導數(shù)的一般定義為變化率課件

1、導數(shù)的概念第1頁，共32頁。 事物都處于運動變化之中，研究事物變化的快慢程度，即函數(shù)的變化率問題是有廣泛意義的。在經濟問題中也常?？紤]變化率問題。第2頁，共32頁。北京市1990-2004年通貨膨脹率與經濟增長率走勢圖前期經濟運行波動幅度較大，后期比較平穩(wěn)。 經濟運行越是平穩(wěn)，越有助于經濟高速發(fā)展；在經濟高速增長的同時，可以將通貨膨脹控制在較低水平。 案例1第3頁，共32頁。設為成本函數(shù)， 生產100件產品的總成本為 這時每件產品的成本即平均 成本為 產量從l00件增加到110件，成本隨之發(fā)生變化 成本的平均變化率為現(xiàn)在的問題是，如何求產量在100件時成本的瞬時變化率? 案例2 成本的變化率第

2、4頁，共32頁。案例3 如何理解瞬時變化率一輛汽車2小時行駛l08英里，它的平均速度(或平均速率)是108英里2小時，或54英里小時這是距離關于時間的平均變化率但是在行駛中的各個時刻，速度表的讀數(shù)不都是54因此，我們說54是一個平均速度速度表在任一瞬間的即時讀數(shù)應該表示其瞬時速度或瞬時變化率(instantaneous rate of change)第5頁，共32頁。案例4 如何表示瞬時速度首先，我們可以表達接近t=2時刻的一很小區(qū)間段的平均速度一小球做自由落體運動，考察 時小球的瞬時速度 。越小，平均速度就越接近于t=2時刻的瞬時速度第6頁，共32頁。1.5,2 1.99,2 1.9999,

3、2 0.5 0.01 0.0001 17.150 19.551 19.600 2019.62,2.001 0.001 19.605 2,2.01 0.01 19.649 22.050 0.5 2,2.5 其變化情況見下表 ：從表上可以看出，不同時間段上的平均速度不相等，當時間段很小時，平均速度很接近某一確定的值19.6 (m/s).第7頁，共32頁。 平均變化率是用差商給出的如果距離s是時間t的函數(shù)：而h是行駛一段距離所有的時間，則距離關于時間的平均變化率稱為平均速度(average elocity)，并且可以表示為瞬時變化率可以令h趨近于0來求得因此， 第8頁，共32頁。 平均是反映整體的平

4、均變化情況，瞬時是反映事物變化當前怎樣很多時候了解事物當前狀況更有實際意義 類似于瞬時速度的有溫度變化率、氣壓變化率、電流變化率、股價變化率、人口增長變化率等等求變化率我們都可用求瞬時速度的方法，考慮越來越小區(qū)間上的平均變化率的極限 平均變化率的極限即為瞬時變化率，在數(shù)學上，我們也把它稱為導數(shù)。第9頁，共32頁。導數(shù)的定義 第10頁，共32頁。 導數(shù)是一種高等數(shù)學運算，導數(shù)的一般定義為變化率，即函數(shù)在某一點的導數(shù)就是它在該點的變化率第11頁，共32頁。為成本函數(shù)， 求產量在100件時成本的瞬時變化率? 上述案例2中按照導數(shù)的思想，結果可表示為即：第12頁，共32頁。 由定義求導數(shù)步驟:解例1第

5、13頁，共32頁。 由定義求導數(shù)解例2第14頁，共32頁。導數(shù)的幾何意義 左面的曲線圖展示了Raggs有限公司在某個早班上的服裝總產量工業(yè)心理學家發(fā)現(xiàn)曲線與工人們的生產過程有類似的特點案例4從圖表中看出，在上午9點至l0點這個時段，所生產的服裝套數(shù)是35套這段時間的平均生產率為35套/小時。注意：35是從P點到Q點的直線的斜率第15頁，共32頁。由上述案例得出一區(qū)間段的平均變化率的幾何解釋為割線的斜率。問題：當又有怎樣的變化呢？導數(shù)的幾何意義第16頁，共32頁。割線的極限位置切線位置播放第17頁，共32頁。割線的極限位置切線位置第18頁，共32頁。割線的極限位置切線位置第19頁，共32頁。割線

6、的極限位置切線位置第20頁，共32頁。割線的極限位置切線位置第21頁，共32頁。割線的極限位置切線位置第22頁，共32頁。割線的極限位置切線位置第23頁，共32頁。割線的極限位置切線位置第24頁，共32頁。割線的極限位置切線位置第25頁，共32頁。割線的極限位置切線位置第26頁，共32頁。割線的極限位置切線位置第27頁，共32頁。導數(shù)的幾何意義：第28頁，共32頁。導數(shù)的經濟意義 導數(shù)的概念雖然是從物理意義（研究瞬時速度）引入的，但其應用是十分廣泛的。歷史進入20世紀，人們又發(fā)現(xiàn)了導數(shù)的經濟意義。 由導數(shù)的思想，平均變化率在即為瞬時變化率。的極限案例2中的經濟解釋為產量在100件時，產量增加1件的成本增加值。第29頁，共32頁。定義： 若函數(shù) 在x處可導，則稱導數(shù) 為 的邊際函數(shù)；稱 為邊際函數(shù)值 經濟生活中有邊際成本、邊際收益、邊際利潤等各種邊際量如邊際成本、邊際利潤分別表示在現(xiàn)有生產條件下，再多生產一件的實際成本、實際利潤第30頁，共32頁。 案例 銅礦開采費 從一個銅礦中開采Tt銅礦的花費為C=f(T)元，意味著什么？ 解 因為1t銅礦需要花費100元。又因為C 的單位為元，T 的單位為t,所以表明當