2021年高考北師版(理科)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：第10章第3節(jié)二項式定理

1、第三節(jié)二項式定理考綱 1.能用計數(shù)原理證明二項式定理.2.會用二項式定理解決與二項 展開式有關(guān)的簡單問題.抓基礎(chǔ)自主學(xué)習(xí)|理教材.雙基自主測評知識植理.二項式定理二項式定理：(a+b)n=Cnan+&anTb+3+ 0一rbr + CV(n N*)；(2)二項式通項：Tr+i=Can rbr,它表示第r+1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)Cn(r=0,1,2,n).二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末等品巨離的兩個二項式系數(shù)相等，即 ck=on-k增減性二項式系數(shù)cnn+1*當(dāng)k 2 (nCN )時，是遞減的二叱 系數(shù)最 大值n當(dāng)n為偶數(shù)時，中間的一項C2取得最大值 nn 1n

2、+1當(dāng)n為奇數(shù)時，中間的兩項 C 2與C 2取最大值nn3.各二項式系數(shù)和(1)(a+b)n展開式的各二項式系數(shù)和：Cn+Cn+C2+-+ Cn=2n.(2)偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即C0+ Cn+ C4+: C1+C3n + C5+-= 2n 2.學(xué)情自測.(思考辨析)判斷以下結(jié)論的正誤.(正確的打“，錯誤的打x)(1)Cnan-kbk是(a+b)n的展開式中的第k項.()(2)二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項.()(3)(a+b)n的展開式中某一項的二項式系數(shù)與a, b無關(guān).()假設(shè)(3x1)7 = a7x7+a6X6+-+ aix+ ao,那么 a

3、7+ a6+-+ ai 的值為128.()解析(1)錯誤.應(yīng)為第k+1項.(2)錯誤.當(dāng)n為偶數(shù)時，為中間一項；n為奇數(shù)時，為中間的兩項.(3)正確.二項式系數(shù)只與n和項數(shù)有關(guān).(4)錯誤.令 x=1,可得 a7+a6+ ai+a0 = 27= 128.答案(1)X (2)X ，(4)X2.(教材改編)二項式(x+1)n(nCN*)的展開式中x2的系數(shù)為15,那么n = ()A. 7B. 6C. 5D. 4B (x+1)n= (1+x)n= 1+ Cn+C2x2+ Cnxn.依題意，得 C2=15,解得 n = 6(n= -5 舍去).x _1 n3.在23 的展開式中，只有第x5項的二項式系

4、數(shù)最大，那么展開式中常數(shù)項是()A.7 B. 7 C.28 D. 28由題意知2+1 = 5,解得n=8,3x的展開式的通項Tk+18 kc8 21=(1)k2k 8c8x8 4k. 3令8豆=0得卜=6,那么展開式中的常數(shù)項為(一1)626一8C6=7. 3(2021北京高考)在(1 2x)6的展開式中，x2的系數(shù)為.(用數(shù)字 作答)60 依二項式定理，含x2的項為展開式的第3項.展開式中T3=C2( 2x)2=60 x2,那么x2的系數(shù)為60.(2021濟南模擬)(1 + ax)(1+x)5的展開式中x2的系數(shù)為5,那么a=1 (1 +x)5=1 + c5x + c5x2+c5x3+c4x

5、4 + c5x5(1 + ax)(1 + x)5 的展開式中 x2 的項為(C5+ C1a)x2, 依題意得10+5a=5,解得a=1.明考向題型突破|I考向1I |通項公式及其應(yīng)用例0 (1)(2021全國卷I)(x2+x+ y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為()A. 10B. 20C. 30D. 60(2021山東高考)假設(shè)ax2+x5的展開式中x5的系數(shù)是一80,那么實數(shù)a(1)C (2)-2 (1)法一：(x2 + x+y)5=(x2 + x) + y5,含 y2 的項為 T3= C5(x2+ x)3 y2.其中(x2 + x)3中含x5的項為C1x4 x=c3x5所以x5y2的系數(shù)為

6、C5C1=30.應(yīng)選C.法二：(x2+x+ y)5為5個x2+x+ y之積，其中有兩個取y,兩個取x2, 一個 取x即可，所以x5y2的系數(shù)為C5c2C1= 30應(yīng)選C.r155(2)Tr+1 = C5 (ax2)5 r & =C5 a5 rx10 5r.令 105r = 5,解得 rx5 的系數(shù)為 80,那么有 C5a3= 80,解得 a= 2.規(guī)律方法1.二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完 成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時 要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n, r均為非負整數(shù)，且nr,如常 數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)

7、；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解 的項.2.求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解.n變式訓(xùn)練1 (1)(2021東北四校聯(lián)考)假設(shè)x6+x1x的展開式中含有常數(shù)項，那么正整數(shù)n的最小值等于()A. 3B. 4C. 5D. 6(2)(2021全國卷I )(2x+5)5的展開式中，x3的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案)(1)C (2)10 (1)二項展開式的通項Tr+I = cn(x6)n r 市 =cnx6n 號,15r 一 5假設(shè)Tr+i是常數(shù)項，那么6n -2-=0，即n=4.又n C N*,故n的最小值為5.(2)(勿+6)5 展開式的通項為 Tr+i = C5(

8、2x)5r(，x)r = 25-r C5x5 1， r 一令 52= 3,得 r = 4.故 x3 的系數(shù)為 25 4 C5= 2c5= 10.!芍 呵2_1h項式籠數(shù)與各嬰整團例因(1)(2021武漢調(diào)研)(1 +x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等，那么奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為()A. 212B. 211C. 210D. 29【導(dǎo)學(xué)號：57962456】(2021 福州質(zhì)檢)假設(shè)(1 2x)4 = ao+ a1x+ a2x2 + a3x3+ a4x4,那么 a1 + a2+ a3+ a4 =.(1)D (2)0 (1)：(1+x)n的展開式中第4項與第8項的二項式系數(shù)相等， .C3

