一元二次方程根的分布-精選

1、張盛武潮陽(yáng)一中明光學(xué)校文科數(shù)學(xué)學(xué)案一元二次萬(wàn)程根的分布一.知識(shí)要點(diǎn)二次方程ax2 bx c 0的根從幾何意義上來(lái)說(shuō)就是拋物線y ax2 bx c與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，所以研究方程ax2 bx c 0的實(shí)根的情況，可從 y ax2 bx c的圖象上進(jìn)行研究.若在（，）內(nèi)研究方程ax2 bx c 0的實(shí)根情況，只需考察函數(shù)y ax2 bx c與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù) 及交點(diǎn)橫坐標(biāo)的符號(hào)，根據(jù)判別式以及韋達(dá)定理，由 y ax2 bx c的系數(shù)可判斷出 ，x1 x2,x1x2的符 號(hào)，從而判斷出實(shí)根的情況.若在區(qū)間（m, n）內(nèi)研究二次方程ax2 bx c 0,則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來(lái)確定.表一：（兩根與0

2、的大小比較即根的正負(fù)情況）分布情況兩個(gè)負(fù)根即兩根都小于0兩個(gè)正根即兩根都大于0一正根一負(fù)根即一個(gè)根小于0,X10, X2 0X10, x200 x10 x2得出的結(jié)o o ob-2aof得出的結(jié)論o o b-2aoo o ob-2ao綜合結(jié)論不討論aoO O f aword.潮陽(yáng)一中明光學(xué)校文科數(shù)學(xué)學(xué)案張盛武表二：（兩根與k的大小比較）word.潮陽(yáng)一中明光學(xué)校文科數(shù)學(xué)學(xué)案張盛武表三：（根在區(qū)間上的分布）分布情況兩根都在m, n內(nèi)兩根有且僅有一根在 m, n內(nèi)（圖象有兩種情況，只畫了一種）得出的結(jié)論0f m 0f n 0bm - n2af m 0f n0f m f n0或f p0f p f q

3、0f q 0得出的結(jié)論f m 0f n 0bm n2af m 0fn0fm f n0或fp0fp f q0f q 0綜合結(jié)論1不討論aword.潮陽(yáng)一中明光學(xué)校文科數(shù)學(xué)學(xué)案張盛武根在區(qū)間上的分布還有一種情況：兩根分別在區(qū)間 m,n外，即在區(qū)間兩側(cè)x1 m, x2 n,（圖形分別如下)需滿足的條件是對(duì)以上的根的分布表中一些特殊情況作說(shuō)明:(1)兩根有且僅有一根在m, n內(nèi)有以下特殊情況:0,則此時(shí)f m gf n0不成立，但對(duì)于這種情況是知道了方程有一根為n ,可以求出另外一根,然后可以根據(jù)另一根在區(qū)間m,n內(nèi)，從而可以求出參數(shù)的值。如方程2mxm 2 x 2 0 在區(qū)間1,3 上2mxm 2

4、x 2 x 1 mx 2 ,m 2即為所求;方程有且只有一根，且這個(gè)根在區(qū)間m, n內(nèi)，即0,此時(shí)由0可以求出參數(shù)的值，然后再將參數(shù)的值帶入方程,求出相應(yīng)的根，檢驗(yàn)根是否在給定的區(qū)間內(nèi)，如若不在，舍去相應(yīng)的參數(shù)。如方程2x 4mx 2m 60有且一根在區(qū)間3,0內(nèi)，求m的取值范圍。分析：由 f 3 gf 014m15 m 30得出15142由 0即16m4 2m 60得出m 1或m1時(shí),根x3,02331滿足題忌；當(dāng)m 時(shí)，根x 33,0 ,故m 不滿22足題意;綜上分析，得出315- 一或m14word.張盛武潮陽(yáng)一中明光學(xué)校文科數(shù)學(xué)學(xué)案二.例題選講(1)兩個(gè)根在實(shí)數(shù)k的同一側(cè)變式1 ：已知

5、方程2X2例1.已知方程4x2 2(m 1)x (2m 3) 0(m R)有兩個(gè)負(fù)根，求 m的取值范圍.m 1 x m 0有兩個(gè)不等正實(shí)根，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。變式2：已知二次方程 mx2 (2m 1)xm 2 0的兩個(gè)根都小于1,求m的取值范圍.(2)兩個(gè)根在實(shí)數(shù)k的異側(cè)例2：已知二次方程 2m 1 x2 2mx m 10有一正根和一負(fù)根，求實(shí)數(shù) m的取值范圍。變式1：已知二次函數(shù) y m 2 x22m 4 x 3m 3與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)大于1, 一個(gè)小于1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。變式2：求實(shí)數(shù)m的范圍，使關(guān)于x的方程x2 2(m 1)x 2m 6 0 .(1)有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比2大，

