高中數(shù)學(xué)選修第一冊：1.1.1 空間向量及其線性運(yùn)算-2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)新教材配套學(xué)案（人教A版選擇性必修第一冊）

1、 空間向量及其線性運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解空間向量的概念.(難點(diǎn))2.掌握空間向量的線性運(yùn)算.(重點(diǎn))3.掌握共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用.(重點(diǎn)、難點(diǎn))1、邏輯推理2、數(shù)學(xué)運(yùn)算【自主學(xué)習(xí)】1、空間向量的概念及幾類特殊向量名稱定義空間向量在空間中，具有_和_的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的_單位向量長度或模為_的向量零向量_的向量相等向量方向_且模_的向量相反向量_相反且_相等的向量空間向量的表示空間向量可以用a,b,c表示，也用有向線段表示，有向線段的 表示向量的模，向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可記作eq o(AB,sup6()，其模記為 .3、空間向量的

2、加、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算ab=eq o(OA,sup7()eq o(AB,sup7()_；a- beq o(OA,sup7()eq o(OC,sup7()_.當(dāng)0時(shí)，a=eq o(OA,sup7()= ；當(dāng)0時(shí)，a=eq o(OA,sup7()= ；0時(shí)，a0運(yùn)算律：交換律 ab _；結(jié)合律(ab)c .分配律(ab) ， ()a 。4、共線向量(1)定義：表示空間向量的有向線段所在的直線_，則這些向量叫做_或平行向量.(2)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在實(shí)數(shù)使_.5、方向向量 在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的 成為直線l的方向向量。也就是說直

3、線可以由其一點(diǎn)和它的方向向量確定。共面向量定義：平行于_的向量叫做共面向量. = 1 * ROMAN * MERGEFORMAT I、證明空間三個向量共面，常用如下方法：(1)設(shè)法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合，即若axbyc，則向量a，b，c共面；(2)尋找平面，證明這些向量與平面平行. = 2 * ROMAN * MERGEFORMAT II、對空間四點(diǎn)P，M，A，B可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點(diǎn)共面：(1)eq o(MP,sup7()xeq o(MA,sup7()yeq o(MB,sup7()；(2)對空間任一點(diǎn)O，eq o(OP,sup7()eq o(OM,sup7(

4、)xeq o(MA,sup7()yeq o(MB,sup7()；(3)對空間任一點(diǎn)O，eq o(OP,sup7()xeq o(OA,sup7()yeq o(OB,sup7()zeq o(OC,sup7()(xyz1)；(4)eq o(PM,sup7()eq o(AB,sup7()(或eq o(PA,sup7()eq o(MB,sup7()，或eq o(PB,sup7()eq o(AM,sup7().【小試牛刀】1、判斷正錯(1)零向量沒有方向( )(2)有向線段都可以表示向量，向量都可以用有向線段表示( )(3)平面內(nèi)所有的單位向量是相等的( )(4)空間中，將單位向量起點(diǎn)放在一起，其終點(diǎn)組成

5、的圖形是球( )(5)任何兩個向量均不可以比較大小( )2、在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，頂點(diǎn)連接的向量中，與向量eq o(AD,sup7()相等的向量共有()A.1個 B.2個C.3個D.4個3.已知空間四邊形ABCD中，eq o(AB,sup7()a，eq o(CB,sup7()b，eq o(AD,sup7()c，則eq o(CD,sup7()等于()A.abc B.abcC.abcD.abc【經(jīng)典例題】題型一 空間向量概念注意：在空間中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關(guān)概念完全一致例1給出下列命題：零向量沒有確定的方向；在正方體ABCDA1B1C1D1中，eq

6、o(AC,sup7()eq o(A1C1,sup7()；若向量a與向量b的模相等，則a，b的方向相同或相反；在四邊形ABCD中，必有eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(AC,sup7().其中正確命題的序號是_.跟蹤訓(xùn)練 1 (1)下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是()A若向量a，b平行，則a，b所在直線平行B若|a|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反C若向量eq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6()滿足|eq o(AB,sup6()|eq o(CD,sup6()|，則eq o(AB,sup6()eq o(CD,sup6()D相等向量其方向必相

