導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例

1、§26 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用舉例我們知道，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般意義，就是表示函數(shù)對(duì)自變量的變化率，因此，很多非均勻變化的變化率問(wèn)題都可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究。在具有不同的實(shí)際意義時(shí)，作為變化率的導(dǎo)數(shù)就具有不同的實(shí)際意義。一、 導(dǎo)數(shù)在物理上的應(yīng)用舉例（一） 導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義設(shè)物體作變速運(yùn)動(dòng)的方程為，則物體運(yùn)動(dòng)的速度是位移對(duì)時(shí)間的變化率，即位移對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)；此時(shí)，若速度仍是時(shí)間的函數(shù)，我們可以求速度對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，用表示，就是在力學(xué)中，稱為物體的加速度，也就是說(shuō)，物體運(yùn)動(dòng)的加速度是位移對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。例1 某物體的運(yùn)動(dòng)方程為，求秒時(shí)的速度和加速度。解： 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義，得（二） 導(dǎo)數(shù)的電學(xué)意義 設(shè)通過(guò)某

2、導(dǎo)體截面的電量是，則通過(guò)該導(dǎo)體的電流是電量對(duì)時(shí)間的變化率（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的電量），即電量的一階導(dǎo)數(shù)例2 設(shè)通過(guò)某導(dǎo)體截面的電量 （庫(kù)侖），其中為常數(shù)，時(shí)間的單位為秒，求通過(guò)該截面的電流解： 因?yàn)?，所?（安培）。二、 導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)工作中的應(yīng)用舉例（一） 邊際的概念 經(jīng)濟(jì)學(xué)上把“某某”經(jīng)濟(jì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，稱為函數(shù)在處的“邊際某某”，即稱為函數(shù)的邊際函數(shù)，稱為函數(shù)在點(diǎn)處的邊際函數(shù)值。它反映了函數(shù)在點(diǎn)處的變化速度。 一般地，“某某”經(jīng)濟(jì)函數(shù)，則“邊際某某”就記作 它表示經(jīng)濟(jì)函數(shù)在點(diǎn)處，當(dāng)經(jīng)濟(jì)量改變一個(gè)單位時(shí)，近似地改變個(gè)單位。 設(shè)成本C是產(chǎn)量的函數(shù)，則邊際成本 設(shè)產(chǎn)量P是某種投入資源的函數(shù)，則邊際產(chǎn)量 設(shè)

3、總收入R是產(chǎn)量的函數(shù)，則邊際收入 設(shè)總利潤(rùn)L是產(chǎn)量的函數(shù)，則邊際利潤(rùn)例3 某種產(chǎn)品的總成本C（萬(wàn)元）是產(chǎn)量（萬(wàn)件）的函數(shù)（稱為總成本函數(shù)） （萬(wàn)元），試問(wèn)當(dāng)生產(chǎn)水平為（萬(wàn)件）時(shí)，從降低單位成本角度看，繼續(xù)提高產(chǎn)量是否得當(dāng)？解：當(dāng)生產(chǎn)水平為（萬(wàn)件）時(shí)，總成本（萬(wàn)元），這時(shí)每個(gè)單位產(chǎn)品的平均成本為，而 ，所以生產(chǎn)水平（萬(wàn)件）時(shí)的邊際成本為 由于邊際成本是生產(chǎn)水平為（萬(wàn)件）時(shí)成本的瞬時(shí)變化率，可以近似地看作在這個(gè)水平上再增加一個(gè)單位產(chǎn)品，總成本增加的數(shù)量，它低于平均成本14，所以從降低單位成本的角度看，還應(yīng)該繼續(xù)提高產(chǎn)量。例4 某公司總利潤(rùn)L（元）與每天產(chǎn)量（噸）的關(guān)系為試確定每天生產(chǎn)20噸、25噸

4、和35噸時(shí)的邊際利潤(rùn)，并予以經(jīng)濟(jì)解釋。解： 因?yàn)?上述結(jié)果表明，當(dāng)日產(chǎn)量為20噸時(shí)，再多生產(chǎn)1噸，總利潤(rùn)約增加50元；當(dāng)日產(chǎn)量為25噸時(shí)，再多生產(chǎn)產(chǎn)品，則利潤(rùn)不再增加，且開(kāi)始減少；當(dāng)日產(chǎn)量為35噸時(shí)，再多生產(chǎn)1噸，則利潤(rùn)約減少100元。（二） 彈性的概念 例如，甲商品每單位價(jià)格5元，漲價(jià)1元；乙商品每單位價(jià)格200元，也漲價(jià)1元，兩種商品價(jià)格的絕對(duì)改變量都是1元，哪個(gè)商品的漲價(jià)幅度更大呢？我們只要用它們與其原價(jià)相比就能獲得問(wèn)題的解答。甲商品漲價(jià)百分比為20%，乙商品漲價(jià)百分比為0.5%,顯然甲商品的漲價(jià)幅度比乙商品的漲價(jià)幅度更大.為此,我們有必要研究函數(shù)的相對(duì)改變量與相對(duì)變化率.例5 設(shè)函數(shù),

