應(yīng)用回歸分析第2章課后習(xí)題參考復(fù)習(xí)資料

1、一元線(xiàn)性回來(lái)模型有哪些基本假定？答：1.說(shuō)明變量 日 EMBED Equation. 3 0 囚 EMBED Equation. 3 區(qū)是 非隨機(jī)變量，觀(guān)測(cè)值區(qū) EMBED Equation. 3 臼 因是常數(shù)。.等方差及不相關(guān)的假定條件為這個(gè)條件稱(chēng)為高斯-馬爾柯夫()條件，簡(jiǎn)稱(chēng)條件。在此條件下，便可以得到關(guān)于回來(lái)系數(shù)的最小二乘 估計(jì)及誤差項(xiàng)方差區(qū)估計(jì)的一些重要性質(zhì)，如回來(lái)系數(shù)的最小二乘估計(jì)是回來(lái)系數(shù)的最小方差線(xiàn)性無(wú)偏 估計(jì)等。.正態(tài)分布的假定條件為在此條件下便可得到關(guān)于回來(lái)系數(shù)的最小二乘估計(jì)及因估計(jì)的進(jìn)一步結(jié)果，如它們分別是回來(lái)系數(shù) 的最及兇的最小方差無(wú)偏估計(jì)等，并且可以作回來(lái)的顯著性檢驗(yàn)及

2、區(qū)間估計(jì)。.通常為了便于數(shù)學(xué)上的處理，還要求 目 及樣本容量的個(gè)數(shù)要多于說(shuō)明變量的個(gè)數(shù)。在整個(gè)回來(lái)分析中，線(xiàn)性回來(lái)的統(tǒng)計(jì)模型最為重要。一方面是因?yàn)榫€(xiàn)性回來(lái)的應(yīng)用最廣泛；另一方面 是只有在回來(lái)模型為線(xiàn)性的假設(shè)下，才能的到比擬深入和一般的結(jié)果；再就是有很多非線(xiàn)性的回來(lái)模型可 以通過(guò)適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化變?yōu)榫€(xiàn)性回來(lái)問(wèn)題進(jìn)行處理。因此，線(xiàn)性回來(lái)模型的理論和應(yīng)用是本書(shū)探討的重點(diǎn)。.如何依據(jù)樣本三三求出 1 x 及方差S的估計(jì)；.對(duì)回來(lái)方程及回來(lái)系數(shù)的種種假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)；.如何依據(jù)回來(lái)方程進(jìn)行預(yù)料和限制，以及如何進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題的結(jié)構(gòu)分析?？紤]過(guò)原點(diǎn)的線(xiàn)性回來(lái)模型一1誤差 匚三1 仍滿(mǎn)意基本假定。求0的最小二乘估計(jì)。答:

3、0因?yàn)镼 (s而Q (0 即-2(I X IEMBED Equation. KSEE3EMBED Equation. KSEE3解得即口的最小二乘估計(jì)為證明：q (回，)=e( EMBED Equation. KSEE3 的 EMBED Equation. KSEE3 可)20 岡田)Q ( U, U )非負(fù)且在山上可導(dǎo)，當(dāng)Q取得最小值時(shí)，有EMBEDEMBED0 )=0-2( 0 EMBED Equation. KSEE3EMBED Equation. KSEE3EMBED Equation. KSEE3EMBEDEquat i on. KSEE3 可)目=o由圖1可見(jiàn)圖形略呈右偏，由圖2可

4、見(jiàn)正態(tài)概率圖中的各個(gè)散點(diǎn)基本呈直線(xiàn)趨勢(shì)，殘差在0旁邊波動(dòng)，以 認(rèn)為殘差聽(tīng)從正態(tài)分布。Equation. KSEE3四)二日 EMBED Equation. KSEE3 目可 EMBEDEquation. KSEE3Equation. KSEE3EMBED Equation. KSEE3（即殘差的期望為0,殘差以變量x的加權(quán)平均值為零）（即殘差的期望為0,殘差以變量x的加權(quán)平均值為零）2.4解：參數(shù)2 0,B 1的最小二乘估計(jì)及最大似然估計(jì)在8 （0, 2 ） 1,2,n的條件下等價(jià)。證明：因?yàn)樗云渥畲笏迫缓瘮?shù)為使得（L）最大的兇使得（L）最大的兇口就是， 的最大似然估計(jì)值。所以，在 然估計(jì)等

5、價(jià)。0 岡2. 5.證明口是口的條件下，參數(shù)B0,B1的最小二乘估計(jì)及最大似證明：假設(shè)要證明的無(wú)偏估計(jì)。國(guó) 岡岡 岡口是口的無(wú)偏估計(jì)，那么只需證明E（口）二口岡U的最小二乘估計(jì)為其中岡 X E（）（11 其中)(KI由于)=0,所以)即使得下式最?。阂?yàn)榍『镁褪亲钚《斯烙?jì)的目標(biāo)函數(shù)相同。又因?yàn)橐辉€(xiàn)性回來(lái)模型為所以E（國(guó)）=0所以E()()(所以,是口的無(wú)偏估計(jì)。2. 6解：因?yàn)?聯(lián)立式，得到因?yàn)橐驗(yàn)椋?2)又因?yàn)閲?guó)，所以故(2)2.9 驗(yàn)證(2. 63)得證。式:2.7證明平方和分解公式: 證明：2. 8驗(yàn)證：(1)證明：（1）因?yàn)樽C明:其中:注：各個(gè)因變量是獨(dú)立的隨機(jī)變量2. 10用第9

