2022年《信號分析與處理》備課教案

1、其次章：單輸入單輸出系統(tǒng)的時域分析 2.1. 概述系統(tǒng)分析的主要任務是解決在給定的鼓勵作用下,系統(tǒng)將產生什么樣的響應；即假如系統(tǒng)（這里指“ 線性時不變LTI 系統(tǒng)” ,以下相同）是確定的,鼓勵是已知的,就響應肯定也是確定的；系統(tǒng)數學模型的時域描述主要有兩種形式：“ 輸入輸出描述” 與“ 狀 態(tài)變量描述” , 本章只涉及“ 輸入輸出描述” ,即采納微分或差分方程對 系統(tǒng)進行描述；為了確定一個線性時不變系統(tǒng)在時域中對給定鼓勵的響應,第一要建立描述該系統(tǒng)的微分方程（對于連續(xù)系統(tǒng)） 或差分方程 （對于離散系統(tǒng)） ,并求出滿意給定初始狀態(tài)的解；這里,解就是系統(tǒng)的響應； LTI連續(xù) / 離散系統(tǒng)的時域分析

2、,可以歸結為： 建立并求解線性微分/差分方程； 這也稱之為系統(tǒng)時域響應求解的“ 經典法” ；由于在其分析過程涉及的函數變量均為時間 t ,故這一方法稱之為 “ 時域分析法”；這種方法比較直觀,物理概念清晰,是學習各種變換域分析法的基礎；幾個重要的概念：由于對“ 線性時不變 LTI 系統(tǒng)” 在時域中進行描述的數學模型就是“ 微分方程 / 連續(xù)系統(tǒng)”和“ 差分方程 / 離散系統(tǒng)”,因此這些方程的“ 解”就是系統(tǒng)的 “ 時域響應”,進而又可以依據“ 解的形式” 分解為“ 自由響應”和“ 強制響應”,也可以依據“ 響應產生的緣由” 分解為“ 零輸入響應”和“ 零狀態(tài)響應”；1、自由響應“ 微分方程 /

3、 差分方程” 的“ 齊次通解” 就是系統(tǒng)的“ 自由響應 / 固有響應” ,其只取決于系統(tǒng)本身的特性；也就是說,對于同一個系統(tǒng),在不同的鼓勵作用下,系統(tǒng)“ 自由響應” 的形式是相同的；（但系數仍與“ 激勵形式和系統(tǒng)初始狀態(tài)” 有關）2、強制響應“ 微分方程 / 差分方程”的“ 特解” 就是系統(tǒng)的 “ 強制響應 / 受迫響應” ,其形式由系統(tǒng)的鼓勵所打算；3、零輸入響應 指鼓勵輸入為零時,僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)所產生的系統(tǒng)響應；4、零狀態(tài)響應 指系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零,僅由鼓勵輸入所引起的系統(tǒng)響應；5、全響應 系統(tǒng)全響應 = 自由響應 +強制響應 = 零輸入響應 +零狀態(tài)響應2.2. 連續(xù)系統(tǒng)的時域分析

4、見書上 P2430,由于該部分內容已在高等數學與電路原理課程中作 過較具體的爭論,因此本課程中為“自學內容 ” ；2.3. 離散系統(tǒng)的時域分析 一、差分與差分方程 1、差分 設有序列 fk ,就 , fk+2 ,fk+1 , , fk-1,fk- 2 等稱 為fk 的移位序列 ；仿照連續(xù)信號的微分運算,如下式所示：定義離散信號的 差分 運算表達式如下：即一階后向差分定義：fkfkfk1式中, 稱為差分算子；本課程主要用后向差分,簡稱為 差分 ；2、差分方程包含未知序列 yk 及其各階差分的方程式稱為 為移位序列 ,得一般形式差分方程 ；將 差分 綻開即,in0aniykijm b m 0jfk

