電子教案電路分析第8章

1、第8章 本章首先介紹非正弦周期信號(hào)的分解。由傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式可知，非正弦周期函數(shù)可以分解為一系列不同頻率正弦量的疊加，從而可以了解信號(hào)中各頻率分量的比重（頻譜）。利用對(duì)稱(chēng)性可以預(yù)先了解周期信號(hào)中所含有的各頻率成分，并使分解的計(jì)算得以簡(jiǎn)化。討論了非正弦周期函數(shù)有效值、平均功率的定義和計(jì)算，以及非正弦周期線性電路的穩(wěn)態(tài)分析方法，這是正弦穩(wěn)態(tài)電路分析的推廣。最后，介紹了傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式。 非正弦周期電路 8.1 非正弦周期信號(hào)的分解 8.2 非正弦周期信號(hào)的有效值和平均功率 8.3 非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析 8.4 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)(指)數(shù)形式 8.5 應(yīng)用第8章 非正弦周期電路 電子工業(yè)出版

2、社8.1 非正弦周期信號(hào)的分解 (a) 三角波 (b) 方波 (c) 半波正弦圖8-1 幾種典型的非正弦周期信號(hào) 電子工業(yè)出版社8.1.1 傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式 設(shè)f (t)為電壓或電流的非正弦周期函數(shù)，其周期為T(mén)，可用下面的函數(shù)關(guān)系表示 （n為正整數(shù)）由數(shù)學(xué)可知，若f(t)滿(mǎn)足狄里赫利條件，則可展開(kāi)成下列傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式 （8-1a）或 （8-1b） （8-2） 電子工業(yè)出版社將式（8-1a）的兩邊在一個(gè)周期內(nèi)取積分，得 （8-3） 系數(shù)a0為f (t)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值，稱(chēng)為直流分量。 電子工業(yè)出版社將式（8-1a）的兩邊乘以cos(k1t)，然后分別將兩邊在一個(gè)周期內(nèi)積分，有 （8

3、-4）由三角函數(shù)的正交性可知，上式等號(hào)右邊各項(xiàng)積分，除k = n時(shí)的an項(xiàng)不為零外，其他各項(xiàng)均為零。當(dāng)k = n時(shí)有將上式代入式（8-4）得 （8-5）電子工業(yè)出版社類(lèi)似的方法，將式（8-1a）的兩邊同乘以sin(k1t)，在一個(gè)周期內(nèi)取積分，并利用三角函數(shù)正交性可得正弦項(xiàng)系數(shù)的計(jì)算公式： （8-6）求出a0、an和bn后，便可由式（8-2）求得A0、An及 。以上積分區(qū)間也可取-T/2，T/2。 電子工業(yè)出版社例8-1 求圖8-2所示非正弦周期信號(hào)f (t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式。 電子工業(yè)出版社直流分量余弦項(xiàng)系數(shù) 解 ： 由圖可知f (t)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為電子工業(yè)出版社正弦項(xiàng)系數(shù) 并有

4、于是可得展開(kāi)式為電子工業(yè)出版社8.1.2 對(duì)稱(chēng)性的應(yīng)用1偶對(duì)稱(chēng)和奇對(duì)稱(chēng) 具有偶對(duì)稱(chēng)性的函數(shù)滿(mǎn)足 （8-7）注：這種對(duì)稱(chēng)性的函數(shù)在圖形上表現(xiàn)為關(guān)于縱軸鏡像對(duì)稱(chēng)，。 具有奇對(duì)稱(chēng)性的函數(shù)滿(mǎn)足注：其圖形上的特點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。電子工業(yè)出版社 (c) 奇函數(shù)(a) 偶函數(shù) (b) 偶函數(shù)圖8-3 偶函數(shù)與奇函數(shù)波形電子工業(yè)出版社2半波對(duì)稱(chēng)半波對(duì)稱(chēng)的函數(shù)定義為f (t) = - f (t - T/2)，或 f (t) = - f (t + T/2)圖8-4 半波對(duì)稱(chēng)的非奇非偶函數(shù)的波形電子工業(yè)出版社3對(duì)稱(chēng)性與傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用上述對(duì)稱(chēng)性來(lái)考察傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系。（1）若f (t)為偶對(duì)