6、題證明3 0是的無(wú)偏估計(jì)量證明:注:2. 11驗(yàn)證 證明：所以有以上表達(dá)式說(shuō)明r 2及F等價(jià)，但我們要分別引入這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，而不是只引入其中一個(gè)。理由如 下：2及f, n都有關(guān)，且當(dāng)n較小時(shí)，r較大，尤其當(dāng)n趨向于2時(shí)，趨向于1,說(shuō)明x及y的相關(guān) 程度很高；但當(dāng)n趨向于2或等于2時(shí); 可能回來(lái)方程并不能通過(guò)F的顯著性檢驗(yàn)，即可能x及y都不存 在顯著的線(xiàn)性關(guān)系。所以，僅憑r較大并不能斷定x及y之間有親密的相關(guān)關(guān)系，只有當(dāng)樣本量n較大時(shí) 才可以用樣本相關(guān)系數(shù)r判定兩變量間的相關(guān)程度的強(qiáng)弱。F檢驗(yàn)檢驗(yàn)是否存在顯著的線(xiàn)性關(guān)系，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)是推斷回來(lái)直線(xiàn)及回來(lái)模型擬合的優(yōu)劣，只有二者結(jié)合起來(lái)，才

7、可以更好的回來(lái)結(jié)果的好壞。12假如把自變量觀(guān)測(cè)值都乘以2,回來(lái)參數(shù)的最小二乘法估計(jì)口和口會(huì)發(fā)生什么變化？假如把自變量觀(guān)測(cè)值都加上2,回來(lái)參數(shù)的最小二乘估計(jì)U和口會(huì)發(fā)生什么變化? 解：解法（一）：我們知道當(dāng)J1，11 時(shí)，用最小二乘法估計(jì)的,和口/人人島=y - x后ntO. 05/2(3),所以接受原假設(shè)，說(shuō)明x和Y有顯著的線(xiàn)(9)做相關(guān)系數(shù)r的顯著性檢驗(yàn)：因?yàn)樗裕?的置信區(qū)間為(-21.21, 19.21),的置信區(qū)間為(0.91,13.09)。(6)確定系數(shù)(7)計(jì)算得出，方差分析表如下：方差來(lái)源平方和自由度均方F值490149013.364110336. 6676004查表知，F(xiàn)0.

8、05(1,3)=10. 13, F值F0.05(l,3),故拒絕原假設(shè),說(shuō)明回來(lái)方程顯著。(8)做回來(lái)系數(shù)B 1的顯著性檢驗(yàn)所以，相關(guān)系數(shù)因?yàn)椴楸碇?等于3時(shí)， 3 的值為0.959, 日 %的值為0.878。所以， 目 % 目 %,故x及y有顯著的線(xiàn)性關(guān)系。(10)殘差表為：殘差圖為：序號(hào)0回岡殘差111064221013-33320200442027-75540346(11)當(dāng) XO4.2 時(shí),，即為：(17. 1, 39. 7)0其95%的置信區(qū)間近似為2. 15 解:(1)畫(huà)散點(diǎn)圖；圖形一舊對(duì)話(huà)框一散點(diǎn)圖，得到散點(diǎn)圖（表1）如下：（2） x及y之間是否大致呈線(xiàn)性關(guān)系？由上面（1）散點(diǎn)

9、圖可以看出，x及y之間大致呈線(xiàn)性關(guān)系。用最小二乘估計(jì)求出回來(lái)方程；分析一回來(lái)一線(xiàn)性，得到“回來(lái)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表（表2） ”如 下:tB*10.118.355.333每周簽發(fā)的新保單數(shù)目X.004.000.9498. 509a.:每周加班工作時(shí)間y由上表可知：00=0. 118=0. 004所以可得回來(lái)方程為：=0. 118+0. 004x0（4）求回來(lái)標(biāo)準(zhǔn)誤差；分析一回來(lái)線(xiàn)性，得到“方析分析表（表3） ”如下:EMBED Equation. KSEE3EMBED由上表可得，F(xiàn)116. 682116. 68272.396.000a1.8438.23018.5259a. : 0,每周簽發(fā)的新保單數(shù)

