自動(dòng)控制原理：第22講（第五章 頻率域穩(wěn)定判據(jù)）

1、2022/8/21控制系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性是系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)所需解決的首要問題！從數(shù)學(xué)上來說，系統(tǒng)的穩(wěn)定性與什么有關(guān)系？系統(tǒng)的穩(wěn)定性與系統(tǒng)特征方程的根有關(guān)。時(shí)域穩(wěn)定性判據(jù)是什么？ 時(shí)域中是通過列勞斯表，把系數(shù)與特征方程根的關(guān)系聯(lián)系起來2022/8/22研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性還是歸結(jié)到特征方程的根的分布問題！2022/8/23 頻率分析實(shí)質(zhì)是從開環(huán)頻率特性出發(fā)，分析閉環(huán)系統(tǒng)特性。如何才能把開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)的特征方程的根分布聯(lián)系起來？第19講 頻率域穩(wěn)定判據(jù)本講主要內(nèi)容1、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)2、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)3、對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)三、頻率域穩(wěn)定性判據(jù)2022/8/25例16-1特征方程：令則，特征方程的根就

2、是F(s) 的零點(diǎn)。如果F(s)的右半平面零點(diǎn)個(gè)數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。怎么判斷的右半平面零點(diǎn)個(gè)數(shù)呢？ 設(shè)復(fù)變函數(shù) 對(duì)s平面上的每一個(gè)點(diǎn)s(復(fù)數(shù)變量)，在F(s)平面上必有一點(diǎn)通過映射關(guān)系F(s)與之對(duì)應(yīng)。 對(duì)s平面上的任一個(gè)不通過極點(diǎn)的封閉曲線，在F(s)平面上必有一連續(xù)封閉曲線F通過映射關(guān)系F(s)與之對(duì)應(yīng)。1、奈氏判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)幅角定理取簡單的復(fù)變函數(shù)規(guī)定：當(dāng)R0時(shí)，曲線F逆時(shí)針包圍原點(diǎn)； 當(dāng)R0時(shí)，曲線F順時(shí)針包圍原點(diǎn)； 當(dāng)R=0時(shí)，曲線F不包圍原點(diǎn)。幅角定理：設(shè)s平面閉合曲線包圍F(s)的Z個(gè)零點(diǎn)和P個(gè)極點(diǎn)，則s沿順時(shí)針運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，F(xiàn)(s)平面內(nèi)的閉合曲線F繞原點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的圈數(shù)為：

3、R=P-Z若R=P，即F平面內(nèi)曲線F逆時(shí)針繞原點(diǎn)的圈數(shù)等于F(s)的極點(diǎn)被曲線包圍的個(gè)數(shù)，則內(nèi)沒有包含F(xiàn)(s)的零點(diǎn)。由幅角定理推導(dǎo)出的重要結(jié)論：（1）幅角定理 判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定要看閉環(huán)特征方程的特征根在s平面上的分布情況，所以初步選擇 為研究對(duì)象。 F(s)的極點(diǎn)=開環(huán)傳函的極點(diǎn)；F(s)的零點(diǎn)=閉環(huán)傳函的極點(diǎn)特點(diǎn)： s沿閉合曲線運(yùn)動(dòng)一周產(chǎn)生2條曲線，F(xiàn) 和GH，兩個(gè)曲線相差1。將GH 曲線沿正實(shí)軸方向移一個(gè)單位，可得F。 F包圍F(s)平面坐標(biāo)原點(diǎn)的圈數(shù)=GH包圍(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)。（2）復(fù)變函數(shù)F(s)的選擇如何應(yīng)用幅角定理？由F(s)的特點(diǎn)可以看出F(s)取上述特定形式具有兩個(gè)優(yōu)點(diǎn)

4、，其一是建立了系統(tǒng)的開環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)極點(diǎn)與F(s)的零極點(diǎn)之間的直接聯(lián)系；其二是建立了閉合曲線F 和閉合曲線GH之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。在已知開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)的條件下，上述優(yōu)點(diǎn)為幅角原理的應(yīng)用創(chuàng)造了條件。系統(tǒng)穩(wěn)定s平面的右半平面沒有(s)的極點(diǎn) s平面的右半平面沒有F(s)的零點(diǎn) 選擇曲線順時(shí)針包圍s的右半平面，由幅角定理推導(dǎo)出的結(jié)論，知：若R=P，即F平面曲線繞原點(diǎn)的逆時(shí)針圈數(shù)等于F(s)的在右半平面的極點(diǎn)數(shù)，則s右半平面內(nèi)沒有包含F(xiàn)(s)的零點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。 對(duì)于開環(huán)傳函G(s)H(s)，選擇合適的封閉曲線順時(shí)針包圍s的右半平面，如果GH在F(s)平面逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)R等于

