高考數(shù)學(xué)圓錐曲線中的定值定點(diǎn)問(wèn)題

1、高考數(shù)學(xué)圓錐曲線中的定值定點(diǎn)問(wèn)題【基礎(chǔ)回顧】一、課本基礎(chǔ)提煉.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去 y得到關(guān)于x的方程mX+nx+p=0.(1)若e0,當(dāng)40時(shí)，直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn).當(dāng)=0時(shí)，直線 與圓錐曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線相切.當(dāng)0),過(guò)其焦點(diǎn)的直線交拋物線于 A、B兩點(diǎn)(如右圖所示)，設(shè) A(xi, yi) , B(x2, y2).則有以下結(jié)論：恤 i=T-1(i)|AB| =xi + x2 + p,或式n Q ( 口為AB所在直線的傾斜角)；12(2);4(3)y1丫2= p2.(4)以AB為直徑的 圓與拋物線的準(zhǔn)線相切.過(guò)拋物線焦點(diǎn)且與對(duì)稱軸垂直的弦稱為拋物線的

2、通徑，拋物 線的通徑長(zhǎng)為2p2bz.橢圓與雙曲線的通徑長(zhǎng)為啟5.P(X0, y0)是拋物線C上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn).|pfr |-E y(1)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸正半軸上時(shí)， 2 口|ff| 二六一呼用，口(2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí),(3)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸正半軸上時(shí),(4)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸正半軸上時(shí),【技能方法】定點(diǎn)問(wèn)題解題技巧：(1)引進(jìn)參數(shù)法。設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線系方程， *該方程與參數(shù)無(wú)關(guān)，故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的 點(diǎn)，即為所求定點(diǎn)。(2)特殊到一般法。從特殊位置入手，找到定點(diǎn)，再證明該定點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)。定值問(wèn)題解題技巧：(1)特殊方法。通

3、過(guò)考查極端位置探索出“定值”是多少，然后再證明這個(gè)值與變量 (關(guān)。如果試題以客觀題的形式出現(xiàn)，特殊方法往往比較容易奏效。(2)引進(jìn)變量法。具體步驟為：引入變量。選擇適當(dāng)?shù)膭?dòng)點(diǎn)坐標(biāo)或動(dòng)直線的斜率為變量。構(gòu)建函數(shù)。把要證明為定值的量表示成上述變量的函數(shù)。推導(dǎo)定值。把得到的函數(shù)化簡(jiǎn)，消去變量得到定值。共線問(wèn)題解題技巧：解析幾何中的共線問(wèn)題的處理方法，常利用向量共線定理來(lái)證，即先設(shè)出向量的坐 k利用題中給出的關(guān)系，證明坐標(biāo)交叉積的差等于零即可.正確理解向量共線與解析 (何中平行、三點(diǎn)共線等的關(guān)系，把有關(guān)解析幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.三點(diǎn)共線是 ”析幾何中常見問(wèn)題之一，根據(jù)向量共線的充要條件，只要在三點(diǎn)

4、中任意兩點(diǎn)的向量間 “在倍數(shù)關(guān)系，向量法解決共線問(wèn)題更簡(jiǎn)單明了.1.圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題求解直線和曲線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的基本思路是：把直線或曲線方程中的變量x, y 當(dāng)作常數(shù)看待，把方程一端化為零，既然是過(guò)定點(diǎn)，那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù) 都成立，這 時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零，這樣就得到一個(gè)關(guān)于x, y的方程組，這 個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過(guò)的定點(diǎn)，或者可以通過(guò)特例探求，再 用一般化方法證明.例1已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0), 且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.(I )求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(n)已知點(diǎn)b( 1,0), 設(shè)不垂直于x軸的直線1與軌跡C交于 不同的兩點(diǎn) P, Q,若x軸

5、是/ PBQ的角平分線，證明直線1過(guò)定點(diǎn).【答案】(I )y 2=8x;(n )定點(diǎn)(1,0 )【解析】(I ) A(4,0), 設(shè)圓心C(x , y) , MN線段的中點(diǎn)為E,由幾何圖像知：MN昨一，二cA=cM=mE+eC? (x-4) 2+y2=42+x2? y2=8x(H)點(diǎn) B(1,0),設(shè) P(x1,y i),Q(x 2,y 2)由題知.C C 逅二 Sx- W二*Ly1+y2 w 0,y 1丫2 0)的右焦點(diǎn)F,點(diǎn)A,B分別在C的兩條漸 近線上，AFx軸，AB OB, BF/ OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(i)求雙曲線C的方程；(2)過(guò) C上一點(diǎn) P(X0, y0)(y 0*0)的直線