5、j,其中an1上式稱為 n階（后向形式）差分方程；差分方程本質上是遞推的代數方程,如已知初始條件和鼓勵,利用迭代法可求得其數值解；這種方法可以稱之為差分方程的“ 迭代解法” ,但是采納這種方法一般不易得到解析形式的解,或稱“閉合解 ” ；二、差分方程的建立一般情形下,實際的物理系統(tǒng)都是連續(xù)的模擬系統(tǒng)；對于 SISO線形時不變連續(xù)系統(tǒng),描述其的數學模型一般是微分方程形式；但是對于這樣的數學模型,通過“差分法 ” 即可以通過微分方程推導出差分方程,從而成為處理離散系統(tǒng)的數學模型；例1: 考慮一個 RC串聯(lián)電路如下列圖,我們第一建立描述這一連續(xù)系統(tǒng)的數學模型,由電路運算基本規(guī)律：itRCrte t（

6、2.3-1 ）idrt,代入上式并經整理,可得到：dtdrt1r t1e tdtRCRC這是一個一階微分方程,也就是描述RC串聯(lián)電路系統(tǒng)輸入輸出關系的數學模型,這里 e t 為系統(tǒng)輸入,r t 為系統(tǒng)輸出；下面采納“ 差分法” 將該微分方程離散化；考慮如將連續(xù)變量 t 以步長 T 為間距進行等分, 可得到 t nT s n ,1,0 ,2 ,所以產生了離散變量nT ,從而連續(xù)函數 s r t 在 t nT s 各點的取值就構成了離散序列 r nT s ；在 T 足夠小的情形下,微分運算就可以表示為：sdr t r n 1 T s r nT s ,將此式代入上面的（2.3-1 ）式,得：dt T

7、 sr n 1 T s r nT s 1 r nT s 1 e nT s T s RC RC整理后可得：r n 1 T s T s 1 r nT s T s e nT s RC RC取 T 為單位時間,即 s T s 1,可得：r n 1 RC 1 1 r n RC 1 e n 令 a 0 1 RC 1,b 0 1 RC,可得：r n 1 a 0 r n b 0 e n 從而得到描述離散系統(tǒng)的一階線形常系數差分方程；例2: 某人每月向銀行存款,當月存入無利息, 月底結算, 月利息為元/ 月；設第 k月存入 fk 元,月底結余為 yk 元, k-1 月底結余為 yk-1元,以 fk 為銀行系統(tǒng)的

8、輸入,yk 為輸出,就 yk 與fk 的關系為：即：y ky k1ky k1kfky k1y 1f此即為描述這一銀行結余系統(tǒng)的差分方程；問題：1自由響應與強制響應的區(qū)分是什么？2零輸入響應與零狀態(tài)響應的區(qū)分是什么？3在時域中對于 LTI系統(tǒng),“ 輸入輸出描述” 方式的系統(tǒng)數學 模型是什么？為什么？三、差分方程的經典解 對于形如下式描述的離散系統(tǒng)差分方程：其全響應可由以下兩種分解響應構成：完全解 /全響應 = 齊次解 /自由響應 +特解/強制響應yky hkypk完全解 /全響應 = 零輸入響應 +零狀態(tài)響應A、齊次解yhk與特解ykyxkyfkykn 0ypk的求解1、齊次解yhkan1yk1

9、 a 0齊次方程 為：yk具體考察一階齊次差分方程yka 1yk10k這里a 1yykk1 明顯,yk是一個公比為a 的幾何級數, 于是, 一階差分方程的齊次解yhk的一般形式為yhkca 1k對于 n階齊次差分方程, 齊次解是 n個形如ck的函數組合而成, 將c代入 n階齊次差分方程,就有特點方程 為：n,an1n1an2n2a00其根ii,1 ,2n稱為差分方程的 特點根 ；齊次解的形式取決于特征根,具體情形如下：當特點根為單根時,齊次解yhk的形式為：Ck當特點根為 r 重根時,齊次解yhk的形式為：C r1 kr1Cr2kr2C 1 kC 0k2、特解ypk特解的形式與鼓勵的形式相同,

