shè)，而同時(shí)保持“正態(tài)收益率”的靈活性。假設(shè)USD/EU外匯收益率 M t 服從正態(tài)分布，即：這里， 隨時(shí)間變化。在實(shí)際中，的確有許多證據(jù)證明，這些參數(shù)是隨時(shí)間變化的。如果我們?nèi)》讲罟烙?jì)量的均值，如：如下圖，我們可以看到，方差的估計(jì)量隨時(shí)間大幅變動(dòng)。下面我們討論幾個(gè)模型，這些模型中，收益率仍然服從正態(tài)分布， Value-at-Risk的計(jì)算，象前面有關(guān)章節(jié)一樣，可以直接計(jì)算，唯一需要注意的是將下標(biāo)t 加入到均值與方差。1、簡單移動(dòng)平均法考慮收益率方差變化的最簡

38、易方法是應(yīng)用最新的數(shù)據(jù)估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)差，例如不是利用象我們?cè)?.1節(jié)中應(yīng)用最近3年的收益率數(shù)據(jù)而是應(yīng)用最近若干天的數(shù)據(jù)，如 90天的數(shù)據(jù)（前面部分） 。在這種情況下，要在估計(jì)的精度與使用時(shí)間之間的尋求平衡。使用距現(xiàn)在較長時(shí)間的數(shù)據(jù)可能與明天收益率標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)無關(guān)，然而使用較少的數(shù)據(jù)，卻可能降低估計(jì)的精度。類似地，兩個(gè)資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)也是隨時(shí)間而變化的。如考慮歐元與日?qǐng)A收益率之間的相關(guān)系數(shù)的移動(dòng)平均值： 同樣，它是隨時(shí)間而變化的。2、風(fēng)險(xiǎn)測度（RiskMetrics） : 指數(shù)加權(quán)法上述移動(dòng)平均法預(yù)測將來的易變性存在的一個(gè)問題是，對(duì)所有的觀測值給予相同的權(quán)重，既是看似與預(yù)測明天易變性無關(guān)的1個(gè)月前的數(shù)據(jù)也給予同樣的權(quán)重。RiskMetrics (J.P. Morgan) 提出了一種給予各觀測值不同權(quán)重的方法，最近的觀測值給予更大的權(quán)。特別是，他們提出了下列的平均數(shù)：這里，t0 為樣本的第一期，對(duì)于日數(shù)據(jù)，取對(duì)于月數(shù)據(jù)，取當(dāng)樣本數(shù)量為無窮大時(shí)，上述公式變?yōu)椋阂虼?，明天收益率方差的預(yù)測值為今天收益率方差的預(yù)測值與今天實(shí)際收益率平方的簡單加權(quán)平均。RiskMetrics估計(jì)的方差值為 比以前我們所使用的0.6%的歷史數(shù)據(jù)大。 類似地，RiskMetrics 可以使用同樣的程序計(jì)算相關(guān)系數(shù)。事實(shí)上，從協(xié)方差的計(jì)算開