信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析

1、 第三章 離散系統(tǒng)的時域分析信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析3.1 LTI離散系統(tǒng)的響應一、差分與差分方程 與連續(xù)時間信號的微分及積分運算相對應，離散時間信號有差分及序列求和運算。 設有序列 ，則稱 為 的移位序列。 序列的差分可分為前向差分和后向差分。 一階前向差分定義： 一階后向差分定義： 前向差分和后向差分的關系：信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析本書主要采用的是后向差分，簡稱差分。差分運算具有線性性質。信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析二階差分可定義為：類似可定義三階、四階、n階差分。N階差分式中信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 序列 的求和運算為 差分方程是包含關于變量k的未知序

2、列 及其各階差分的方程式，它的一般形式可寫為： 式中差分的最高階為n階，稱為n階差分方程。 各階差分均可寫為 及其各移位序列的線性組合，故上式常寫為：若各移位序列的系數(shù)為常數(shù)，則方程為常系數(shù)差分方程。信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析例：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為：已知初始條件 ，激勵 ，求解：將差分方程中除 以外的各項都能移到等號右 端，得對于 ，將已知初始值 代入上式，得類似地，依次迭代得信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析二、差分方程的經典解 一般而言，如果單輸入單輸出的LTI系統(tǒng)的激勵 ，其全響應為 ，那么，描述該系統(tǒng)激勵 與響應 之間關系的數(shù)學模型是n階常系數(shù)線性差分方程，它可以寫為

3、：式中 都是常數(shù)上式可縮寫為差分方程的解由齊次解和特解兩部分組成：信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 齊次解： 當差分方程中的激勵及其各移位項均為零時，齊次方程的解為齊次解。 首先分析最簡單的一階差分方程。若一階差分方程的齊次方程為 它可改寫為： 信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 之比等于-a表明，序列 是一個公比為-a的等比級數(shù)，因此 有如下形式： 對于n階齊次方程，它的齊次解由形式為 的序列組合而成，將 代入到差分方程中，得： 由于 ，消去C，且 ，以 除上式，得 為差分方程的特征根。信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析特征根單實根一對共軛復根r重實根R重共軛復根齊次解y h (k)不同特

4、征根所對應的齊次解齊次解信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析特解信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 全解 線性差分方程的全解是齊次解與特解之和，如果方程的特征根均為單根，則差分方程的全解為 如果特征根1為r重根，而其余n-r個特征根為單根時，差分方程的全解為： 式中 由初始條件決定。信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 如果激勵信號是在k=0時接入的，差分方程的解適合于k0。對于n階差分方程，用給定的n個初始條件 就可確定全部待定系數(shù)。如果差分方程的特解都是單根，可得：由以上方程可求得全部待定系數(shù)信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析例：若描述某系統(tǒng)的差分方程為已知初始條件 激勵 求方程全解解：求齊次

5、解差分方程的特征方程為可解得特征根 為二重根，其齊次解求特解，根據(jù)激勵函數(shù)的形式可知其特解：將 代入微分方程中得信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析微分方程的全解為將初始條件代入上式，有由上式得 。最后得方程的全解為信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析例：若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為 已知初始條件 ；激勵為有始的周期序列 ，求其全解。 解：首先求齊次解。差分方程的特征方程為 解得特征根 方程的齊次解信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析求特解根據(jù)激勵函數(shù)形式設特解為其移位序列將特解及其移位序列代入微分方程中，得信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析解得 ，于是特解方程的全解將已知的初始條件代入上式，有由上

6、式解得 ，最后得全解信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 一般而言，如果差分方程所有的特征根均滿足 ，那么其自由響應將隨著k的增大而逐漸衰減趨近于0。這樣的系統(tǒng)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)，這時的自由響應也稱為瞬態(tài)響應。穩(wěn)定系統(tǒng)在階躍序列或有始周期序列作用下，其強迫響應也稱為穩(wěn)態(tài)響應。信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 三、零輸入響應 系統(tǒng)的激勵為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)引起的響應，稱為零輸入響應，用 表示。在零輸入條件下，微分方程等號右端為零，化為齊次方程。 一般設定激勵是在k=0時接入系統(tǒng)的，在k0時，系統(tǒng)的單位序列響應與系統(tǒng)的零輸入響應的函數(shù)形式相同。這樣就把求單位序列響應的問題轉化為求差分方程齊次解的問題

7、，而k=0處的值 可按零狀態(tài)的條件由差分方程確定。信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析例：求如圖所示離散系統(tǒng)的單位序列響應寫差分方程根據(jù)單位序列響應 的定義，它應滿足方程DD信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析求初始值由 求由于（2）求 對于k0， 滿足方程 求齊次解其特征方法為其特征根 ，方程的齊次解為 信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 將初始值代入，有 請注意，這時已將 代入，因而方程的解也滿足k=0。有上式可解得 于是得系統(tǒng)的單位序列響應為：信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析例：如圖離散系統(tǒng)，求其單位序列響應（1）列方程 由 得DD信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析根據(jù)單位序列響應的定義，

