對(duì)于線性粘彈性瀝青混凝土的卷積積分的數(shù)值計(jì)算

1、對(duì)于線性粘彈性瀝青混凝土的卷積積分的數(shù)值計(jì)算By Sungho Mun*摘要此研究關(guān)注表示電流的卷積積分的數(shù)值制劑的發(fā)展,它代表以前所有的歷史瀝青混凝土的響應(yīng)時(shí)間。為了解決涉及線性粘彈性的初始/邊界值問(wèn)題，本構(gòu)方程，表現(xiàn)在瀝青混凝土從頻率掃描測(cè)試中的卷積積分形式，從而得到松弛模量和數(shù)值配制成的增量。松弛模量是線性彈簧和阻尼器組成的力學(xué)模型。機(jī)械維謝爾模型是由Prony用于積分基礎(chǔ)公式的上的線性粘彈性松弛模量的數(shù)值而制定的。對(duì)于評(píng)價(jià)目的，是涉及的十字頭張力（或恒定的應(yīng)變速率單調(diào)加載），鋸齒形狀加載，和一個(gè)光束前端負(fù)荷下的數(shù)值例子納入數(shù)值積分的驗(yàn)證。關(guān)鍵詞：卷積積分，粘彈性，維謝爾模型，數(shù)值配方，

2、Prony系列1.介紹應(yīng)用程序的初始/邊界值問(wèn)題的粘彈性行為已經(jīng)被文獻(xiàn)報(bào)道。粘彈性本構(gòu)模型的數(shù)值積分公式材料已經(jīng)在包括泰勒等人的作品中討論過(guò)。（1970年），措赫爾等人（1997年），Kaliske和Rothert（1997年），潘艾哈邁德（1998年），SIMO和休斯（1998年），Hiterhoelzl（2000年）?；旧?，該方法已被納入有限元模擬Alpha?？傊?，SIMO和Hughes（1998）提出的方法的遞推公式為一體，采用了類(lèi)似的公式到目前這個(gè)數(shù)值積分公式。對(duì)于粘彈性的基本理論，一些研究人員的作品可以咨詢，如Schapery（1974年），輪渡（1980），克里斯坦森（1982）

3、，和Tschoegl（1989）。粘彈性材料區(qū)別于廣義的材料，這些材料的彈性描述了彈性和抗老化材料的線性粘彈行為。這個(gè)理論是一個(gè)洞察材料普遍的響應(yīng)行為隨時(shí)間變化的。在本文中，一個(gè)機(jī)械的本構(gòu)方程開(kāi)發(fā)并接受機(jī)械載荷的固體的卷積積分的松弛模量由Prony系列取代。這里給出這一提法的的時(shí)間historydependent變形和負(fù)載被施加到?；赑rony系列，依賴于時(shí)間的線性正交各向異性粘彈性本構(gòu)關(guān)系，制定廝磨等人所提出的遞推公式。此外，計(jì)算的切線模量從增量的應(yīng)變和應(yīng)力之間的關(guān)系。2.力學(xué)模型粘彈性材料的松弛模量是用來(lái)定義的應(yīng)激反應(yīng)，從各自的張量分量的應(yīng)變歷史輸入如下： 其中，IJ=應(yīng)激反應(yīng)， Eij

4、k=松弛模量 KL =應(yīng)變輸入。一種粘彈性材料配方下面的開(kāi)發(fā)相關(guān)的松弛模量的力學(xué)模型組成的彈簧和阻尼。首先，被給定為一個(gè)一維的分析基本方法。其次，相應(yīng)的三維分析描述被跟隨。此外，被認(rèn)為在制定thermorheologically簡(jiǎn)單的材料。這個(gè)假設(shè)是隨后所有松弛曲線可以疊加水平平移的方式沿時(shí)間軸以形成一個(gè)單一的主曲線。 因此，熱機(jī)械耦合的過(guò)程被簡(jiǎn)化，并且不考慮溫度的變化（例如，等溫過(guò)程）。在下面的廣義模型，維謝爾模型，進(jìn)行了討論。如圖1中所示，左彈簧中的應(yīng)力，&=Maxwell元件的彈簧與一個(gè)的緩沖器相結(jié)合的應(yīng)力&，來(lái)自微分方程：圖1 維謝爾型號(hào)其中，M =壓力￥m=粘度系數(shù)EM = 在第m個(gè)

