2021年高考北師版(理科)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第7章第5節(jié)簡(jiǎn)單幾何體的面積與體積

1、第五節(jié)簡(jiǎn)單幾何體的面積與體積考綱 了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的外表積和體積的計(jì)算公式.抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)I知識(shí)植理 ， 1.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖r、3；1.二夕M j；a側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2出S圓錐側(cè)=出S圓臺(tái)側(cè)=7 后 + r2）i2.柱、錐、臺(tái)和球的外表積和體積外表積體積柱體（棱柱和圓柱）S外表積=S側(cè)+ 2S底7= Sh錐體（棱錐和圓錐）S外表積S側(cè)+ S底1 V=XSh 3臺(tái)體（棱臺(tái)和圓臺(tái)）S外表積=S側(cè)+ S上+ S下V=3（S上+S 下+ds上Sr）h球S= 4jR24 3V=#學(xué)情自測(cè) TOC o 1-5 h z 1.（思考辨析）判斷以下結(jié)論的

2、正誤.（正確的打“，錯(cuò)誤的打“x）（1）錐體的體積等于底面面積與高之積.（）球的體積之比等于半徑比的平方.（）（3）臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.（）3球。的半徑為R,其內(nèi)接正萬體的邊長(zhǎng)為a,那么R=+a.（）答案（1）X （2）X ，2.（教材改編）圓錐的外表積等于12冗c由其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，那么底面圓的半徑為（）A. 1 cmB . 2 cm3C. 3 cmD . 2 cmB S表=7f2+m=7f2+2= 3疔2=12兀，.r2=4, .= 2（cm）.（2021全國(guó)卷I）?九章算術(shù)？是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中 有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.

3、問：積及為米幾何？ 其意思為：”在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖7-5-1,米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米 堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？ 1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）圖 7-5-1A. 14 斛B. 22 斛C. 36斛D. 66 斛B 設(shè)米堆的底面半徑為r尺, 那么2r = 8,所以二*所以米堆的體積為V=x3d25= 12x92X5=390（立方尺）.故堆放的米約有噌=22（斛）.應(yīng)選4 312 兀99B.（2021全國(guó)卷H ）體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，那么該球的 外表積為（）.32A. 12 幾B.3九C

4、- 8 兀 D. 4 九A 設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,那么a3=8,所以a = 2.所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2m，所以正方體外接球的半徑為 V3,所以球的外表積為4兀43）2= 12兀.（2021鄭州質(zhì)檢）某幾何體的三視圖如圖7-5-2所示（單位：cm）,那么該幾何體的體積是cm3.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：57962340】圖 7-5-232可由二視圖可知該幾何體是由梭長(zhǎng)為 2 cm的正方體與底面為邊長(zhǎng)為 23 cm的正方形、高為2 cm的四棱錐組成，V=V正方體+ V四棱錐=8 cm3+ cm3=233cm3.明考向題型突破I空間幾何體的外表積例（1）某三棱錐的三視圖如圖7-5-3所示，那么該三棱錐的外表積是A.

5、 2+也 B. 4+V5C. 2 + 2&D. 5（2021全國(guó)卷I ）如圖7-5-4,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.假設(shè)該幾何體的體積是28T那么它的外表積是3圖 7-5-4A. 17 兀 B. 18 兀 C. 20 兀 D. 28 九(1) C (2) D (1)由三視圖作出三棱錐如下圖，在三棱錐 A-BCD 中，AD，平面 BCD. BCD為等腰三角形，E為BC的中點(diǎn)，連接AE, DE , 又 AD=BE=EC=1, DE = 2,所以 bd = cd =，5, ae=a BCD= 2.見B么 SACD = SzABD = 2X 1X 由:, SABC=

6、2X 2X5 = y5故 S 表=S ACD + Sa ABD + Sa BCD+ S ABC = 2+2/5. ， 、一 .一一 1 一(2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的4,得到的幾 4c 14c 287 c 3c何體如圖.設(shè)球的半徑為 R,那么不近3 1*43：解得R7X47TR2 + 7R238 3384=17兀.規(guī)律方法1.(1)多面體與旋轉(zhuǎn)體的外表積等于側(cè)面面積與底面面積之和.(2)簡(jiǎn)單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成局部，并注意重合局部的處理.2 .假設(shè)以三視圖的形式給出，解題的關(guān)鍵是對(duì)給出的三視圖進(jìn)展分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，得到幾何體的直觀

7、圖，然后根據(jù)條件求解.變式訓(xùn)練1 (2021全國(guó)卷田)如圖7-5-5,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1, 粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，那么該多面體的外表積為()A. 18+36mB. 54+18/5C. 90 D. 81B 由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，那么外表積為(3X3+3X6+3X375)X2 = 54+ 18季.應(yīng)選B.I一向2 1空間幾何體的體積例以(1)在梯形 ABCD 中，/ ABC = j, AD/BC, BC = 2AD = 2ABABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為()B.2兀 A.V