10、 主要分為以下三種形式：ypkPcoskQsink方程兩邊同時除以2 得：kP2PP1,解得：P14所以得特解 強制響應 ：ypk1 42k2k2,k002故全解為ykyhypk2k2,C 1 kkC2將初始條件代入上式,可得：10C22221y h解得：kC 11 C 1C 22 C 214所以齊次解 自由響應 為：k1 42k因此,系統(tǒng)的全響應為：ykyhkypkk12k2k2,k04總結求解的過程如下：（1）由差分方程得到“ 特點方程” ,求解得到特點根；（2）由特點根得到“ 自由響應”yh k 的一般式（包含待定系數）（3）由鼓勵確定“ 強制響應”y p k 的形式（包含待定系數）（4

11、）將 yp k 代入原差分方程, 求得待定系數, 從而求得“ 強制響應”yp k （5）列出全響應表達式 y k y h k y p k （此時仍有 yh k 的待定系數待求出）（6）將初始條件代入上面的全響應表達式,求出yhk的待定系數,最終求得 “ 自由響應”yhk和“ 全響應”y kB、零輸入響應yxk與零狀態(tài)響應y fk的求解依據定義,零輸入響應是鼓勵為零時（即無鼓勵時）,僅由系統(tǒng)的初始條件所產生的響應,因此零輸入響應也就是滿意初始條件的 齊次方程的解；對于零狀態(tài)響應,因是在鼓勵之下產生的響應,因此應是非齊次方程的解（即包含齊次解和特解兩個部分）；設鼓勵 fk 在k=0時接入系統(tǒng) ,通

12、常以 y1, y 2 , ,yn描述系統(tǒng)的 初始狀態(tài) , 就對于零狀態(tài)響應, 必有：y 1 y 2 y 3 y n 0由此“ 零狀態(tài)響應意義下”初始條件可以確定零狀態(tài)響應的待定系數；例：如描述某離散系統(tǒng)的差分方程為y kf3yk212yk2 fk10,y212,求系統(tǒng)已知鼓勵kk,k0,初始狀態(tài)y 的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應；解： 1 先求零輸入響應,由差分方程得特點方程如下：2320, 解得：11,222k因此齊次方程的解為：yxkCx11 kCx2將初始狀態(tài)y10,y212代入上式,可得：0Cx 11 1Cx221,解得：Cx 111Cx 112Cx2222Cx22所以,零輸入響應y

13、xk1 k2 2k,k0（2）求零狀態(tài)響應a、求出特解（強制響應）將y由于fkk2k,k0,所以有ypkP2kpkP2代入原差分方程,得：P2k3P2k12P2k22k方程兩邊同除以2 可得：kP3P1P1,解得：P120, 可得：223所以,特解 強制響應 為：ypk12k,k0y 2 3b、 零狀態(tài)響應 應由齊次解和特解兩部分組成 yfkCf1 1 kCf22kypkCf11 kCf22k132k代入 “ 零狀態(tài)響應意義下”的初始條件y 10Cf111Cf22113 21解得：Cf1130Cf12Cf2 2 1/3 22,Cf112故零狀態(tài)響應為：yfk11k2k12kk033（4）求全響

14、應ykyxkyfk21 k2k12 k,k033總結求解的過程如下：（1）由差分方程得到“ 特點方程” ,求解得到特點根；（2）由特點根得到“ 自由響應”yx k 的一般式（包含待定系數）（3）直接將初始條件 代入 yx k ,求出待定系數,從而直接得到“ 零輸入響應”yx k ；（3）由鼓勵確定“ 強制響應”y p k 的形式（包含待定系數）（4）將 yp k 代入原差分方程, 求得待定系數, 從而求得“ 強制響應”yp k （5）列出“ 零狀態(tài)響應表達式 = 齊次解 +特解” 形式（此時有齊次解的待定系數待求出）,即y fk = yxk+ypk（6）將 “ 零狀態(tài)響應意義下” 的初始條件代