5、內(nèi)的松弛模量。維歇特模型（或廣義的Maxwell模型）上的總應(yīng)力是通過(guò)以下方式獲得的求和形式：在解決上述微分方程，拉普拉斯變換的方法是有用的。其方法是轉(zhuǎn)換成差分方程的代數(shù)方程，這使得獲得拉普拉斯變換的解決方案（例如，反演問(wèn)題）。拉普拉斯轉(zhuǎn)換式。（2）（4），然后消除應(yīng)力m給出其中，E=卡森變換的松弛彈性模量（例如E,SE，），和第n個(gè)麥克斯韋元素的弛豫時(shí)間定義：P=n/E這可以被轉(zhuǎn)換成時(shí)域模量從拉普拉斯反演松弛模量在s域方面。 上面的方程被稱(chēng)為Prony系列相應(yīng)的維謝爾模型（或廣義Maxwell模型）。一維Prony級(jí)數(shù)可以配制的三維表達(dá)。3。本構(gòu)方程的數(shù)值積分在這項(xiàng)工作中所考慮的粘彈性材料本

6、構(gòu)方程推導(dǎo)出式的松弛模量的Prony系列。 （7）。下面的卷積積分在一般的各向異性應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系： 為了輕松處理多個(gè)指數(shù)，上述項(xiàng)建議的是潘和艾哈邁德（1998）。 這個(gè)定義可以用來(lái)改寫(xiě)的EQ。 （8）作為這里 &的定義，以制定一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)值實(shí)現(xiàn)。此外，被構(gòu)造的應(yīng)力，ij其中由兩個(gè)組件如瞬時(shí)彈性應(yīng)力，Eijkl0千升，和應(yīng)力響應(yīng)的基礎(chǔ)上的粘性應(yīng)變，&。狀態(tài)變量是正確的選擇，目前的粘彈性時(shí)間制定整合過(guò)程中的一個(gè)重要方面。存儲(chǔ)和更新的狀態(tài)變量從一個(gè)時(shí)間增量到下一個(gè)不知道他們的整個(gè)時(shí)間的歷史。上述狀態(tài)變量的選擇：上述狀態(tài)變量可以被重新復(fù)發(fā)的方法“（SIMO和休斯，1998年）。下列標(biāo)準(zhǔn)的指數(shù)函數(shù)

7、和對(duì)任何常量，DT和a。從這樣的說(shuō)法，狀態(tài)變量的方程。（12）可以是半分組，通過(guò)使用上述的可添加的屬性。采取的最后形式，如下所示：如式中所示。（15），本發(fā)明的狀態(tài)變量，：荷航（tn +1處），是從以前的變量，荷航（TN），更新的時(shí)間之前不知道時(shí)間的歷史數(shù)據(jù)中，tn。對(duì)于進(jìn)一步的數(shù)值算法，它被假定的菌株，千升，與增量的線性變化。此外，該公式可以重寫(xiě)相對(duì)于共同的指數(shù)項(xiàng)。在這種情況下，因此，本構(gòu)法歸納如下：4。切線模量在準(zhǔn)備用于導(dǎo)出的切線模量，下面的制劑是來(lái)自于兩個(gè)不同的方法。然后，結(jié)果是被相互比較的一次微分從方程。 （8），如下所示：小增量的假設(shè)，應(yīng)力張量被認(rèn)為是通過(guò)構(gòu)的關(guān)系，式作為一個(gè)功能的應(yīng)