6、一個(gè)比2小.(2 )有兩個(gè)實(shí)根，且滿足014 .(3 )至少有一個(gè)正根.word.張盛武潮陽(yáng)一中明光學(xué)校文科數(shù)學(xué)學(xué)案變式3:如果二次函數(shù)y=mx2+(m-3)x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍.(3)在區(qū)間(m,n)有且只有一個(gè)實(shí)根2例3.已知一次萬(wàn)程 mx 2m 3 x 4 0只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍。變式：已知關(guān)于 x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一1, 0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1, 2)內(nèi)，求m的范圍.(4)在區(qū)間(m,n)有兩個(gè)實(shí)根例4：已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程兩根均在

7、區(qū)間(0, 1)內(nèi)，求m的范圍.變式1:已知方程2x2 - 2(2a-1)x + a+2=0的兩個(gè)根在-3與3之間，求a的取值范圍.變式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的兩個(gè)根都屬于(-3, 3),且其中至少有一個(gè)根小于1,求m的取值范圍.word.張盛武潮陽(yáng)一中明光學(xué)校文科數(shù)學(xué)學(xué)案(5)在區(qū)間m,n有實(shí)根例5.已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù) f(x) 2ax2 2x 3 a ,如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.(6)二次方程實(shí)根分布的一些方法除了直接用于判別二次方程根的情況，在其它的一些場(chǎng)合下也可以適 當(dāng)運(yùn)用.x+1例6.1 .求函數(shù)y =及(1x0(

8、1)當(dāng)m0時(shí)，則 3 m 解得0V m 10 m綜上所述，m的取值范圍是m|mwi且mw。.(3)在區(qū)間(m,n)有且只有一個(gè)實(shí)根例3.已知二次方程 mx22m 3 x 4 0只有一個(gè)正根且這個(gè)根小于1,求實(shí)數(shù) m的取值范圍。1解：由題意有方程在區(qū)間0,1上只有一個(gè)正根，則f 0 gf 10 4g3m 10 m 1即3為所求范圍。變式：已知關(guān)于 x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(一1, 0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1, 2)內(nèi)，求m的范圍.解：條件說(shuō)明拋物線 f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(一1, 0)和(1, 2)內(nèi)，則word.張盛武潮

9、陽(yáng)一中明光學(xué)校文科數(shù)學(xué)學(xué)案1f(0)2m10,m2mRf( 1)20,Af(1)4m20,m12f(2)6m505m6一 ，一 51實(shí)數(shù)m的范圍是(5,).62(4)在區(qū)間(m,n)有兩個(gè)實(shí)根例4:已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.若方程兩根均在區(qū)間(0, 1)內(nèi)，求m的范圍.解：據(jù) 拋物線 f(x)=x2+2mx+2m+1x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0 , 1)內(nèi)，列不等式組f(0) 0,f(1) 0,0,0 m 11m 2,1m 2,m 1. 2或m 1、2,1 m 0.-1 0f(-3)0f(3)02a-1-3 3143-21-13 0 18+6(2 a-1)+a+20 18-6(2

10、a-1)+a+202a-1-333+ 21或43故a的取值范圍是(-* , 3-中令26 .113+ 21U426,11 ) .變式2：已知方程x2 + (3m-1)x + (3m-2)=0的兩個(gè)根都屬于(-3, 3),且其中至少有一個(gè)根小于1,求m的取值范圍.解：原方程即為(x + 1)(x + 3m-2)=0 ,所以方程兩根分別為-1,2-3m,而-1在(-3,1)上，則由題意，另一根滿足-32-3 m3(6)在區(qū)間m,n有實(shí)根例5.已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)- 、 一 2f (x) 2ax 2x 3 a ,如果函數(shù)y f (x)在區(qū)間1,1上有零點(diǎn)，求a的取值范圍.解析1:函數(shù)y f (x)在區(qū)

11、間-1 , 1上有零點(diǎn)，即方程f(x) 2ax2 2x 3 a =0在-1 , 1上有解,word.張盛武潮陽(yáng)一中明光學(xué)校文科數(shù)學(xué)學(xué)案a=0時(shí)，不符合題意，所以 aw0方程 f(x)=0 在-1 , 1上有解f( 1) f(1) 0 或af( 1) 0af (1)41 a08a(3 a) 011.1所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是2解析2： a=0時(shí)，不符合題意，所以f (x) 2ax2 2x 3 a=0 在-1 ,丫或a 5awQK1上有解，(2x21)a 3 2x在-1 , 1上有解2x2 1 十在-1 , 13 2x上有解，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y2x 1-1 , 1上的值域；設(shè) t=3-2x , x