6、-/oy_3與直線AF相交于點(diǎn)M,與直線”5相交于點(diǎn)N,證明點(diǎn)P在C上移動(dòng)時(shí)，端幾為定值，并求此定值.(2)證明略,【解析】(1)設(shè)F(c , 0),因?yàn)閎=1 ,所以直線OB方程為y= - k-e)直線BF的方程為 a又直線OA的方程為1y=- xa又因?yàn)锳B OB,所以,解得a2=3,故雙曲線C的方程為2K -y -13(2)由(1)知日虧,則直線l的方程為因?yàn)橹本€AF的方程為x=2 ,所以直線l與AF的交點(diǎn)11(2.3yo直線l與直線2的交點(diǎn)為 2 3yc口評(píng)/40-3）網(wǎng)父 9y（Ip-2）E TOC o 1-5 h z 02-1y 口一因?yàn)槭荂上一點(diǎn)，則M ，代入上式得M 產(chǎn)4（2。

7、-三4（2耳口-3廠4二=一,郎9囪”任-2） gX-l （x產(chǎn)產(chǎn)I3MF _ 2.寫故所求定值為近 3【點(diǎn)評(píng)】圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)問(wèn)題要善于從運(yùn)動(dòng)中尋找不變的要素，可以先通過(guò)特 例、極限位置等探求定值、定點(diǎn)，然后利用推理證明的方法證明之.圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題求解有兩大方法，即參數(shù)法和由特殊到一般的方法一參數(shù)法圓錐曲線的定點(diǎn)、定值問(wèn)題會(huì)涉及到曲線上的動(dòng)點(diǎn)及動(dòng)直線，所以很常用的方法就是設(shè)動(dòng) 點(diǎn)或設(shè)動(dòng)直線，即引入?yún)?shù)解決問(wèn)題，那么設(shè)參數(shù)就有兩種情況，第一種是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，第二 種是設(shè)直線的斜率.用參數(shù)法解決定點(diǎn)和定值問(wèn)題時(shí)，對(duì)參數(shù)的處理是不同的.1應(yīng)用參數(shù)法求定值問(wèn)題利用題設(shè)寫出已知點(diǎn)的坐標(biāo)

8、（或直線的方程），設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（或直線的方程），引入 參數(shù)，結(jié)合已知條件將目標(biāo)式用參變量表示， 再根據(jù)點(diǎn)在某曲線上代入消參求得定值， 或經(jīng)過(guò)整理化簡(jiǎn)后恒為定值,應(yīng)注意到繁難的代數(shù)運(yùn)算是此類問(wèn)題的特點(diǎn)， 設(shè)而不求法、整體思想和 消元的思想的運(yùn)用可有效地簡(jiǎn)化運(yùn)算.步騙h L引進(jìn)參數(shù)2.列出關(guān)系式3,化簡(jiǎn)消參，求得定值丫例1.（2016，北京高考，理）己知橢,2XC： 一、（心口。）的離心率為川,。），。小0（0,0）, O47J 的面.積為 L（1）求橢圓C的方程；12）設(shè)產(chǎn)為橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與V軸交于點(diǎn)M ,直線產(chǎn)*與上軸交于點(diǎn)/V.求證力為定值.【思路分析】第（2）問(wèn)中可設(shè)點(diǎn)戶（小,）

9、,列出直線化4與直線，的方程，進(jìn)而得到點(diǎn)M , N的坐標(biāo)（含 參數(shù)），可求得|AN卜HM含參數(shù).%,為的表達(dá)式.有點(diǎn)。（.,為）在橢圓C上，帶入化簡(jiǎn)消參，求得定值.【解】（I）由題意得a = 2, b = l, c = 3,C _ 5/3 7i 上力=1, r bH,文2所以橢圓C的方程為+ y2 = l.4方法h設(shè)點(diǎn)的普通坐標(biāo)為參變量直接算定值r2 設(shè)桶圓上一點(diǎn)則工十需二i.4直線=一2，令x 二 ,得），/ 一 2蒞一 2二 UM直線 P3：）=x + 1,令 y =。，得 Xn=-左耳T/. AN = 2 + %一1an-bm =2 + - X)T無(wú)。+ 2) - 21 卜o + 2yo