7、同(2)如圖所示，在平行六面體ABCDABCD中，頂點(diǎn)連接的向量中，與向量eq o(AA,sup7()相等的向量有_ _；與向量eq o(AB,sup7()相反的向量有_ _.(要求寫出所有適合條件的向量)題型二 空間向量的線性運(yùn)算注意：1.熟練掌握空間向量線性運(yùn)算法則和運(yùn)算律；2.要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.例2 在如圖所示的平行六面體中，求證：eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6(-)eq o(AD,sup6(-)2eq o(AC,sup6(-).跟蹤訓(xùn)練 2如圖，已知正方體ABCDABCD，點(diǎn)E是上底面ABCD的中心，求下列各式中x，y，z的值.(1)eq o(BD,sup

8、7()xeq o(AD,sup7()yeq o(AB,sup7()zeq o(AA,sup7()；(2)eq o(AE,sup7()xeq o(AD,sup7()yeq o(AB,sup7()zeq o(AA,sup7().題型三 向量的共線及判定例3 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且eq o(A1E,sup7()2eq o(ED1,sup7()，F(xiàn)在對角線A1C上，且eq o(A1F,sup7()eq f(2,3)eq o(FC,sup7()，求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線. 注意：要證E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，只需證明下面結(jié)論中的一個成立即可：(1)eq o(EB,sup6

9、()meq o(EF,sup6()；(2)eq o(AB,sup6()eq o(AE,sup6()eq o(EF,sup6()；(3)eq o(AB,sup6()neq o(AE,sup6()(1n)eq o(AF,sup6().跟蹤訓(xùn)練 3在空間四邊形ABCD中，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，請判斷eq o(EF,sup16()與eq o(AD,sup16()eq o(BC,sup16()是否共線題型四 向量共面例4 如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是ABCD所在平面外的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，PD.設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為PAB，PBC，PCD，PDA的重心.試用向量方法證明

10、E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.跟蹤訓(xùn)練 4如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對角線BD，AE上，且BMeq f(1,3)BD，ANeq f(1,3)AE.求證：向量eq o(MN,sup7()，eq o(CD,sup7()，eq o(DE,sup7()共面.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.下列說法：若兩個空間向量相等，則表示它們有向線段的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；若向量eq o(AB,sup7()，eq o(CD,sup7()滿足|eq o(AB,sup7()|eq o(CD,sup7()|，且eq o(AB,sup7()與eq o(CD,sup7()同向，則eq o(AB,su

11、p7()eq o(CD,sup7()；若兩個非零向量eq o(AB,sup7()與eq o(CD,sup7()滿足eq o(AB,sup7()eq o(CD,sup7()0，則eq o(AB,sup7()，eq o(CD,sup7()為相反向量；eq o(AB,sup7()eq o(CD,sup7()的充要條件是A與C重合，B與D重合.其中錯誤的個數(shù)為() A.1 B.2C.3D.42向量a，b互為相反向量，已知|b|3，則下列結(jié)論正確的是()Aab Bab為實(shí)數(shù)0 Ca與b方向相同 D|a|33已知正方體ABCDA1B1C1D1中，eq o(A1E,sup6()eq f(1,4)eq o(A

12、1C1,sup6()，若eq o(AE,sup6()xeq o(AA1,sup6()y(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，則()Ax1，yeq f(1,2) Bxeq f(1,2)，y1Cx1，yeq f(1,3) Dx1，yeq f(1,4)4如圖所示，空間四邊形OABC中，eq o(OA,sup6()a，eq o(OB,sup6()b，eq o(OC,sup6()c，點(diǎn)M在OA上，且OM2MA，N為BC中點(diǎn)，則eq o(MN,sup6()等于()Aeq f(1,2)aeq f(2,3)beq f(1,2)cBeq f(2,3)aeq f(1,2)beq f(1,2)

