高等數(shù)學(xué)講義教學(xué)課件第7節(jié)方向?qū)?shù)及梯度_第1頁
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文檔簡介

1、第七節(jié)二、方向?qū)?shù)的定義 三、梯度的概念方向?qū)?shù)與梯度一、問題的提出實(shí)例：一塊長方形的金屬板，四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標(biāo)原點(diǎn)處有一個(gè)火焰，它使金屬板受熱假定板上任意一點(diǎn)處的溫度與該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離成反比在(3,2)處有一個(gè)螞蟻，問這只螞蟻應(yīng)沿什么方向爬行才能最快到達(dá)較涼快的地點(diǎn)？問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最驟烈的方向（即梯度方向）爬行一、問題的提出 討論函數(shù) 在一點(diǎn)P 沿某一方向的變化率問題二、方向?qū)?shù)的定義（如圖）當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，是否存在？記為證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為兩邊同除以得到故有方向?qū)?shù)解解由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知故推廣可得三元函數(shù)方

2、向?qū)?shù)的定義例3. 求函數(shù) 在點(diǎn) P(1, 1, 1) 沿向量3) 的方向?qū)?shù) .解: 向量 l 的方向余弦為解令故方向余弦為故三、梯度的概念方向?qū)?shù)公式令向量這說明方向：f 變化率最大的方向模 : f 的最大變化率之值方向?qū)?shù)取最大值：1. 定義即同樣可定義二元函數(shù)記作(gradient),在點(diǎn)處的梯度 說明:函數(shù)的方向?qū)?shù)為梯度在該方向上的投影.向量稱為函數(shù) f (P) 在點(diǎn) P 處的梯度2. 梯度的幾何意義結(jié)論在幾何上 表示一個(gè)曲面曲面被平面 所截得所得曲線在xoy面上投影如圖等高線梯度為等高線上的法向量梯度與等高線的關(guān)系：3. 梯度的基本運(yùn)算公式例4.證:試證處矢徑 r 的模 ,解由梯度

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