8、 3D. 2九(2)(2021天津高考)一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖7-5-6所示(單位：m),那么該四棱錐的體積為 m3.主覘圖 左視圖期福圖圖 7-5-6C (2)2 (1)過點(diǎn)C作CE垂直AD所在直線于點(diǎn)E,梯形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的旋轉(zhuǎn)體是由以線段 AB的長(zhǎng)為底面圓半徑， 線段BC為母線的圓柱挖去以線段 CE的長(zhǎng)為底面圓半徑，ED為高的 圓錐，如下圖.由于 V 圓柱=ttAB2 BC= ttX 12X2=2tt,V圓錐=；ttCE2 DE = t 兀 2X（21）=最 333 斤 5 5r所以該幾何體的體積V=V 圓柱 V圓錐=2九 可二-3.（2

9、）由三視圖知，四棱錐的高為3,底面平行四邊形的一邊長(zhǎng)為2,對(duì)應(yīng)高為1,所以其體積 V=gsh= 31X 2X 1X3 = 2.規(guī)律方法1.假設(shè)所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體，那么可直接利用 公式進(jìn)展求解.假設(shè)所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，那么常用轉(zhuǎn)換法（轉(zhuǎn)換的原那么是使底面面積和高易求卜分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)展求解.假設(shè)以三視圖的形式給出幾何體，那么應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直 觀圖，然后根據(jù)條件求解.變式訓(xùn)練2 （2021陜西質(zhì)檢（二）某幾何體的三視圖如圖7-5-7所示，那么 此幾何體的體積是（）【導(dǎo)學(xué)號(hào):57962341】B. 32 幾D. 40 幾A. 28 幾C. 36

10、幾C 由三視圖得該幾何體為一個(gè)底面半徑為2,高為2的圓柱體和一個(gè)上底1C半徑為2,下底半徑為4,圖為3的圓臺(tái)，那么具體積為2X TtX 22 + -TtX 3（22+342 + 2 X 4） = 36?應(yīng)選 C.|考向31娶可像相豺的切、接問題例 （2021全國(guó)卷田）在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.假設(shè)ABXBC, AB=6, BC=8, AA1 = 3,那么V的最大值是（）A. 4九C. 6九B.D.32 7tB 由ABBC, AB = 6, BC=8,得AC=10,要使球的體積 V最大，那么球與直三棱柱的局部面相切，假設(shè)球與三個(gè)側(cè)面相切，設(shè)底面4ABC的內(nèi)切圓11

11、的半徑為r.那么2X6X8 = 2X（6+8+10）r,那么r = 2.此時(shí)2r = 43,不合題意.因此球與三棱柱的上、下底面相切時(shí)，球的半徑R最大.一 3由 2R=3,即 R：. .一4 c 9故球的取大體積V=a TR3=5兀. 32遷移探究1假設(shè)本例中的條件變?yōu)椤爸比庵?ABC-AiBiCi的6個(gè)頂點(diǎn)都 在球O的球面上，假設(shè) AB=3, AC = 4, ABXAC, AAi=12,求球O的外表 積.解將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體 ABEC-ABEC, 那么球。是長(zhǎng)方體ABEC-ABEC的外接球，體對(duì)角線BC的長(zhǎng)為球。的直徑.因此 2R= 132 + 42+ 12 = 13,故 S 球=4

12、TR2= 1697t.遷移探究2假設(shè)本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上，假設(shè)該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,求該球的體積.解如圖，設(shè)球心為O,半徑為r,那么在 RtAOF 中，(4-r)2+(V2)2=r2,一 9解彳# r=4,4 c 49 3 243 ”那么球O的體積V球=3底=3兀X 4 = 16 .規(guī)律方法1.與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題， 球與多面體的組合，通過多面體的一條 側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)、”接點(diǎn)作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題.2.假設(shè)球面上四點(diǎn)P, A, B, C中PA, PB, PC兩兩垂直或三棱錐

13、的三條 側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問題.變式訓(xùn)練3 （2021全國(guó)卷H）A, B是球。的球面上兩點(diǎn)，/ AOB=90, C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).假設(shè)三棱錐 O-ABC體積的最大值為36,那么球O的外表 積為（）A. 36 兀B. 64 九C. 144 7tD. 256 7t1 2C 如圖，設(shè)球的半徑為 R, ./AOB= 90 , - SaAOB = 2R2cVo-abc = Vc-aob,而 AOB 面積為定值，當(dāng)點(diǎn)C到平面AOB的距離最大時(shí)，VdABC最大，星三述R當(dāng)C為與球的大圓面 AOB垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積一 .11 o _Vo-abc 最大為ax 5R2X R= 36, 3 2；R=6, .球O的外表積為4市2=4兀乂62= 144兀應(yīng)選C.名師微博0思想與方法.轉(zhuǎn)化與化歸思想：計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)展， 即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè) 面展開圖的形狀及平面圖