8、變。（19），在所選擇的狀態(tài)變量，如形式（i）和（）n +1，和切線模量可以推導(dǎo)如下：二次的切線模量計(jì)算方法，從EQ。（17）的基礎(chǔ)上它相對(duì)于KL（tn +1處）區(qū)別。因此，如果使用的定義式被重寫(xiě)方程公式（9），上述切線模量相當(dāng)于與第一種方法的結(jié)果。 5。驗(yàn)證數(shù)值計(jì)算為了驗(yàn)證算法，選擇實(shí)施例中，是已知的解析解。為了簡(jiǎn)化，onedimension例討論在實(shí)施例（1）和（2），和一個(gè)疊加技術(shù)采用解析來(lái)表示的應(yīng)變歷史。這種方法是基于假設(shè)的線性度。最后，實(shí)施例3有關(guān)的一個(gè)簡(jiǎn)單的剪切試驗(yàn)。實(shí)施例1是有關(guān)一個(gè)恒定應(yīng)變速率單調(diào)加載（或恒定十字頭應(yīng)變速率拉伸）的輸入。應(yīng)變歷史在當(dāng)前時(shí)間是：其中，C是一個(gè)常數(shù)的

9、應(yīng)變率，和H（t）的亥維賽階梯函數(shù)，H = 0時(shí)，當(dāng)t 0。使用一階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)變函數(shù)式（21），和由Prony級(jí)數(shù)，方程表示的松弛模量（6），壓力可以從方程獲得公式（8）。其中C是2。對(duì)于普羅尼的弛豫時(shí)間相對(duì)于系數(shù)，精確的材料性能的瀝青混凝土從掃頻測(cè)試施加正弦加載瀝青試樣，并嵌合在參考溫度，25，得到示于表1。圖。圖2示出數(shù)值模擬和分析的解決方案之間的比較的基礎(chǔ)上的恒定strainrate的單調(diào)加載，并且它指出增量的0.01和0.1倍。 鋸齒形狀的應(yīng)變輸入被選擇作為實(shí)施例2使用相同的材料性能的Prony算法在圖系數(shù)。 3。的實(shí)施例2的解析解，可以得到從的線性疊加技術(shù)取決于對(duì)三個(gè)不同的區(qū)域，如0t

10、 t1時(shí)。對(duì)于為0 tt1時(shí)，方程。（22）可用于與不同的常數(shù)C的值圖2。恒應(yīng)變速率單調(diào)加載(25)其中C是0.5的情況下的正斜率和-C是在負(fù)，t1= 2.5和t2= 5秒。Alpha圖3鋸片齒形應(yīng)變加載圖3顯示了優(yōu)良的協(xié)議之間的理論分析和數(shù)值的解決方案，甚至想到不同的增量。要說(shuō)明如何可以驗(yàn)證本算法的正交各向異性材料中，選擇是基于實(shí)施例3的材料特性，這在表2中所示，使用由Poon和Ahmad（1998年），和他們定義Eijkl作為平衡松弛模量和eijkl0使用一個(gè)單一的弛豫時(shí)間，為玻璃狀松弛模量。實(shí)施例3是一個(gè)簡(jiǎn)單的材料樣品的剪切的情況下進(jìn)行描述為施加的剪切應(yīng)變歷史輸入：可以推導(dǎo)出的解析解如下

11、：術(shù)語(yǔ)的增量的時(shí)間，例如0.01和0.1，計(jì)算出的數(shù)值解是在良好的協(xié)議與解析解，如圖4。6。反演問(wèn)題不同于應(yīng)變輸入問(wèn)題，應(yīng)變輸入和應(yīng)激反應(yīng)，式構(gòu)關(guān)系，因?yàn)樵谒┘拥膽?yīng)力的情況下，在試樣中的反轉(zhuǎn)過(guò)程是必需的。 （1），是無(wú)效的。從式（18）和（19），（tn +1處）可以從以下的假設(shè)計(jì)算： “-0”是指在縱坐標(biāo)上的原點(diǎn)軸從非常小的變化因此，初始應(yīng)變值是零。利用上述假設(shè)，對(duì)于小的增量方程，（19）是可以改變變分形式。最后對(duì)于電流反轉(zhuǎn)算法的驗(yàn)證，被認(rèn)為是與前端負(fù)荷懸臂梁?jiǎn)栴}，對(duì)應(yīng)于規(guī)定的松弛模量，它需要蠕變?nèi)崃?，?；旧?，輸入從?yīng)力歷史計(jì)算應(yīng)變響應(yīng)，使用上面描述的技術(shù)反演該光束具有長(zhǎng)度L，12m4轉(zhuǎn)

