2022年“時(shí)代杯”年江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽初賽試題

1、“ 時(shí)代杯”2022 年江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽初賽試題（中學(xué)組）密題號(hào)一2022 年 12 月 6 日下午 14001540 22 總分二三1 10 11 18 19 20 21 得分留意事項(xiàng)：1 本試卷有 22 題共 4 頁滿分 150 分考試時(shí)間 100 分鐘2 用鋼筆或圓珠筆（藍(lán)色或黑色）直接答在試卷上3 答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目及考號(hào)填寫清晰號(hào) 考封一、挑選題（以下各題的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是正確的每道題5 分,共 50 分）1已知 m 0,以下運(yùn)算正確選項(xiàng)（）Am 2m3m5Bm2 m3m6Cm3 m2 mDm2 3 m52已知四個(gè)數(shù)：2, 3, 4,5,任取其中兩個(gè)數(shù)相乘,所

2、得積的最大值是（A20 B 12 C10 D 6 3設(shè) a1 與 2 a1的值互為相反數(shù),就a 的值是（）A3 B 1 C0 D1 34（ n1）邊形的內(nèi)角和比n 邊形的內(nèi)角和大（）A360B 180C90D605現(xiàn)有二 八年奧運(yùn)會(huì)福娃卡片5 張,卡片正面分別印著貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮名 姓妮,每張卡片大小、質(zhì)地和背面圖案均相同如將卡片正面朝下反扣在桌面上,從中隨機(jī)一次抽出兩張,就抽到卡片貝貝的概率是（）A1 5B1 4C2 5D4 56There is a piece of work It takes Mr. A alone 20 days to finish,and Mr. B 30

3、alone days to finish It takes them（）days to work together to finish the work 校 學(xué)線A10 B 12 C15 D50 O D 7如圖,已知O 的半徑為 5,直線 l 與 O 相交,點(diǎn) O 到直線 l 的距離為 2,就 O 上到直線 l 的距離為 3 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）l A4 B 3 C2 D1 8已知方程x 22x 150,就此方程的全部實(shí)數(shù)根的和為（）（第 7 題）A0 B 2 C2 D8 9已知實(shí)數(shù)a, b 同時(shí)滿意 a2b2110, a2 5b5 0,就 b 的值是（）A1 B 1, 6 C 1 D 6 10如

4、圖,在ABC 中, D、 E 分別是 BC、AC 的中點(diǎn)C 已知 ACB90 , BE4,AD7,就 AB 的長為（）E A10 B 5 3 C213 D2 15 B 二、填空題（每道題5 分,共 40 分）A （第 10 題）11某人使用運(yùn)算器運(yùn)算全班50 名同學(xué)的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均分時(shí),假如錯(cuò)將其中的一個(gè)成果 115 分輸入為 15 分,那么由此求出的平均分比實(shí)際平均分低 分1 12已知函數(shù)y1 與 y2分別由下表給出,那么滿意y1y2的 x 的值是2 3 x 1 2 3 x 1 y11 3 1 y23 2 1 輸入 x13設(shè) a 0,5a是整數(shù),就a 的值為否是否偶數(shù)14在圖示的運(yùn)算流程

5、中,如輸出的數(shù)y5,就輸入的數(shù)x減 1 是除以 2 輸出 y（第 14 題）15如圖,在矩形ABCD 中,點(diǎn) E、 F 分別在 AB、CD 上,D F C AF EC, AFD 與四邊形 AECF 的面積相等已知AB6 cm, BC3 cm,就 AF 與 CE 之間的距離是cmA E （第 15 題）B A 16設(shè)直線 l 1 是函數(shù) y 2x4 的圖象,將直線l 1 繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90得到直線 l 2,就 l2 與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是F A 17如圖,在ABC 中,已知 ABC90 , D 是 AC 的中點(diǎn),過D 點(diǎn) D 作 DEAC,與 CB 的延長線交于點(diǎn)E,以 BA