10、目x b.:每周加班工作時(shí)間y1.84310故回來(lái)標(biāo)準(zhǔn)誤差為:田區(qū)Equat i on. KSEE3o. 23習(xí) EMBED Equation. KSEE3 o.480 S（5）給出 及 的置信度為95%的區(qū)間估計(jì)；由表2可以看出，當(dāng)置信度為95%時(shí)，3的預(yù)料區(qū)間為：0.9370的預(yù)料區(qū)間為：0.003, 0. 005（6）計(jì)算x及y確實(shí)定系數(shù)；分析一回來(lái)線(xiàn)性，得到“模型概要表（表4） ”如下:RRR1.949a.900.888.4800a. : 0,每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x b.:每周加班工作時(shí)間y由上表可知，x及y確實(shí)定系數(shù)為0.9,可以看到很接近于1,這就說(shuō)明此模型的擬合度很好。（7）對(duì)回

11、來(lái)方程作方差分析；由“方差分析表（表3） ”可得，值二72.396,我們知道，當(dāng)原假設(shè) EMBED Equation. KSEE3成立時(shí)，f聽(tīng)從自由度為（1, 2）的F分布（見(jiàn) 日），臨界值 區(qū)（1, 2）= 目 （1, 8） =5. 32因?yàn)橹?72. 3965, 32,所以拒絕原假設(shè)，說(shuō)明回來(lái)方程顯著，即x及y有顯著的線(xiàn)性關(guān)系。（8）做回來(lái)系數(shù)因顯著性的檢驗(yàn)；由“回來(lái)系數(shù)顯著性檢驗(yàn)表（表2） ”可得，的t檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為8. 509,對(duì)應(yīng)值近似為0, p國(guó)，說(shuō)明每周簽發(fā)的新報(bào)單數(shù)目x對(duì)每周加班工作時(shí)間y有顯著的影響。（9）做相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)；分析一相關(guān)一雙變量，得到“相關(guān)分析表（表5） ”

12、如下:每周簽發(fā)的新保單 數(shù)目x每周加班工作時(shí)間y每周簽發(fā)的新保單數(shù)目x1.949*.(2).000N1010每周加班工作時(shí)間y. 949*1.(2).000N1010*.0.01 (2).由上表可知，相關(guān)系數(shù)為0.949,說(shuō)明x及y顯著線(xiàn)性相關(guān)。（10）對(duì)回來(lái)方程作殘差圖并作相應(yīng)的分析；從上圖可以看出，殘差是圍繞0隨即波動(dòng)的，滿(mǎn)意模型的基本假設(shè)。（11）該公司預(yù)料下一周簽發(fā)新保單區(qū)=1000張，須要的加班時(shí)間是多少?當(dāng) 國(guó)=1000 張時(shí) 因 0. 118+0. 004X1000=4. 118 小時(shí)。（12）給出區(qū)的置信水平為95%的精確預(yù)料區(qū)間和近似預(yù)料區(qū)間。（13）給出E （岡）置信水平為

13、95%的區(qū)間估計(jì)。最終兩問(wèn)一起解答:在計(jì)算回來(lái)之前，把自變量新值區(qū)輸入樣本數(shù)據(jù)中，因變量的相應(yīng)值空缺，然后在對(duì)話(huà)框中點(diǎn)選和計(jì)算因變量單個(gè)新值和計(jì)算因變量單個(gè)新值國(guó)和因變量平均值（國(guó)）的置信區(qū)間。結(jié)果顯示在原始數(shù)據(jù)表中，如下列圖所示（由于排版問(wèn)題，中間局部圖省略）:的精確預(yù)料區(qū)間為：2.519, 4. 887E （口）的區(qū)間估計(jì)為：3.284, 4. 123而 回的近似預(yù)料區(qū)間那么依據(jù) EMBED Equation. KSEE3回2手動(dòng)計(jì)算，結(jié)果為: 4, 118-2X0. 48, 4. 118+2X0. 48 = 3. 158, 5. 0782. 16解答：（1）繪制y對(duì)x的散點(diǎn)圖，可以用直線(xiàn)

14、回來(lái)描述兩者之間的關(guān)系嗎？如下圖：（2）由上圖可以看出，y及x的散點(diǎn)分布大致呈直線(xiàn)趨勢(shì)，所以可以用直線(xiàn)回來(lái)描述兩者之間的關(guān)系。 （3）建立y對(duì)x的線(xiàn)性回來(lái)。利用建立y對(duì)x的線(xiàn)性回來(lái)，輸出結(jié)果如下：表1表2方差分析表模型匯總模型RR方調(diào)整R方標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)的誤差1. 835a.697.6912323.256a.預(yù)料變量：（常量），X。模型平方和均方F1回來(lái)6.089E816.089E8112.811. 000a殘差2.645E8495397517.938總計(jì)8.734E850a.預(yù)料變量：（常量），Xo b.因變量：y表3系數(shù)表（a）由表1可知，x及y確定系數(shù)為 =1,說(shuō)明模型的擬合效果一般。x及y線(xiàn)性相關(guān)系數(shù)系數(shù)a模型非標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)系數(shù)t*B標(biāo)準(zhǔn)誤差試用版1（常量）12112.6291197. 76810. 113.000X