10、 - 2o - 2 | I % -1結(jié)合叢+= 1,4得卜2|朋“|= 4xQq - 4.% 8%十 X =4r(Jo7o_2yo + 2故Mn|4W|為定值.方法2：用點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)為參變量直接算定值設(shè)橢圓上一點(diǎn)P(2co8,sin。)，直線PA: y =sin 62 cos 0)上的點(diǎn)可設(shè)為P(2pt2pt).7例2.（2016 -廣東佛山二模）已知橢圓C：十丁 = I. 如圖所示，4.也/）是橢圓。的頂點(diǎn)，P是橢圓。上除頂 點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，直線/力交,v軸于點(diǎn)N,直線人。交 尸于點(diǎn)M,設(shè)“P的斜率為 , MN的斜率為小證明: 21 A為定值.【證明】因?yàn)椤埃?,0）,點(diǎn)夕不為柳圓頂點(diǎn)，則直

11、線 P的方程為y = A（x-2） #工0次士, .將代入C:二+/=1,48&J2直線入。的方程為V二;式十1.聯(lián)立解得M,N（M）三點(diǎn)共線,8M - 2 44 4/c2 + r-4/:2+l/,解得所以NN的斜率為mi 4fe-2 (2E軟+2 4A-22k- 2#+l2A+1rr|r| j ty 2+1貝 舊 T = Zk =-.42?！军c(diǎn)撥】本題探究?jī)芍本€斜率的線性關(guān)系為定值，選 擇其斜率為參變量，設(shè)出直線方程解得交點(diǎn)，由三點(diǎn)共 線解得另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，依據(jù)斜率公式將一個(gè)斜率用另 一個(gè)斜率的代數(shù)式表示出來(lái)進(jìn)而求出定值，凸顯斜率為 參變品的溝通作用.本題也可以設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)結(jié)合 摘圓的方程計(jì)

12、算證得結(jié)論，同學(xué)們可以自行證明.應(yīng)用參數(shù)法求定點(diǎn)問(wèn)題解題步驟：第一步：引進(jìn)參數(shù).引進(jìn)的參數(shù)一般為點(diǎn) 的坐標(biāo)、直線的斜率、直線的夾角等.第二步；列出關(guān)系式,根據(jù)題設(shè)條件，表 示出對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)直線或曲線方程.第三步：探求直線過(guò)定點(diǎn),若是動(dòng)態(tài)的直線方程g將動(dòng)態(tài)的直線方程轉(zhuǎn)化為。一%=k（x-xQ）的形式,則E e R時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn)x0,y0 （MOOK第33期巧用直線恒過(guò)定點(diǎn)快解題對(duì)該方法進(jìn)行了講解）；若是動(dòng) 態(tài)的曲線方程，將動(dòng)態(tài)的曲線方程轉(zhuǎn)化成f （1 y） +沏（K y） = 0的形式,則入gr時(shí)曲線恒過(guò)的定點(diǎn)即是/ （兀y） =0與8（A-,y） = 0 的交點(diǎn).丫例3.（2016年泰州期末）在

13、平面直角坐標(biāo)系.vy中, 牌圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+工=1.其左頂點(diǎn)為4,過(guò)原42點(diǎn)。的直線（與坐標(biāo)軸不重合）與橢圓。交于P,。兩 點(diǎn),直線P/1,如分別與3軸交于N兩點(diǎn),試問(wèn) 以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（與直線尸。的斜率無(wú) 關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【思路分析】本題探究以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定 點(diǎn)，需要將圓的方程（含參數(shù)）寫出來(lái)，那么重在求M , N兩點(diǎn)的坐標(biāo).而M , N兩點(diǎn)是由直線2A , QA派生 出來(lái)的，我們需先探討P , Q的坐標(biāo),下面提供兩種方法; 第一，設(shè)直線PQ的方程為引入?yún)⒘?通過(guò) 解方程組求得各個(gè)量（含參數(shù)L ）;第二，直接設(shè)出“，。 的坐標(biāo)，用坐標(biāo)的參量 工o，No 表示其他量

