61定積分應(yīng)用課件

1、1第六章 定積分的應(yīng)用第一節(jié) 定積分的微元法第二節(jié) 定積分在幾何學(xué)上的運(yùn)用第三節(jié)定積分在物理中的應(yīng)用 第1頁，共38頁。21、回顧：曲邊梯形的面積分割：將小曲邊梯形的近似面積求和：曲邊梯形面積分為n個(gè)小區(qū)間一、微元法第2頁，共38頁。3（4）積分（3）找面積微元（2）任取一個(gè)代表區(qū)間把四步簡化2、問題的關(guān)鍵：積分區(qū)間（1）確定變量x及積分區(qū)間a , b積分表達(dá)式第3頁，共38頁。表示為一、什么問題可以用定積分解決 ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的2) U 對區(qū)間 a , b 具有可加性 ,即可通過“大化小, 常代變, 近似和, 取極限”一個(gè)整體量 ;4第4

2、頁，共38頁。二 、如何應(yīng)用定積分解決問題 ?第一步 利用“化整為零 , 以常代變” 求出局部量的微分表達(dá)式第二步 利用“ 積零為整 , 無限累加 ” 求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法稱為元素法 (或微元分析法 )近似值精確值5第5頁，共38頁。6一、平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)下的面積第二節(jié) 定積分在幾何上的應(yīng)用第6頁，共38頁。7例1求與所圍圖形的面積。解第7頁，共38頁。8解例2第8頁，共38頁。9的一拱與軸所圍圖形的面積。解 例3 求擺線P.276 例3第9頁，共38頁。極坐標(biāo)：xy0P(x,y)r直角坐標(biāo)系下：點(diǎn)(x,y)極坐標(biāo)系下：點(diǎn)(r,)0rrP(r,)第10頁，共38頁。11

3、2、極坐標(biāo)系下的面積例4 求雙紐線所圍圖形的面積。解:極坐標(biāo)方程為第11頁，共38頁。例5 阿基米德螺絲12第12頁，共38頁。 二、體積1、旋轉(zhuǎn)體的體積ab0yxxx+dxy=f(x)dxf(x)dVxx+dx(1) 函數(shù) y = f (x)在區(qū)間 a,b 上繞 x 軸旋轉(zhuǎn)得圖形：體積微元：dV= f 2(x)dx13第13頁，共38頁。同理，(2) 函數(shù) x=g( y )在區(qū)間 c, d 上繞 y 軸旋轉(zhuǎn)得圖形：Cd0 xyyy+dyx=g(y)體積微元：dV= g2(y)dy14第14頁，共38頁。例6. 計(jì)算由橢圓所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解：利用直角坐標(biāo)方程則(

4、利用對稱性)15第15頁，共38頁。例7. 計(jì)算擺線的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解: 繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對稱性 16第16頁，共38頁。繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為注意上下限 !17第17頁，共38頁。182、平行截面為已知的立體的體積設(shè)有一立體，其垂直于軸的截面面積為的已知函數(shù)與分別對應(yīng)立體兩端的體積。（切片法）的截面，求立體第18頁，共38頁。19設(shè)有一半徑為的圓柱體，用一與底面交角為。的平面去截割，如果平面通過底面的直徑,解:在上任取一點(diǎn)過該點(diǎn)作垂直于得截面面積軸的平面，例8求:截下部分的立體的體積第19頁，共38頁。三、平面曲線的

5、弧長定義: 若在弧 AB 上任意作內(nèi)接折線 ,當(dāng)折線段的最大邊長 0 時(shí),折線的長度趨向于一個(gè)確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 ,即并稱此曲線弧為可求長的.定理: 任意光滑曲線弧都是可求長的.則稱20第20頁，共38頁。(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長元素(弧微分) :因此所求弧長21第21頁，共38頁。若光滑曲線由且(x),(x) 可導(dǎo)，且導(dǎo)函數(shù)不同時(shí)為零，則若光滑曲線由22第22頁，共38頁。例10. 求連續(xù)曲線解:的弧長.23第23頁，共38頁。例11. 計(jì)算擺線一拱的弧長 .解:24第24頁，共38頁。例12. 求阿基米德螺線相應(yīng)于 02一段的弧長 . 解:25第25頁

6、，共38頁。作業(yè)： 2 (1) , (3) ; 3; 6，10， 15 (1), (4) ; 22; 25;26第26頁，共38頁。27（1）電埸力作功解：微元功例6第三節(jié) 定積分在物理中的應(yīng)用 1. 變力沿直線所作的功第27頁，共38頁。28（2）從容器中抽出液體所作的功例7 一個(gè)半球形容器，其半徑為10米, 容器中盛滿了液體，現(xiàn)將容器中液體全部從容器口抽出，需作功多少？分析 當(dāng)位移恒定時(shí)，克服重力作功為 功W=重力G位移 H, 解 P.289 例3 第28頁，共38頁。（3）氣體壓力所做的功例8 在底面積為S的圓柱體容器中有一定的氣體，在恒溫下，由于氣體膨脹把容器內(nèi)的一個(gè)活塞從a點(diǎn)推到b點(diǎn)

7、，計(jì)算在移動(dòng)過程中，氣體壓力所作的功。解：微元功在氣體恒溫下29第29頁，共38頁。30例7 有一等腰梯形閘門，下底長高為該閘門所在的面與水面垂直，且上底與水面相齊，求該閘門一側(cè)所受到的水的壓力。分析 若壓強(qiáng)是均勻的，壓力F=壓強(qiáng)P 受力面積S解 AB的直線方程為其上底長一、液體壓力例7 有一等腰梯形閘門，2. 壓力P.290 例4第30頁，共38頁。3. 引力兩個(gè)質(zhì)量分別為m1,m2相距為r的質(zhì)點(diǎn)的引力的大小為求一根細(xì)棒對一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力。由于細(xì)棒上各 點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，故各點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)的引力也是變化的。設(shè)均勻細(xì)棒長為 l , 線密度為 質(zhì)點(diǎn)M在中垂線相距a單位處質(zhì)量為m,取坐標(biāo)如圖，在上任取將其看作一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為則M31例第31頁，共38頁。32四 、平均值測量小球的直徑n次,測得的數(shù)值為得到算術(shù)平均值為如何確定連續(xù)函數(shù)在上的平均值:第32頁，共38頁。作業(yè)：P.292 2 , 3 , 7,1233第33頁，共38頁。34 謝 謝!第34頁，共38頁。35繞軸旋轉(zhuǎn)而成的圓柱體的體積。解 分析 兩體積之差例6 求由圓第35頁，共38頁。柱殼法(3) 函數(shù) y=f(x)在區(qū)間 a, b