5、稱(chēng)函數(shù)且滿(mǎn)足半波對(duì)稱(chēng)，或者f (t)為奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)，則由式（8-3）可知，a0=0（一個(gè)周期的平均值為零）； （2）若f (t)為偶對(duì)稱(chēng)函數(shù)，因f (t)sin(n1t)為奇函數(shù)，由式（8-6）可知，bn=0，此時(shí)，f (t)的展開(kāi)式中不含正弦項(xiàng)；（3）若f (t)為奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)，因f (t)cos(n1t)為奇函數(shù)，由式（8-5）可知，an=0，則f (t)的展開(kāi)式中不含余弦項(xiàng);注：任何具有半波對(duì)稱(chēng)的函數(shù)f (t)，其展開(kāi)式中僅含奇次諧波。電子工業(yè)出版社8.1.3 頻譜圖 1.幅度頻譜圖，簡(jiǎn)稱(chēng)幅度譜：各分量的幅度對(duì)頻率的關(guān)系圖 。2.相位頻譜，簡(jiǎn)稱(chēng)相位譜：各分量的相位對(duì)頻率的關(guān)系圖 。電子工業(yè)出

6、版社例8-2 作出圖8-2所示波形的幅度頻譜圖。解 由例8-1的結(jié)果可作出幅度譜如圖8-5所示。從圖中可清晰地看出各次諧波分量的幅度所占比例的大小。電子工業(yè)出版社8.2 非正弦周期信號(hào)的有效值和平均功率 8.2.1 有效值為了度量周期函數(shù)的大小，第6章曾從熱效應(yīng)的角度引出了周期函數(shù)有效值的定義 （8-8）電子工業(yè)出版社設(shè)非正弦周期電流i(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為由式（8-8）可得i(t)的有效值為電子工業(yè)出版社根號(hào)下積分運(yùn)算包括電子工業(yè)出版社利用了三角函數(shù)的正交性質(zhì)。最后得到非正弦周期電流的有效值為：上式表明了非正弦周期電流的有效值與各次諧波有效值的關(guān)系。同理可知，非正弦周期電壓的有效值為電子

7、工業(yè)出版社8.2.2 平均功率 設(shè)無(wú)源電路P端口的電壓和電流參考方向相關(guān)聯(lián)，如圖8-6所示。其電壓、電流分別為：圖8-6 無(wú)源電路電子工業(yè)出版社非正弦周期電路瞬時(shí)功率為 （8-9）平均功率定義為電子工業(yè)出版社并利用三角函數(shù)正交性，可得平均功率為 （8-10）式中， 為第n次諧波的電壓與電流之間的相位差。非正弦周期電路的平均功率為直流分量的功率與各次諧波平均功率的代數(shù)和。電子工業(yè)出版社8.3 非正弦周期電路的穩(wěn)態(tài)分析 非正弦周期電路穩(wěn)態(tài)分析的方法：諧波分析法計(jì)算步驟： 1.對(duì)非正弦周期信號(hào)的分解，把它展開(kāi)成各次諧波分量的相加 （實(shí)際計(jì)算取有限項(xiàng)分量，所取的項(xiàng)數(shù)與精度的要求有關(guān)）， 2.然后應(yīng)用相

8、量法分別計(jì)算各次諧波分量單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)解，再將這 些穩(wěn)態(tài)解的瞬時(shí)值（不能相量相加）疊加得最終解。注意：在直流激勵(lì)下電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開(kāi)路。 電子工業(yè)出版社例8-5 圖8-8(a)所示電路中，已知R1 = 5 ，R2= 10 ，XL(1) =L= 2 ，XC(1) = -1/(C)= -15 。試求電流i1、i2和i，以及R1支路吸收的平均功率P。(a) 非正弦電源電路(b) 直流分量電子工業(yè)出版社 (d) 三次諧波分量(c) 一次諧波分量電子工業(yè)出版社例8-6 圖8-9(a)所示RL串聯(lián)電路中，已知R = 2 ，L = 1 H，輸入電壓源為如圖8-9(b)所示的方波信號(hào)。試求電路中的電流i(t)。 (a) RL電路(b) 方波信號(hào)電子工業(yè)出版社8.4 傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)（指）數(shù)形式 傅里葉級(jí)數(shù)歐拉公式（8-11） 電子工業(yè)出版社有奇偶性知當(dāng)n用 -n替換后有令復(fù)常數(shù)為 （8-12）則有 性質(zhì) 電子工業(yè)出版社再令 于是，式（8-11）可表示為 電子工業(yè)出版社即為傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式，或稱(chēng)指數(shù)形式（8-13）電子工業(yè)出版社求復(fù)常數(shù) （8-14） 電子工業(yè)出版社f (t)為偶對(duì)稱(chēng)函數(shù)f (t)為半波對(duì)稱(chēng)的偶函數(shù)，n為偶數(shù)f (t)為奇對(duì)稱(chēng)函數(shù)f (t)為半波對(duì)稱(chēng)的奇函數(shù)，n為偶數(shù)由歐拉公式，并應(yīng)用對(duì)稱(chēng)性，上式