13、cCeq f(1,2)aeq f(1,2)beq f(1,2)cDeq f(2,3)aeq f(2,3)beq f(1,2)c5、如圖，在長方體ABCDABCD中，AB3，AD2，AA1，則分別以長方體的頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中：單位向量共有多少個？試寫出模為eq r(5)的所有向量試寫出與向量eq o(AB,sup6()相等的所有向量試寫出向量eq o(AA,sup6(-)的所有相反向量6.如圖，已知空間四邊形OABC，M，N分別是邊OA，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G在MN上，且MG2GN，設(shè)eq o(OA,sup7()a，eq o(OB,sup7()b，eq o(OC,sup7()c，試用a，b，c表

14、示向量eq o(OG,sup7().7、如圖，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E，H分別是邊AB，AD的中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是邊CB，CD上的點(diǎn)，且eq o(CF,sup7()eq f(2,3)eq o(CB,sup7()，eq o(CG,sup7()eq f(2,3)eq o(CD,sup7().求證：四邊形EFGH是梯形.8、已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足eq o(OM,sup7()eq f(1,3)eq o(OA,sup7()eq f(1,3)eq o(OB,sup7()eq f(1,3)eq o(OC,sup7().(1)判斷eq o(MA,sup7()，e

15、q o(MB,sup7()，eq o(MC,sup7()三個向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】1、大小方向長度或模1長度為0相同相等方向模2、長度 |a|或|eq o(AB,sup6()|3、eq o(OB,sup7() eq o(CA,sup7() ba a（bc） ab aa4、(1)互相平行或重合共線向量(2) ab5、非零向量6. 同一個平面【小試牛刀】1、 2、C 【解析】與向量eq o(AD,sup7()相等的向量有eq o(BC,sup7()，eq o(A1D1,sup7()，eq o(B1C1,sup7()共3個.3、C 【解析】eq o(

16、CD,sup7()eq o(CB,sup7()eq o(BA,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(CB,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()abc.【經(jīng)典例題】例1 【解析】(1)正確；正確，因?yàn)閑q o(AC,sup7()與eq o(A1C1,sup7()的大小和方向均相同；|a|b|，不能確定其方向，所以a與b的方向不能確定；中只有當(dāng)四邊形ABCD是平行四邊形時(shí)，才有eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(AC,sup7().綜上可知，正確命題為.跟蹤訓(xùn)練 1 (1)D解析A中，向量a，b平行，則a，b所在的直線平行或

17、重合；B中，|a|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定；C中，向量作為矢量不能比較大小，故選D.(2)eq o(BB,sup7()，eq o(CC,sup7()，eq o(DD,sup7()eq o(BA,sup7()，eq o(BA,sup7()，eq o(CD,sup7()，eq o(CD,sup7() 解析 根據(jù)相等向量的定義知，與向量eq o(AA,sup7()相等的向量有eq o(BB,sup7()，eq o(CC,sup7()，eq o(DD,sup7().與向量eq o(AB,sup7()相反的向量有eq o(BA,sup7()，eq o(BA,sup7()，eq o(CD,

18、sup7()，eq o(CD,sup7().例2 證明平行六面體的六個面均為平行四邊形，eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()，eq o(AB,sup6(-)eq o(AB,sup6()eq o(AA,sup6(-)，eq o(AD,sup6(-)eq o(AD,sup6()eq o(AA,sup6(-)，eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6(-)eq o(AD,sup6(-)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()(eq o(AB,sup6()eq o(AA,sup6(-)(eq o(AD,sup6()eq o(

19、AA,sup6(-)2(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA,sup6(-)又eq o(AA,sup6(-)eq o(CC,sup6(-)，eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()eq o(AA,sup6(-)eq o(AB,sup6()eq o(BC,sup6()eq o(CC,sup6(-)eq o(AC,sup6()eq o(CC,sup6(-)eq o(AC,sup6(-).eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6(-)eq o(AD,sup6(-)2eq o(AC,