15、入上面的零狀態(tài)響應表達式,求出待定系數,最終求得“零狀態(tài)響應”y fk3y4 0作（7）“ 全響應”y k=yxk+y fky 摸索題： 在上面的例題求“ 零狀態(tài)響應” 時,能否用為“ 零狀態(tài)響應意義下”的初始條件來求解待定系數；書本上例題要求：P32 例2-6 、例 2-7 、例 2-8 ；P34 例2-9 ；P35 例2-10 2.4. 系統(tǒng)的單位沖擊響應與單位樣值響應一、單位沖擊響應對于線形時不變連續(xù)時間系統(tǒng),由單位沖激函數 t 所引起的 零狀態(tài)響應（即系統(tǒng)初始狀態(tài)為零）稱為 單位沖激響應 ,簡稱沖激響應, 用 h t 表示；沖激響應 h t 反映了系統(tǒng)特性, 或稱反映了系統(tǒng)的本質特點

16、指連續(xù)時間系統(tǒng) ；直觀上懂得,可以認為系統(tǒng)的沖激響應 h t 就表征了 系統(tǒng)本身 ；鼓勵 t System 響應 h t 初始狀態(tài)為零 沖激響應h t具體求解方法, 見教材 P36 37,該部分為“ 自學內容 ” ；二、單位樣值響應對于線形時不變離散時間系統(tǒng),由單位樣值函數 k 所引起的 零狀態(tài)響應（即系統(tǒng)初始狀態(tài)為零） 稱為 單位樣值響應 ,簡稱單位響應, 用 h k 表示；單位樣值響應 h k 反映了系統(tǒng)特性, 或稱反映了系統(tǒng)的本質特點 指離散時間系統(tǒng) ；直觀上懂得,可以認為系統(tǒng)的單位樣值響應 h k 就表征了系統(tǒng)本身 ；鼓勵kSystem 響應h k初始狀態(tài)為零 留意要點： 依據k 的定

17、義,k1k00k0因此,k 作為系統(tǒng)的輸入,僅在k0的時刻作用于系統(tǒng),在k0以后,鼓勵作用就已消逝；例1 已知某系統(tǒng)的差分方程為：y k y k 1 2 y k 2 f k 試求該系統(tǒng)的單位樣值響應 h k ；解：依據 h k 的定義,當系統(tǒng)初始狀態(tài)為零時,假如對系統(tǒng)的鼓勵輸入為k ,就系統(tǒng)的響應就是單位樣值響應 h k ；因此有下式成立：h k h k 1 2 h k 2 k （1）考慮到 h k 實質上就是一種零狀態(tài)響應（只不過輸入是 k 信號） ,系統(tǒng)初始狀態(tài)為零,因此有：h 1 h 2 0（1）遞推求初始值 h 0 和 h 1將方程（ 1）移項改寫為：h k h k 1 2 h k 2

18、 k 因此有：h 0 h 1 2 h 2 0 0 0 1 1h 1 h 0 2 h 1 1 1 0 0 1至此,在 k 0 時刻,我們已經求出了 h k 在這一時刻的響應 h 0 1；（由于在 k 0 時刻,系統(tǒng)作用有鼓勵信號 k ,因此 h 0 必需單獨求出）（2）用傳統(tǒng)解法求解在 k 0 以后的 h k 對于在k0時,由于這時k0,即此時系統(tǒng)以沒有鼓勵輸入作用,因此方程（ 1）就變?yōu)榱她R次方程,可以采納經典解法進行求解,此時的h k也就是齊次差分方程的齊次解；hkhk12 h k2 0其特點方程為：220,解得：11,22因此得齊次解為：hkC 11kC22k,k0將上面求出的初始條件h0 1代入上式并求解,可得：C 113h 1 1C 223因此,hk11 k22k,k033驗證上式,當k0時,滿意h k1,因此上式可進一步表示為：h k11k22k,k0,或者,hk11k22kk3333至此,我們就求解出了該系統(tǒng)的單位樣值響應h k；摸索題： 在本例題中,求解C 和 1C 能否用 2h 0 1和h 10作為初始條件來求解？能否用h1y2 0作為初始條件來求解？總結求解的過程如下：（1）將k 替換原差分方程的fk,將h k替換