12、動(dòng)慣量的時(shí)刻，I，1/12的m4束進(jìn)行的前端負(fù)荷：其中P0=1兆帕和t1= 1秒。據(jù)的彈性的解決方案中，位移，WL，由于前端負(fù)荷可以以下方式獲得：為了得到粘彈性體的溶液，施加彈性粘彈性對(duì)應(yīng)原理。此對(duì)應(yīng)原理表明靜態(tài)彈性的解決方案可以被轉(zhuǎn)換成準(zhǔn)靜態(tài)粘彈性解決方案。該過(guò)程涉及更換彈性模量的粘彈性能，拉普拉斯變換和反相轉(zhuǎn)換后的粘彈性變量，得到時(shí)域解決方案。使用這個(gè)屬性公式（32）被改變的拉普拉斯變換如下：其中，D=1/E和D是卡森變換的蠕變，符合（D=SD）。圖5。提示荷載工況的梁當(dāng)方程的反轉(zhuǎn)時(shí)，最終的時(shí)域解得到的粘彈性位移：與解析解的數(shù)值解相比，它是必要蠕變?nèi)崃?，D（t）的計(jì)算，從所描述的Prony

13、系列，在表1中所示，在松弛模量的方面。因此，使用下面的關(guān)系D = 1 / E，蠕變?nèi)峥梢缘玫?。涉及的拉普拉斯變換和反演的蠕變?nèi)崃康挠?jì)算有關(guān)的問(wèn)題的解決通過(guò)軟件包Mathematica的。如圖5中所示，數(shù)值解是增量時(shí)間，如0.1，0.01，和0.0001增量的不同而不同，在壓力applied.The為零表明，當(dāng)前的解決方案收斂到解析解的壓力的持續(xù)時(shí)間。此外，該最小遞增的時(shí)間提供正確的斜率趨勢(shì)，對(duì)分析解決方案，在所施加的壓力歷史上輸入.7。結(jié)論基于普羅尼指數(shù)級(jí)數(shù)表示數(shù)值積分方法被提出并證明是非常有效和準(zhǔn)確的。四個(gè)實(shí)施例中的每一個(gè)都被選擇，以驗(yàn)證本發(fā)明方法。結(jié)果發(fā)現(xiàn)是相當(dāng)不敏感的增量在實(shí)施例1至3倍

14、。但是，在實(shí)施例4中，自應(yīng)力時(shí)間歷史輸入需要的反演技術(shù)來(lái)計(jì)算應(yīng)變響應(yīng)是依賴于時(shí)間增量。反演問(wèn)題最小增量值的使用產(chǎn)生非常精確的結(jié)果。這一框架可以容易地并入通用的有限元法分析的數(shù)值積分公式。參考文獻(xiàn)克里斯滕森，R.M. （1982）。粘彈性理論：介紹。學(xué)術(shù)出版公司，倫敦。Ferry, J.D. (1980).（1980年）。粘彈特性的聚合物。第3版，Wiley出版社，紐約州。Hinterhoelzl，R.（2000）。固體的推進(jìn)劑中的有限元程序ABAQUS的UMAT根據(jù)“組織法”，研究報(bào)告kaliske，M.和Rothert的，H.（1997）?！暗闹贫ê蛨?zhí)行情況的三維粘彈性小和有限應(yīng)變。”計(jì)算力學(xué)方法。 19，第228-239頁(yè)。潘，H.和艾哈邁德，M.F. （1998年）?！癆材料各向異性點(diǎn)時(shí)間整合過(guò)程，熱流變簡(jiǎn)單，粘彈性的固體?！庇?jì)算力學(xué)，第。 21，第236-242頁(yè)。Schapery，R.A. （1974）。復(fù)合材料的粘彈行為與分析。第4章復(fù)合材料2。（的主編Sendeckjy，G. P.），科學(xué)出版社。廝磨，J.C.和休斯，T.J.R. （1998年）。計(jì)算非彈性施普林格出版社，紐約州。泰勒，RL，匹斯特，KS，Goudrequ，GL（1970年）?！盁崃W(xué)分析的粘彈性固體”。 J.編號(hào)