9、=C7,解得 n=10.從而 C00+ C1o+ C20+ + c1E= 210,奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為C1o+ C20+ - + c10= 29.(2)令 x = 1,得 ao+ a1 + a2 + a3+ a4= (1 2)4 = 1.又令 x= 0,得 a0=(10)4 = 1.因此 a1 + a2+a3 + a4= 0.遷移探究1假設(shè)本例(2)中條件不變，問題變?yōu)椤扒?a0+a2 + a4的值，那么結(jié)果如何?解 在(1 2x)4= a0 + aix+a2x2+a3x3+a4x4 中，令 x= 1,得 a0 + ai + a2+ a3+a4=1.4 分令 x= 1,得 ao ai + a

10、2 a3 + a4= 3t 8 分由 十 ，可得 a0+a2+a4=2(34+1) = 41. 12分遷移探究2假設(shè)將本例(2)變?yōu)椤凹僭O(shè)(12x)2 016=a0+a1x+ a2x2+- +a2 016x2 016(xC R),那么 21+段+ 2器的值為. -1 令x=0,得 a0=(1 0)2 016=1.人 1a1 a2 a2 016令 x= 2, 那么 a0 + 2 + 22+ 22 016= 0,a1 a2a2 0162- + 方+ + 22016= -1.規(guī)律方法1.第(1)小題求解的關(guān)鍵在于求n,此題常因把“n的等量關(guān)系表 示為C4=cn，錯求n=12;第(2)小題主要是“賦值

11、求出a0與各項系數(shù)的和.求解這類問題要注意：(1)區(qū)別二項式系數(shù)與展開式中項的系數(shù)，靈活利用二項式系數(shù)的性質(zhì)；(2)根據(jù)題目特征，恰當(dāng)賦值代換，常見的賦值方法是使得字母因式的值或 目標式的值為1, 1.變式訓(xùn)練2 (2021全國卷H)(a+x)(1+x)4的展開式中x的奇數(shù)次事項的 系數(shù)之和為32,那么a=.設(shè)(a+x)(1 + x)4 = a0+ a1x+ a2x2 + a3x3+a4x4+a5x5令 x= 1,得(a + 1) x 24=ao+ a1 + 02 + a3+ a4 + a5.令 x= - 1,得 0 = a。一 a1 + a2a3+a4a5.，得 16(a+ 1) = 2(a

12、 + a3+a5)=2X32, .a=3.肯巴5-二項式定理的應(yīng)用A. 0B. 1C. 11D. 12C (2)D (1)x=g=-1 + i,c2 017x+ c2 017X2 + C3 017x3+ , + c2 017x2 017= (1 + x)2 0171 = i2 017 1 = 1+i.(2)512 012+ a= (52 1)2 012+ a =C0 012 522 012-C2 012 522 011+- + C2 012 52 (- 1)2 011 +C2 812 ( 1)2 012+a,vC0 012 522 012-C2 012 522 011+ C2 012 52 (

13、- 1)2 011 能被 13 整除.且512 012+a能被13整除,.C2012 ( 1)2 012+a= 1 + a也能被 13整除.因此a可取值12.規(guī)律方法1.第(1)題將二項式定理的應(yīng)用與坐標系中圖像點的坐標交匯滲 透，命題角度新穎；將圖表信息轉(zhuǎn)化為運用二項展開式的系數(shù)求待定字母參數(shù)， 表達數(shù)形結(jié)合和方程思想的應(yīng)用.2,第(2)題求解的關(guān)鍵在于將512 012變形為(52 1)2 012,使得展開式中的每 一項與除數(shù)13建立聯(lián)系.3.運用二項式定理要注意兩點：余數(shù)的范圍，a=cr+b,其中余數(shù)bC0, r), r是除數(shù)；二項式定理的逆用.變式訓(xùn)練3設(shè)aw0, n是大于1的自然數(shù)，1

14、+：的展開式為a0+a1x+ a2X2 + anxn.假設(shè)點 Ai(i, a)(i = 0,1,2)的位置如圖10-3-1所示，那么 a =圖 10-3-13 由題意知 A0(0,1), A1(1,3), A2(2,4).故 ao = 1, ai = 3, a2= 4. TOC o 1-5 h z nr又 1 + x 的通項公式 Tr+i=Cnx （r = 0,1,2,，n）. aa 12故財=3, Cn=4,解得 a = 3. a a名蜥微博。思想與方法1,二項式定理（a+ b）n=C0an+ Cnan1b+ - + Gan rbr+ + Cnbn（n N*）提醒 二項展開式的規(guī)律，一定要牢記通項 Tr+1 = cnan-rbr是展開式的第r+1項，不是 第r項.通項的應(yīng)用：利用二項展開式的通項可求指定的項或指定項的系數(shù)等（常用待定系數(shù)法）.展開式的應(yīng)用：（1）可求解與二項式系數(shù)有關(guān)的求值問題，常采用賦值法.（2） 可證明整除問題（或求余數(shù)）.（3）有關(guān)組合式的求值證明，常采用構(gòu)造法.易錯與防范.二項式的通項易誤認為是第k項，實質(zhì)上是第k+1項.（a+ b）n與（b+a）n雖然一樣，但具體到它們展開式的某一項時是不一樣的， 所以公式中白第一個量a與第二個