12、C -1 , 1,則 2x 3 t , 3 2x任1,5, y(t 3)2 2設(shè) g(t) t7-.g(t)tt2 7V1 , (t26),1,歷時(shí)，g(t)0 ,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞減,t (77,5時(shí)，g(t)0,此函數(shù)g(t)單調(diào)遞增,，y的取值范圍是3,1, f (x)2ax2 2x 3 a =0 在-1 , 1上有解 - 3,1 a 1 a(6)二次方程實(shí)根分布的一些方法除了直接用于判別二次方程根的情況，在其它的一些場(chǎng)合下也可以適 當(dāng)運(yùn)用.例6.1 .求函數(shù)解：原函數(shù)即為x+1y = x2-3x+2(ix2)的值域.y (x2-3x+2)=x+1, yx2-(3y+1)x+2y-1=

13、0, 由題意，關(guān)于x的方程在(1,2)上有實(shí)根.易知y0,令f(x)= yx2-(3y+1)x+2y-1,則f(1)= -20, f(2)= -3013y+1 0m+1f(0) f(1)0 或0 4 1m0f(1)0f(x) = 2x2-(m+1)x+m,則當(dāng)且僅當(dāng)m2-6m+1 0-1m3m/2 且 mOm0word.張盛武潮陽(yáng)一中明光學(xué)校文科數(shù)學(xué)學(xué)案故m的取值范圍為 (-,0) U (0, 3-2平.例6.3.設(shè)關(guān)于x的方程4x 2x 1 b 0(b R),(1)若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù) b的取值范圍；(2)當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。分析：可用換元法，設(shè) 2x t

14、,原方程化為二次方程t2 2tb 0，但要注意t 0,故原方程有解并不等價(jià)于方程t2 2t b 0有解，而等價(jià)于方程t2 2t b 0在(0,)內(nèi)有解.另外，方程有解的問(wèn)題也可以通過(guò)參變分離轉(zhuǎn)化為求值域的問(wèn)題，它的原理是：若關(guān)于 值域.x的方程a f(x)有解，則a f(x)的解：(1)原方程為b 4x 2x 14x2x 1(2x)2 2 2x (2x 1)2 1當(dāng)b 1,)時(shí)方程有實(shí)數(shù)解； 當(dāng)b 1時(shí)，2x 1,，方程有唯一解 x 0;當(dāng) b 1 時(shí)， (2x 1)2 1 b 2x 1 71 b.2x 0,10,2x1的解為 x log 2 (1、1瓦)；令 11 b 0,1b 11 b 0

15、,當(dāng)1 b 0t,2x 1 丁石的解為x 10g2(1 %彳元)；綜合、，得1)當(dāng)1 b 0時(shí)原方程有兩解：x 10g2(1 J1 b)；2)當(dāng)b 0或b1時(shí)，原方程有唯一解 x 10g 2 (1 qT不)；3)當(dāng)b 1時(shí)，原方程無(wú)解。變式：已知方程 m 22x (2m 1) 2x m 0在(，1)上有兩個(gè)根，求 m的取值范圍.解：令 t 2x,當(dāng) x (,1)時(shí)，t (0,2).由于t 2x是一一映射的函數(shù)，所以x在(，1)上有兩個(gè)值，則t在(0,2)上有兩個(gè)對(duì)應(yīng)的值.因而方程mt2 (2m 1)t m 0在(0, 2)上有兩個(gè)不等實(shí)根，其充要條件為word.張盛武潮陽(yáng)一中明光學(xué)校文科數(shù)學(xué)學(xué)案由(1)得:由(2)得:10,由(3)得:29由(4)得:m的取值范圍為2 1 (9?1.已知二次方程(3m 1)x2 (2m 3)x m 40有且只有一個(gè)實(shí)根屬于(-1,1),求m的取值范圍.解：易知xi = -1是方程的一個(gè)根，則另一根為m-4x2=赤,所以原方程有且僅有一個(gè)實(shí)根屬于(-1, 1)當(dāng)且僅當(dāng)-10-1 003 .5， ,m 4 , m的取值范圍為 (-,-2)u( 4 ,+ ).2.已知二次方程(2m 1)x22mx (m1)0有且只有一個(gè)實(shí)根屬于(1, 2),且x1,x 2都不是方程_2(2