6、、BE 為鄰邊作長方形BAFE,連接 FD 如 C60 , DF 3 cm,E B （第 17 題）C 就 BC 的長為cm18在ABC 中,已知 ACB=90o, A40o如以點(diǎn) C 為中心,D B 將 ABC 旋轉(zhuǎn) 角到 DEC 的位置,使B 點(diǎn)恰好落在邊 DE 上（如下列圖） 就 oE 三、解答題（第1921 題每題 14 分,第 22 題 18 分,共 60 分）C （第 18 題）19已知關(guān)于x 的方程（ a 1）x24x 12a 0 的一個(gè)根為x3（ 1）求 a 的值及方程的另一個(gè)根；（ 2）假如一個(gè)三角形的三條邊長都是這個(gè)方程的根,求這個(gè)三角形的周長2 20（1）已知恒等式 x3

7、x2x 1（ x1）（x2 kx1）,求 k 的值；（2）如 x 是整數(shù),求證：x 3x2x1x22x1 是整數(shù)21甲、乙兩個(gè)水池同時(shí)放水,其水面高度（水面離池底的距離）h（米）與時(shí)間 t（小時(shí)）之間的關(guān)系如下列圖（甲、乙兩個(gè)水池底面相同）（1）在哪一段時(shí)間內(nèi),乙池的放水速度快于甲池的放水速度？（2）求點(diǎn) P 的坐標(biāo),由此得到什么結(jié)論？8 h 米Q（3）當(dāng)一個(gè)池中的水先放完時(shí),另一個(gè)池中水面的高度是多少米？P76543甲乙21O12345t小時(shí) 3 22某人用一張面積為S 的三角形紙片ABC,剪出一個(gè)平行四邊形DEFG 記 DEFG 的面積為 T, （1）如圖 1,假如 DEFG 的頂點(diǎn)都在求

8、 T（用 S表示）；ABC 的各邊上, D、G 分別是 AB、AC 的中點(diǎn)（2）如圖 2,假如 DEFG 的頂點(diǎn)都在ABC 的各邊上,求證：T1 2S；G C （3）對(duì)任意剪得的 DEFG ,T1 2S 仍成立嗎？請(qǐng)說明理由A A D G D B E 圖 1 F C B E 圖 2 F 4 2022 年“ 時(shí)代杯” 江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽初賽試題參考答案一、挑選題（每道題 5 分,共 50 分）1C 2B 3D 4B 5C 6B 7B 8 A 9A 10 C二、填空題（每道題 5 分,共 40 分）11 2 122 131,4,5 1410,或 11 151.2 164 17 1 18

9、80 說明 ：第 13 題答對(duì) 1 個(gè)給 1 分,對(duì) 2 個(gè)給 2 分；第 14 題答對(duì) 1 個(gè)給 2 分）三、解答題（第 19 題第 21 題每題 14 分,第 22 題 18 分. 共 60 分）19 解：（1）由題設(shè),得 9（a 1） 4 312a0解得 a2 3 分所以原方程為 x24x30它的另一個(gè)根是 1 7 分（2）由題設(shè)知,三角形的三邊中至少有兩條邊相等,就有以下兩種情形：三邊相等,邊長為 1,1, 1；或 3, 3,3那么三角形的周長是 3 或 9； 11 分僅有兩邊相等,由于 112 3,所以三角形的邊長只能為 3,3, 1那么三角形的周長是 7由、知,三角形的周長可以是

10、3,或 7,或 9 14 分2 3 220 解：（1）由題設(shè)知, x 1 x kx 1 x k 1 x k 1 x 1, 3 分3 2 3 2 k 1 1,所以 x x x 1 x k 1 x k 1 x 1,從而有k 1 1.解得 k0 7 分3 2 2（2）x2 x x 1 x 1 x2 1x 1x 2 x 1 x 1由于 x 是整數(shù),所以 x1 是整數(shù)3 2故 x2 x x 1 是整數(shù) 14 分x 2 x 121 解：（1）由圖知,甲池的放水速度為 8 2（米 /小時(shí)）4當(dāng) 0t3 時(shí),乙池的放水速度為 1（米 /小時(shí)）；3當(dāng) 3t5 時(shí),乙池的放水速度為 5（米 /小時(shí)）2由于12,2