5、G(s)H(s)的在s平面右半平面極點(diǎn)數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(-1，j0)點(diǎn)很重要！稱為臨界（穩(wěn)定）點(diǎn)。如何理解？ 由于不能通過F(s)=1+G(s)H(s)的極點(diǎn)，分兩種情況討論。（3）S平面內(nèi)閉合曲線的選擇 具體是如何選擇的呢？ G(s)H(s)無虛軸上的極點(diǎn) S平面上的由兩部分組成，C1：半徑為的右半圓s=Rej(R，-900+900) ；C2：s平面的整個(gè)虛軸s=j(-m，對(duì)應(yīng)原點(diǎn)；n=m，對(duì)應(yīng)開環(huán)根軌跡增益K*C3C2C1R=s 當(dāng)s沿C2移動(dòng)時(shí)（正虛軸） FGH即Nyquist圖 當(dāng)s沿C3移動(dòng)時(shí)（負(fù)虛軸）與Nyquist圖關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱C3R=分為四段：C1：大半圓C2：C3：C4

6、：小半圓 G(s)H(s)有虛軸上的積分環(huán)節(jié)顯然，當(dāng)s沿=C1 +C2 +C3 移動(dòng)時(shí)， FGH同前C2C1C4C3s=ej(0+, -900+900)當(dāng)s=C4 移動(dòng)時(shí)， FGH如何繪制？G1不包含積分環(huán)節(jié)R=C2C1C4C3 當(dāng)s沿C4移動(dòng)時(shí)積分環(huán)節(jié)：0-0+時(shí)GH的繪制：從G(j0+)H(j0+)起，逆時(shí)針作半徑無窮大、圓心角為v*1800的圓弧到G(j0-)H(j0-)；當(dāng)sC4，：0-0+，相角減小v*1800，即順時(shí)針轉(zhuǎn)過v*1800。 若對(duì)應(yīng)曲線為從G1(j0)起，半徑為，圓心角為v*(-)或從G(j0+)H(j0+)起，逆時(shí)針作半徑無窮大、圓心角為v*900的圓弧例16-2 概

7、略繪制下列傳函積分環(huán)節(jié)的奈氏曲線GH G(s)H(s)有虛軸上的振蕩環(huán)節(jié) 當(dāng)s沿C1順時(shí)針移動(dòng)時(shí)nm，對(duì)應(yīng)原點(diǎn)；n=m，對(duì)應(yīng)開環(huán)根軌跡增益K*C2C1R=C4C5=C1+C2+C3+C4+C5C3當(dāng)s沿C2順時(shí)針移動(dòng)時(shí)，C4除外。 FGH即Nyquist圖C2C1R=C4C5 當(dāng)s沿C4順時(shí)針移動(dòng)時(shí)，(0+, -900+900)振蕩環(huán)節(jié)GH繪制：從G(jn-)H(jn-)起，以半徑無窮大、順時(shí)針作圓心角為v*1800的圓弧至G(jn+)H(jn+) 由前面的分析可知：是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的，由于GH為實(shí)系數(shù)有理分式，故閉合曲線GH也是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的。因此，只需繪制GH 在Ims0，s對(duì)應(yīng)的曲線段，得

8、GH的半閉合曲線，稱為奈奎斯特曲線，仍記為GH。如圖5-31（5）GH包圍(-1,j0)圈數(shù)的計(jì)算 通常繪制的GH 是半閉合曲線，在此情況下如何計(jì)算包圍(-1，j0)的圈數(shù)？ 因此時(shí)GH 只是閉合曲線映射的一半，所以其包圍(-1,j0)圈數(shù)只是全映射的一半，即N=R/2，其中，N為半閉合曲線GH逆時(shí)針包圍（-1，j0）的圈數(shù)。表示從上向下正穿越的次數(shù)和表示從下向上負(fù)穿越的次數(shù)和 當(dāng)s沿封閉曲線順時(shí)針包圍s的右半平面，如果的映射GH在F(s)平面逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)R等于G(s)H(s)的在s平面右半平面極點(diǎn)數(shù)P，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 當(dāng)系統(tǒng)不穩(wěn)定時(shí)，右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)為Z=P-R。