8、 應滿足方程和初始狀態(tài)（2）求 思路：將 和 看作是兩個激勵，分別求它們的單位序列響應，然后按線性性質求得系統(tǒng)的單位序列響應。信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 階躍響應 當LTI離散系統(tǒng)的激勵為單位階躍序列時 時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應稱為單位階躍響應或階躍響應，用 表示。若已知系統(tǒng)的差分方程，那么利用經典法可以求得系統(tǒng)的單位階躍響應。 類似地 有信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析例：求如圖所示離散系統(tǒng)的單位階響應（1）經典法 系統(tǒng)的差分方程為： 根據(jù)階躍響應的含義， 滿足方程DD信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析初始狀態(tài) 上式可寫為得：差分方程的特征根：方程的特解解為： 則系統(tǒng)階

9、躍響應為將初始值 代入，得 ，則信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析（2）利用單位階躍序列 已知系統(tǒng)的單位序列響應為： 系統(tǒng)的階躍響應為：信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析常用的幾何數(shù)列求和公式：1.2.3.信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析4.5.6.7.信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 3.3 卷積和 本節(jié)討論離散系統(tǒng)對任意輸入的零狀態(tài)響應一、卷積和 在LTI連續(xù)時間系統(tǒng)中，把激勵信號分解為一系列沖激函數(shù)，求出各沖激函數(shù)單獨作用于系統(tǒng)時的沖激響應，然后將這些響應相加就得到對于該激勵信號的零狀態(tài)響應。這個相加的過程表現(xiàn)為求卷積積分。信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 將離散信號分解為單位序列

10、之和，利用系統(tǒng)的單位序列響應求激勵信號作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，這個過程表現(xiàn)為求卷積和。 任意離散時間序列 可表示為：信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 如果LTI系統(tǒng)的單位序列響應為 ，那么，由線性系統(tǒng)的齊次性和時不變系統(tǒng)的移位不變性可知，系統(tǒng)對 的響應為 。則序列 作用于系統(tǒng)所引起的零狀態(tài)響應 應為 信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 卷積和也簡稱為卷積，通常用 表示，即 LTI系統(tǒng)對于任意激勵的零狀態(tài)響應是激勵 與系統(tǒng)單位序列響應 的卷積和。 一般地，若有兩個序列 ，其卷積和為信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析例：如 求解：由卷積的定義式，考慮到 得根據(jù) 的定義，故信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)

11、的時域分析（2）由卷積和的定義故顯然，上式中k0，故應寫成：信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析二、卷積和的圖示 在計算卷積和時，正確地選定參變量k的適用區(qū)域以及確定相應的求和上限和下限是十分關鍵的步驟，圖示法也是求簡單序列卷積和的有效方法。 用作圖法計算序列卷積和的有效方法。信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析例：如有兩個序列信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 （1）將序列 的自變量換為i，序列 的圖形如圖所示。（2）將 反轉后，得 ，如圖所示。 信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析求卷積和的序列陣列表信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析列表法求解例信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析三、卷積的性質

12、離散信號卷積和的運算也服從某些代數(shù)運算規(guī)則。 交換律 分配律 結合律信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 如果序列之一是單位序列，由于 僅當k為0時等于1，不為0時全為0，因而有： 即序列 與單位序列 的卷積和就是序列 本身 將上式推廣， 與移位序列 的卷積和有交換律，有信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 例：如圖的復合系統(tǒng)由兩個子系統(tǒng)級聯(lián)組成，已知子系統(tǒng)的單位序列響應分別為 ，求復合系統(tǒng)的單位序列響應 。 信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 解：根據(jù)單位序列響應的定義，復合系統(tǒng)的單位序列響應 是激勵 時系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，即 令 ，則子系統(tǒng)1的零狀態(tài)響應為： 當子系統(tǒng)2的輸入為 時，子系統(tǒng)2的零

13、狀態(tài)響應亦即復合系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為：信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析復合系統(tǒng)的單位序列響應為： 考慮到當 時， 時 以及在 區(qū)間 當 時 當 時 信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析顯然上式僅在k0成立，故得：通常利用單位序列來簡便求移位序列的卷積和。信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析例：如圖所示的離散系統(tǒng)，求系統(tǒng)的全響應。已知初始狀態(tài) 激勵解：該系統(tǒng)的差分方程為：信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析（1）求零輸入響應根據(jù)零輸入響應的定義，它滿足方程由初始狀態(tài) 得初始條件：對應特征方程的特征根為 ，故有將初始條件代入得零輸入響應為：信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析（2）求單位序列響應和零狀態(tài)響應根據(jù)單位序列響應的定義，系統(tǒng)的單位序列響應 滿足初始狀態(tài) 如前例中求法得：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應等于激勵 與單位序列響應 的卷積和，即信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析系統(tǒng)的全響應為：信號與系統(tǒng)第三章離散系統(tǒng)的時域分析 3.4 反卷積 在前面的討論中，若給定系統(tǒng)的激勵 和單位序列響應 ，則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應：