2022年高考理科《數(shù)學(xué)》人教A版總復(fù)習(xí)練習(xí)題-考點(diǎn)規(guī)范練64　離散型隨機(jī)變量的均值與方差

1、考點(diǎn)規(guī)范練64離散型隨機(jī)變量的均值與方差考點(diǎn)規(guī)范練B冊第48頁基礎(chǔ)鞏固1.已知X的分布列如下表,設(shè)Y=2X+3,則E(Y)的值為()X-101P121316A.73B.4C.-1D.1答案:A解析:E(X)=-12+16=-13,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=-23+3=73.2.某日A,B兩個沿海城市受臺風(fēng)襲擊的概率相同,已知A市或B市至少有一個受臺風(fēng)襲擊的概率為0.36,若用X表示這一天受臺風(fēng)襲擊的城市個數(shù),則E(X)=()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4答案:D解析:設(shè)A,B兩城市受臺風(fēng)襲擊的概率均為p,則A市或B市都不受臺風(fēng)襲擊的概率為(1-p)2=1-0.36,解

2、得p=0.2或p=1.8(舍去),P(X=0)=1-0.36=0.64,P(X=1)=20.80.2=0.32,P(X=2)=0.20.2=0.04,故E(X)=00.64+10.32+20.04=0.4,故選D.3.已知隨機(jī)變量滿足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2,若0p1p212,則()A.E(1)E(2),D(1)D(2)B.E(1)D(2)C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2)答案:A解析:E(1)=p1,E(2)=p2,E(1)E(2).D(1)=p1(1-p1),D(2)=p2(1-p2),D(1)-D(2)=(p1-p2)(1-p1-p2)

3、0,故選A.4.已知隨機(jī)變量的分布列為123P0.5xy若E()=158,則D()等于()A.3364B.5564C.732D.932答案:B解析:由分布列的性質(zhì)得x+y=0.5,又E()=158,所以2x+3y=118,解得x=18,y=38.故D()=1-158212+2-158218+3-158238=5564.5.某地區(qū)一?？荚嚁?shù)學(xué)成績X服從正態(tài)分布N(90,2),且P(X70)=0.2,從該地區(qū)參加一?？荚嚨膶W(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績,數(shù)學(xué)成績在70,110的人數(shù)記作隨機(jī)變量,則的方差為()A.2B.2.1C.2.4D.3答案:C解析:由正態(tài)分布知,每名學(xué)生數(shù)學(xué)成績在70,1

4、10的概率為2(0.5-0.2)=0.6,所以10名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績在70,110的人數(shù)服從二項分布B(10,0.6),所以隨機(jī)變量的方差為100.60.4=2.4.6.某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1 000粒,對于沒有發(fā)芽的種子,每粒需再補(bǔ)種2粒,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的均值為.答案:200解析:記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y,則YB(1 000,0.1),E(Y)=1 0000.1=100.又X=2Y,E(X)=E(2Y)=2E(Y)=200.7.有一批產(chǎn)品,其中有12件正品和4件次品,有放回地任取3件,若X表示取到次品的件數(shù),則D(X)=.答案:916解析:由題意可知取到次品的概率為

5、14,則XB3,14,故D(X)=3141-14=916.8.生產(chǎn)A,B兩種元件,其質(zhì)量按測試指標(biāo)分?jǐn)?shù)進(jìn)行劃分,其中分?jǐn)?shù)指標(biāo)大于或等于82為正品,小于82為次品.現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩種元件各100件進(jìn)行檢測,檢測結(jié)果統(tǒng)計如下:測試指標(biāo)分?jǐn)?shù)70,76)76,82)82,88)88,94)94,100元件A81240328元件B71840296(1)試分別估計元件A、元件B為正品的概率;(2)生產(chǎn)1件元件A,若是正品,則可盈利40元;若是次品,則虧損5元;生產(chǎn)1件元件B,若是正品,則可盈利50元;若是次品,則虧損10元.在(1)的前提下.記X為生產(chǎn)1件元件A和1件元件B所得的總利潤,求隨機(jī)變量X的分布列

6、和均值;求生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于140元的概率.解:(1)元件A為正品的概率約為40+32+8100=45.元件B為正品的概率約為40+29+6100=34.(2)生產(chǎn)1件元件A和1件元件B可以分為以下四種情況:A正B正,A次B正,A正B次,A次B次.隨機(jī)變量X的所有取值為90,45,30,-15.P(X=90)=4534=35,P(X=45)=1-4534=320,P(X=30)=451-34=15,P(X=-15)=1-451-34=120.隨機(jī)變量X的分布列為X904530-15P3532015120E(X)=9035+45320+3015+(-15)120=66.設(shè)生產(chǎn)的5件