11、5,3 2所以 3t5 時(shí),乙池的放水速度快于甲池的放水速度 4 分（2）甲池中水面高度 h（米）與時(shí)間 t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為 h 2t8當(dāng) 0t3 時(shí),乙池中水面高度 h（米）與時(shí)間 t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為 h 1t 635 由h2 tt,8解得t6 5,.所以P6 28 ,5 5,即P1.2,5.625h16 .h2835由此說明,當(dāng)t1.2 小時(shí)時(shí),兩池中水面的高度相等 10 分（3）由圖知,甲池中的水4 小時(shí)放完當(dāng) 3t5 時(shí),乙池中水面高度h（米） 與時(shí)間 t（小時(shí)） 的函數(shù)關(guān)系為h5 t 22當(dāng) t4 時(shí),h5,即 h2.5214 分所以當(dāng)甲池中的水先放完時(shí),乙池中水面的高度是2

12、.5 米 注：（1）中,答 3t4,不扣分22 解：（1）由于 D、G 分別是 AB、AC 的中點(diǎn),所以 DG BC,且 DG1 2BC分別過點(diǎn) A、D 作 AMBC,DN BC就 DNB AMB由于 B B,所以DNB AMB 又由于 DB1 2AB,所以 DN 1 2AM6 分故 T1 2S （2）過點(diǎn) G 作 GH AB,交 BC 于點(diǎn) H就 B GHF 由于 DE GF, DE GF,所以 DEB GFH 從而有DBE GHF 由于 DG BC,所以 ADG B,從而有ADG ABC同理,GHC ABC設(shè) ADkAB（0k1）,就 S ADGk 2S同理, S GHC（ 1k）2STS

13、SADG SGHC1k 2（ 1k） 2 S （ 2 k 2 2 k）S 2（k1 2）21 4 S D A G 2（k1 2） 2 S1 2S1 2S 12 分（3）分以下四種情形爭(zhēng)論：G 第一種情形 ：假如剪得的平行四邊形有三個(gè)頂點(diǎn)在三角形的邊上,第四個(gè)頂點(diǎn)不在三角形的邊上 當(dāng)其中有兩個(gè)頂點(diǎn)在同一邊時(shí),如圖3-1 所示,B E F 圖 3-1 FG C 延長 DG 交 AC 于點(diǎn) G,過點(diǎn) G作 GF GF,交 BC 于點(diǎn) F,B A C 易知四邊形DEF G是平行四邊形,就TS DEF G 由（ 2）知, S DEF G 1 2S所以 T1 2SGD 當(dāng)三點(diǎn)分別在三角形的三邊時(shí),如圖3-

14、2,過 A 點(diǎn)作FF AH DE 交 EF、DG 于 F、 G,問題轉(zhuǎn)化為（ 2）和圖 3-1 兩E H 圖 3-2 種情形,就6 T= SDEF G+ S FGGF1 2 S ABH+ 1 2 S AHC=SA 其次種情形 ：假如剪得的平行四邊形有兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的邊上,另兩個(gè)頂點(diǎn)不在三角形的邊上3-3,延長 DG 與三角LD G KC 當(dāng)這兩個(gè)頂點(diǎn)在同一邊上時(shí),如圖形的兩邊 AB、AC 分別交于點(diǎn)L、K,作平行四邊形MNKL 問題轉(zhuǎn)化為（ 2）就B ME 圖 3-3 F NC T=S DEFG S MNKL 1 2S當(dāng)這兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的兩邊上時(shí),如圖3- 4延長 DE、A GF 交 BC 于點(diǎn) K、M,過點(diǎn) K 作 KN DG,交 G M 于點(diǎn) N易D G 得四邊形 DKNG 是平行四邊形,從而問題轉(zhuǎn)化為圖3-2 的情形,就F T=SDEFG SDKN G1 2SB E M 圖 3-4 N K 第三種情形 ：假如剪得的平行四邊形只有一個(gè)頂點(diǎn)在三角形的的邊上,另三個(gè)頂點(diǎn)不在三角形的邊上如圖3-5,延長 ED、FG 分別交 AB、AC 于點(diǎn) K、M,過點(diǎn) K 作 KN DG,交 FM 于A 點(diǎn) N易得四邊形EFNK 是平行四邊形,從而問題轉(zhuǎn)化為圖3-4 的情形