5、當(dāng)從8增加到10時(shí),相應(yīng)的從64增加到100,即自變量的絕對(duì)改變量函數(shù)絕對(duì)改變量又即當(dāng)增加到時(shí),增加了25%,相應(yīng)增加了56.25%,我們分別稱為自變量與函數(shù)的相對(duì)改變量.如果在本例中,再引入下式則該式表示在(8,10)內(nèi),從到時(shí),函數(shù)的平均相對(duì)變化率.因此我們有如下定義:定義 設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量的相對(duì)改變量之比稱為從到兩點(diǎn)間的彈性.當(dāng)時(shí),的極限稱為在處的彈性,記作由于也為的函數(shù),故也稱它為的彈性函數(shù).反映了隨著的變化,函數(shù)變化幅度的大小,也就是函數(shù)對(duì)自變量的變化反映的靈敏度,即表示在點(diǎn)處,當(dāng)產(chǎn)生1%的改變時(shí),函數(shù)近似地改變.例6 求冪函數(shù)(為常數(shù))的彈性函數(shù).解: 可見(jiàn)

6、,冪函數(shù)的彈性恒為常數(shù),等于冪指數(shù),即在任意點(diǎn)處的彈性不變. 設(shè)某產(chǎn)品的需求量為價(jià)格P的函數(shù),通常當(dāng)產(chǎn)品的價(jià)格上漲時(shí),需求量就會(huì)減少,而當(dāng)產(chǎn)品的價(jià)格下降時(shí),需求量就會(huì)增加.根據(jù)函數(shù)彈性的定義可得,需求量Q對(duì)價(jià)格P的彈性需求量Q對(duì)價(jià)格P的彈性的經(jīng)濟(jì)意義是:當(dāng)價(jià)格為P時(shí),若價(jià)格上漲(或下降)1%,需求量Q將減少(或增加).例7 設(shè)某商品的需求函數(shù)為Q=60-3P,求P=10,P=15時(shí),需求量Q對(duì)價(jià)格P的彈性,并解釋其含義.解: 因?yàn)?所以 當(dāng)P=10時(shí), 當(dāng)P=15時(shí), 這表明,當(dāng)價(jià)格P=10時(shí),若漲價(jià)(或降價(jià))1%,則需求量將減少(或增加)1%;當(dāng)價(jià)格P=15時(shí),若漲價(jià)(或降價(jià))1%,則需求量

7、將減少(或增加)3%. 練習(xí)261. 下列說(shuō)法是否正確?(1) 一汽車在剎車后秒所行的距離(米),則剎車開(kāi)始時(shí)的速度為,當(dāng)秒時(shí)的加速度為.(2) 生產(chǎn)某種產(chǎn)品個(gè)單位成本函數(shù)為則生產(chǎn)90個(gè)單位產(chǎn)品時(shí),再多生產(chǎn)一個(gè)單位產(chǎn)品,成本將增加9個(gè)單位.(3) 設(shè)某種商品的總收益R是商品價(jià)格P和銷售量Q乘積,如果銷售量Q是價(jià)格P的函數(shù),則當(dāng)價(jià)格P=6元時(shí),價(jià)格每上漲1%,總收益將隨之增加0.67%.2. 已知一物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為(米),求秒時(shí)速度和加速度.3. 某企業(yè)利潤(rùn)函數(shù)(單位:千元),為日產(chǎn)量(單位:噸),求每日生產(chǎn)20噸25噸、35噸時(shí)的邊際利潤(rùn).4. 某種產(chǎn)品的銷售量Q與價(jià)格P之間的關(guān)系為,求銷售價(jià)格P=時(shí)的彈性系數(shù). 習(xí)題261. 設(shè)質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),其運(yùn)動(dòng)規(guī)律給定如下,求質(zhì)點(diǎn)在指定時(shí)刻的速度與加速度:(1) (2) (A為常數(shù)), .2. 設(shè)通過(guò)某導(dǎo)體截面的電量為(庫(kù)侖),其中為常數(shù),時(shí)間的單位為秒,求通過(guò)該截面的電流.3. 某產(chǎn)品生產(chǎn)個(gè)單位的總成本C為的函數(shù)(元).求生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時(shí)的邊際成本,并說(shuō)明其經(jīng)濟(jì)意義.4. 某企業(yè)產(chǎn)品的成本函數(shù)和收入函數(shù)分別為其中為產(chǎn)品的產(chǎn)量,求邊際成