9、2、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù) 做常規(guī)開環(huán)傳函極坐標(biāo)圖 (0+)； 從G(j0+)H(j0+)開始，逆時(shí)針補(bǔ)畫一條半徑為，圓心角為 或 的圓?。?計(jì)算R(按照正負(fù)穿越情況計(jì)算)； 從G(s)H(s)中找出不穩(wěn)定極點(diǎn)數(shù)P； 按照奈氏判據(jù)Z=P-R=P-2N，判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（1）奈氏判據(jù)判穩(wěn)實(shí)用步驟例16-2： 已知開環(huán)傳遞函數(shù)，利用奈奎斯特判據(jù)判穩(wěn)。系統(tǒng)穩(wěn)定頻率特性無積分環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)，GH就是幅相曲線P=0例16-3： 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 例16-4： 已知系統(tǒng)Nyquist圖，P=0，判穩(wěn)定性穩(wěn)定例16-5（書5-8）： K=10，P=0，v=1，判穩(wěn)定性并確定系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)K值得變化范圍。 系統(tǒng)傳遞

10、函數(shù)形如 K在什么范圍變化，系統(tǒng)還能穩(wěn)定？ v=1，GH曲線：幅相曲線+:00+線段 N+=1，N-=1N=0；P=0系統(tǒng)穩(wěn)定思考：K變化時(shí)，Nyquist圖怎么變？ K=10，GH與實(shí)軸有三個(gè)交點(diǎn) 臨界穩(wěn)定點(diǎn)（-1，j0）穿越頻率 回憶：到目前學(xué)了幾種頻率？計(jì)算分別取三個(gè)穿越頻率時(shí)，幅相曲線過臨界點(diǎn)時(shí)的K值 分別取臨界穩(wěn)定P=0，R=0，Z=0系統(tǒng)穩(wěn)定P=0，R=-2，Z=2系統(tǒng)不穩(wěn)定臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定P=0，R=0，Z=0系統(tǒng)穩(wěn)定臨界穩(wěn)定P=0，R=-2，Z=2系統(tǒng)不穩(wěn)定3、對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖上的Nyquist穩(wěn)定性判據(jù) 在Bode圖上使用Nyquist判據(jù)，實(shí)質(zhì)是把GH/2移植到Bode圖上，記為

11、BGH，Bode圖與幅相曲線之間對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 在GH平面上, |GH(j)|=1的單位圓，對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)幅頻特性的0分貝線；單位圓外部如 (-，-1)區(qū)段，對(duì)應(yīng)L()0dB，單位圓內(nèi)部對(duì)應(yīng)L () 1時(shí)，穿越負(fù)實(shí)軸的點(diǎn)等于GH 在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，對(duì)數(shù)幅頻特性L()0時(shí)對(duì)數(shù)相頻特性曲線與(2k+1)；k=0，1，.，平行線的交點(diǎn)。有幾種頻率?穿越： 在L()0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線穿過-180； 在L()00-1800 -3600 N-N+第三象限第二象限0-p N-N+-1（4）表現(xiàn)形式的對(duì)比設(shè)P為開環(huán)系統(tǒng)正實(shí)部的極點(diǎn)數(shù)，反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是 和 ， 曲線穿越 線的次數(shù)N=N+ -

12、 N- 滿足：P-2N=0。 （5）對(duì)數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)例16-7 （書例5-10）已知某系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，開環(huán)幅相曲線如圖所示，試將開環(huán)幅相曲線表示為開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線，并運(yùn)用對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。解： A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)幅頻特性20lgA、20lgB、20lgC、20lgD 很顯然，對(duì)應(yīng)對(duì)數(shù)幅頻特性L(c)=0的點(diǎn)位于C和D之間，即20lgC和20lgD之間。 由幅相曲線知道v=0？所以低頻部分對(duì)數(shù)幅頻特性是20lgA 對(duì)數(shù)幅頻特性概略圖 對(duì)數(shù)相頻特性？ 相角表示不唯一性：比如最小相位和非最小相位環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性相同，但相頻特性不同。書中給出2種形式 開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定P=0

13、 ？幅相曲線起始于實(shí)軸A點(diǎn)v=0 ？不需補(bǔ)虛直線。觀察(a)：N+=1 N-=1N=0觀察(b)：N+=1 N-=1N=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定！例16-8 已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)及其開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性曲線，試判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可知，開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即P=0，在L () 0dB的頻率范圍內(nèi)，相頻特性曲線()不穿越-180的相位線，相頻特性曲線經(jīng)處理后，可見 N- =1 ，則有Z =P -2( N+ -N-)=2閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定例16-92022/8/263【本講小結(jié)】閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是特征方程的根位于左半平面，頻率域穩(wěn)定判據(jù)的關(guān)鍵是如何借助幅角定理，判斷右半平面是否有極點(diǎn)，這是本講的關(guān)鍵所在！奈氏判據(jù)的特點(diǎn)是研究閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性時(shí)，不必求閉環(huán)特征根；能夠確定系統(tǒng)的穩(wěn)定程度（相對(duì)穩(wěn)定性）；可用于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。202