14、,再結(jié)合實(shí)際條 件消去參數(shù)即可得到定點(diǎn).【解】方法h 以動(dòng)直線。的斜率作為參量設(shè)直線PQ的方程為.v = h,IV =/ 可求得交點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為 + = 1422 2k設(shè)由人J三點(diǎn)共線得手Vl + 2t21 十 Ju2設(shè)N(0,%),同理由AN,0三點(diǎn)共線,得 =宇二，解得力= 2二 2.71+2?所以以MN為直徑的圓為. 2即 U +/ +丫一2 = 0.&令仁工二。解叱二,所以以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)（0.0）和 M，0） .方法2;以動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)作為參量 設(shè)戶（如光）,則2（-%-?。?由點(diǎn)尸在橢圓上，得N； +2y；二4 .(v+2).由A（-2,0）,得直線力的方程為y二一三%

15、+ 2從而解得直線PA與v軸的交點(diǎn)為時(shí)（0,入）;%+ 2同理，直線出的方程為尸工（工十2）, 演一2解得N(0,2). ,%-2故以MN為直徑的圓為(.v-0)(.v-0)4-(y- -)(y -= 0 .%+2 國(guó)-2即X、-冬少+上L = o.畝一4 布一4結(jié)合%2+2.%2 =4,化簡(jiǎn)得圓的方程為.八八工_2二0. VHT兒令解得卜=囂工、+ J 一 2 （X y = U.斫以以MN為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)、五,6和, 0） .?！军c(diǎn)撥】從運(yùn)算呈的角度容易看出，解法二稍勝一籌. 這道題給我們的啟示是：在設(shè)參的選取上,解題方案通 常有兩種：設(shè)直線或設(shè)點(diǎn),只有合理的選參，才能減少 運(yùn)算.本題用到圓

16、的直徑式方程（，-%）1-$）+ 6，一到X一B）=o（圓的直徑的端 點(diǎn)是小內(nèi)，另）i方）工由特殊到一般法如果要解決的問(wèn)題是一個(gè)定值（定點(diǎn)）問(wèn)題，而題設(shè)條件又沒(méi)有給出這個(gè)定值（定點(diǎn)）， 那么我們可以這樣思考：由于這個(gè)定值（定點(diǎn)）對(duì)符合要求的一些特殊情況必然成立，那么我 們根據(jù)特殊情況先找到這個(gè)定值（定點(diǎn)），明確了解決問(wèn)題的目標(biāo)，然后進(jìn)行一般情況下的推 理證明.解題步驟：第一步：研究特殊情形 從問(wèn)題的特殊情形出發(fā)，如直線的斜率不存在，或直線過(guò)原點(diǎn)等， 得到目標(biāo)關(guān)系所要探求的定值（定點(diǎn)）.第二步：探究一般情況第三步：下結(jié)論綜合上面兩種情況定結(jié)論.7例4 （2016年泉州質(zhì)檢）已知橢圓U=十二二1

17、, 43斜率為正的動(dòng)直線/與橢圓C交于A 4兩點(diǎn)，與.V 2軸,.V軸相交于P, Q兩點(diǎn).試探究篇是否為定值？若是定值，試求出該定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō) 明理由.【解】當(dāng)直線/過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性,可知|,喇=|80，即相=】 當(dāng)直線/不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，通過(guò)平移直線，猜想巴=1以下給出具體證明.闕設(shè)直線/的方程為），=令 y = （）,得k =故尸（-,（）；JJ令 x =。，f# y = n ,故。（。,），則?0中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-乎，.v = x + n.聯(lián)立方程組、2 、 消去了，X- V ，+J = l, 43得 3x + 2/ - 6 = 0 ,令人二122 12（2/6）0,得-厭 2）,皿仁 弘2則有玉十干西4k 2 - 41 + 4公又因?yàn)辄c(diǎn)M是橢圓C的右頂點(diǎn)，所以點(diǎn)M （2, 0）.由題意可知直線八例的方程為a-2 Xj -2故點(diǎn)心-森直線4M的方程為y二一x-2 , -2故點(diǎn)一上三.V 七口若以線段PQ為直徑的圓過(guò)工軸上的定點(diǎn)N($,0),則等價(jià)于麗麗=0恒成立.恒成立.所以麗麗 =/2十;2L12k =。Xj 2 士 2又因?yàn)閤-2 x2-2二玉/一2玉十4 +4一二. ” + 4-上1+4 乂 - 1+4公1 十奴2= E 蜀一l / &-1 TOC o 1-5 h z =k$天一$+1f j4fcJ-4 Xfc J -3A2=七;r +1