7、元件B中正品有n件,則次品有(5-n)件.依題意得 50n-10(5-n)140,解得n196,故 n=4或n=5.設(shè)“生產(chǎn)5件元件B所獲得的利潤不少于140元”為事件M,則P(M)=C5434414+345=81128.9.有甲、乙兩個建材廠都想投標(biāo)參加某重點(diǎn)建設(shè),為了對重點(diǎn)建設(shè)負(fù)責(zé),政府到兩建材廠抽樣檢查,他們從中各抽取等量的樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度指標(biāo),其分布列如下:X8910P0.20.60.2Y8910P0.40.20.4其中X和Y分別表示甲、乙兩廠材料的抗拉強(qiáng)度,在使用時要求選擇較高抗拉強(qiáng)度指數(shù)的材料,越穩(wěn)定越好.試從均值與方差的指標(biāo)分析該用哪個廠的材料.解:E(X)=80.2+90

8、.6+100.2=9,D(X)=(8-9)20.2+(9-9)20.6+(10-9)20.2=0.4;E(Y)=80.4+90.2+100.4=9,D(Y)=(8-9)20.4+(9-9)20.2+(10-9)20.4=0.8.由此可知,E(X)=E(Y)=9,D(X)D(Y),從而兩廠材料的抗拉強(qiáng)度指數(shù)平均水平相同,但甲廠材料相對穩(wěn)定,應(yīng)選甲廠的材料.10.某市推行智能共享單車項目,兩種車型(“小綠車”“小黃車”)采用分時段計費(fèi)的方式,“小綠車”每30分鐘收費(fèi)0.5元(不足30分鐘的部分按30分鐘計算);“小黃車”每30分鐘收費(fèi)1元(不足30分鐘的部分按30分鐘計算).甲、乙、丙三人相互獨(dú)立

9、地到租車點(diǎn)租車騎行(各租一車一次).設(shè)甲、乙、丙不超過30分鐘還車的概率分別為34,23,12,三人的租車時間都不會超過60分鐘.甲、乙均租用“小綠車”,丙租用“小黃車”.(1)求甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用的概率;(2)設(shè)甲、乙、丙三人所付的費(fèi)用之和為隨機(jī)變量,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解:(1)由題意,得甲、乙、丙在30分鐘以上且不超過60分鐘還車的概率分別為14,13,12.記甲、乙兩人所付的費(fèi)用之和等于丙所付的費(fèi)用為事件A.則P(A)=342312+141312=724.(2)的可能取值有2,2.5,3,3.5,4,則P(=2)=342312=14,P(=2.5)=341312

10、+142312=524,P(=3)=342312+141312=724,P(=3.5)=341312+142312=524,P(=4)=141312=124.故甲、乙、丙三人所付的租車費(fèi)用之和的分布列為22.533.54P14524724524124E()=214+2.5524+3724+3.5524+4124=6724.能力提升11.為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機(jī)分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“ ”表示服藥者,“+”表示未服藥者.(1)從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概

11、率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機(jī)選出兩人,記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望E();(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)解:(1)由圖知,在服藥的50名患者中,指標(biāo)y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機(jī)選出一人,此人指標(biāo)y的值小于60的概率為1550=0.3.(2)由圖知,A,B,C,D四人中,指標(biāo)x的值大于1.7的有2人:A和C.所以的所有可能取值為0,1,2.P(=0)=C22C42=16,P(=1)=C21C21C42=23,P(=2)=C22C42=16.所以的分布列為

12、012P162316故的期望E()=016+123+216=1.(3)在這100名患者中,服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差大于未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差.高考預(yù)測12.為了解某校高三畢業(yè)班報考體育專業(yè)學(xué)生的體重(單位:kg)情況,將他們的體重數(shù)據(jù)整理后得到如右頻率分布直方圖.已知圖中從左至右前3個小組的頻率之比為 123,其中第2小組的頻數(shù)為12.(1)求該校報考體育專業(yè)學(xué)生的總?cè)藬?shù)n;(2)已知A,B,C,a是該校報考體育專業(yè)的4名學(xué)生,A,B,C的體重小于55 kg,a的體重不小于70 kg,且A,B各有5分體育加分,C,a各有10分體育加分,其他學(xué)生無體育加分.從體重小于55 kg的學(xué)生中抽取2人,

13、從體重不小于70 kg的學(xué)生中抽取1人,組成3人訓(xùn)練組,訓(xùn)練組中3人的體育總加分記為,求的分布列和均值.解:(1)設(shè)該校報考體育專業(yè)學(xué)生的總?cè)藬?shù)為n,前3個小組的頻率分別為p1,p2,p3,則由題意知,p2=2p1,p3=3p1,p1+p2+p3+(0.037 5+0.012 5)5=1,解得p1=0.125,p2=0.25,p3=0.375,又因為p2=0.25=12n,所以n=48.(2)由題意可知,在報考體育專業(yè)的學(xué)生中,體重小于55 kg的人數(shù)為480.125=6,記他們分別為A,B,C,D,E,F,體重不小于70 kg的人數(shù)為480.012 55=3,分別記為a,b,c;則=0,5,10,15,20,25,P(=0)=C32C62C21C31=215,P(=5)=C21C31C62C21C31=415,P(=10)=C22+C11C31C62C21C