20、sup6(-).跟蹤訓(xùn)練 2解：(1)因?yàn)閑q o(BD,sup7()eq o(BD,sup7()eq o(DD,sup7()eq o(BA,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(DD,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(AA,sup7()，又eq o(BD,sup7()xeq o(AD,sup7()yeq o(AB,sup7()zeq o(AA,sup7()，所以x1，y1，z1.(2)因?yàn)閑q o(AE,sup7()eq o(AA,sup7()eq o(AE,sup7()eq o(AA,sup7()eq f(1,2)eq o(AC,su

21、p7()eq o(AA,sup7()eq f(1,2)(eq o(AB,sup7()eq o(AD,sup7()eq o(AA,sup7()eq f(1,2)eq o(AB,sup7()eq f(1,2)eq o(AD,sup7()eq f(1,2)eq o(AD,sup7()eq f(1,2)eq o(AB,sup7()eq o(AA,sup7()，又eq o(AE,sup7()xeq o(AD,sup7()yeq o(AB,sup7()zeq o(AA,sup7()，所以xeq f(1,2)，yeq f(1,2)，z1.例3 【證明】設(shè)eq o(AB,sup6()a，eq o(AD,sup

22、6()b，eq o(AA1,sup6()c.eq o(A1E,sup6()2eq o(ED1,sup6()，eq o(A1F,sup6()eq f(2,3)eq o(FC,sup6()，eq o(A1E,sup6()eq f(2,3)eq o(A1D1,sup6()，eq o(A1F,sup6()eq f(2,5)eq o(A1C,sup6().eq o(A1E,sup6()eq f(2,3)eq o(AD,sup6()eq f(2,3)b，eq o(A1F,sup6()eq f(2,5)(eq o(AC,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(2,5)(eq o(AB,sup6(

23、)eq o(AD,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(2,5)aeq f(2,5)beq f(2,5)c.eq o(EF,sup6()eq o(A1F,sup6()eq o(A1E,sup6()eq f(2,5)aeq f(4,15)beq f(2,5)ceq f(2,5)(aeq f(2,3)bc)又eq o(EB,sup6()eq o(EA1,sup6()eq o(A1A,sup6()eq o(AB,sup6()eq f(2,3)bcaaeq f(2,3)bc，eq o(EF,sup6()eq f(2,5)eq o(EB,sup6()，所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線跟蹤訓(xùn)練 3 解

24、：連接AC，取AC的中點(diǎn)G，連接EG、FG，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)eq o(GF,sup6()eq f(1,2)eq o(AD,sup6()，eq o(EG,sup6()eq f(1,2)eq o(BC,sup6().又E、F、G三點(diǎn)共面，eq o(EF,sup6()eq o(EG,sup6()eq o(GF,sup6()eq f(1,2)(eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()，即eq o(EF,sup6()與eq o(AD,sup6()eq o(BC,sup6()共線例4 證明：分別連接PE，PF，PG，PH并延長，交對邊于點(diǎn)M，N，Q，R，連接MN，NQ，QR，R

25、M，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R是所在邊的中點(diǎn)，且eq o(PE,sup7()eq f(2,3)eq o(PM,sup7()，eq o(PF,sup7()eq f(2,3)eq o(PN,sup7()，eq o(PG,sup7()eq f(2,3)eq o(PQ,sup7()，eq o(PH,sup7()eq f(2,3)eq o(PR,sup7().由題意知四邊形MNQR是平行四邊形，所以eq o(MQ,sup7()eq o(MN,sup7()eq o(MR,sup7()(eq o(PN,sup7()eq o(PM,sup7()(eq o(PR,sup7()

26、eq o(PM,sup7()eq f(3,2)(eq o(PF,sup7()eq o(PE,sup7()eq f(3,2)(eq o(PH,sup7()eq o(PE,sup7()eq f(3,2)(eq o(EF,sup7()eq o(EH,sup7().又eq o(MQ,sup7()eq o(PQ,sup7()eq o(PM,sup7()eq f(3,2)eq o(PG,sup7()eq f(3,2)eq o(PE,sup7()eq f(3,2)eq o(EG,sup7().所以eq o(EG,sup7()eq o(EF,sup7()eq o(EH,sup7()，由共面向量定理知，E，F(xiàn)，

27、G，H四點(diǎn)共面.跟蹤訓(xùn)練 4 因?yàn)镸在BD上，且BMeq f(1,3)BD，所以eq o(MB,sup7()eq f(1,3)eq o(DB,sup7()eq f(1,3)eq o(DA,sup7()eq f(1,3)eq o(AB,sup7().同理eq o(AN,sup7()eq f(1,3)eq o(AD,sup7()eq f(1,3)eq o(DE,sup7().所以eq o(MN,sup7()eq o(MB,sup7()eq o(BA,sup7()eq o(AN,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)o(DA,sup7()f(1,3)o(AB,sup7()

28、eq o(BA,sup7()eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)o(AD,sup7()f(1,3)o(DE,sup7()eq f(2,3)eq o(BA,sup7()eq f(1,3)eq o(DE,sup7()eq f(2,3)eq o(CD,sup7()eq f(1,3)eq o(DE,sup7().又eq o(CD,sup7()與eq o(DE,sup7()不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知eq o(MN,sup7()，eq o(CD,sup7()，eq o(DE,sup7()共面.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.C【解析】錯誤.兩個空間向量相等，其模相等且方向相同，但與起點(diǎn)和終點(diǎn)的位

29、置無關(guān).錯誤.向量的模可以比較大小，但向量不能比較大小.正確.eq o(AB,sup7()eq o(CD,sup7()0，得eq o(AB,sup7()eq o(CD,sup7()，且eq o(AB,sup7()，eq o(CD,sup7()為非零向量，所以eq o(AB,sup7()，eq o(CD,sup7()為相反向量.錯誤.由eq o(AB,sup7()eq o(CD,sup7()，知|eq o(AB,sup7()|eq o(CD,sup7()|，且eq o(AB,sup7()與eq o(CD,sup7()同向，但A與C，B與D不一定重合.2、D 【解析】向量a，b互為相反向量，則a，

30、b模相等、方向相反，故選D.3D 【解析】eq o(AE,sup6()eq o(AA1,sup6()eq o(A1E,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(1,4)eq o(A1C1,sup6()eq o(AA1,sup6()eq f(1,4)(eq o(AB,sup6()eq o(AD,sup6()所以x1，yeq f(1,4)4、B【解析】eq o(MN,sup6()eq o(ON,sup6()eq o(OM,sup6() eq f(1,2) (eq o(OB,sup6()eq o(OC,sup6()eq f(2,3)eq o(OA,sup6() eq f(2,3)aeq f

31、(1,2)beq f(1,2)c5、解由于長方體的高為1，所以長方體的四條高所對應(yīng)的向量eq o(AA,sup6(-)，eq o(AA,sup6(-)，eq o(BB,sup6(-)，eq o(BB,sup6(-)，eq o(CC,sup6(-)，eq o(CC,sup6(-)，eq o(DD,sup6(-)，eq o(DD,sup6(-)，共8個向量都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個由于長方體的左右兩側(cè)面的對角線長均為eq r(5)，故模為eq r(5)的向量有eq o(AD,sup6(-)，eq o(DA,sup6(-)，eq o(AD,sup6(-)，eq o(DA

32、,sup6(-)，eq o(BC,sup6(-)，eq o(CB,sup6(-)，eq o(BC,sup6(-)，eq o(CB,sup6(-).與向量eq o(AB,sup6()相等的所有向量(除它自身之外)有eq o(AB,sup6(-)，eq o(DC,sup6()及eq o(DC,sup6(-).向量eq o(AA,sup6(-)的相反向量有eq o(AA,sup6(-)，eq o(BB,sup6(-)，eq o(CC,sup6(-)，eq o(DD,sup6(-).6. 解：eq o(OG,sup7()eq o(OM,sup7()eq o(MG,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)eq o(MN,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)(eq o(MA,sup7()eq o(AB,sup7()eq o(BN,sup7()eq f(1,2)eq o(OA,sup7()eq f(2,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)o(OA,sup7()o(OB,sup7()o(OA,