實變函數(shù)講義第二章

1、第三節(jié) 點集間的距離第二章 點集主講：數(shù)學(xué)學(xué)院Cantor集對0,1區(qū)間三等分，去掉中間一個開區(qū)間，然后對留下的兩個閉區(qū)間三等分，各自去掉中間一個開區(qū)間，此過程一直進行下去，最后留下的點即為Cantor集1.Cantor集第n次去掉的開區(qū)間留下的閉區(qū)間12n定義：令稱P=0,1- G=0,1Gc 為Cantor集Cantor集的性質(zhì)a .分割點一定在Cantor集中 Cantor集P=0,1- G=0,1Gc為閉集注：第n次共去掉2n-1個長為1/3n的開區(qū)間b. P的“長度”為0，去掉的區(qū)間長度和c. P沒有內(nèi)點( )x- x x+第 n+1次等分去掉的區(qū)間第n次等分留下的區(qū)間但由Canto

2、r集的作法知，我們要對繼續(xù)三等分去掉中間一個開區(qū)間，從而 內(nèi)至少有一點不屬于P，所以x不可能是P的內(nèi)點。證明：對任意x P, x必含在“去掉手續(xù)進行到第n次”時留下的2n個長為1/3n的互不相交的某個閉區(qū)間中d. P中的點全為聚點,從而沒有孤立點從而x為P的聚點，當然不為孤立點。 證明：對任意x P ， 只要證： 由Cantor集的作法知 而 的兩個端點定在P中，第n次等分留下的區(qū)間( )x- x x+數(shù)的進位制簡介十進制小數(shù) 相應(yīng)于 對0,1十等分二進制小數(shù) 相應(yīng)于 對0,1二等分三進制小數(shù) 相應(yīng)于 對0,1三等分說明：對應(yīng)0,1十等分的端點有兩種表示，如0.20000000.1999999

3、 （十進制小數(shù)）第一次十等分確定第一位小數(shù)第二次十等分確定第二位小數(shù)e. P的勢為 （利用二進制，三進制證明）證明思路：把0,1區(qū)間中的點都寫成三進制小數(shù)，則Cantor集的作法中去掉的點為小數(shù)位出現(xiàn)1的點的全體，從而Cantor集為小數(shù)位只是0,2的點的全體，作對應(yīng)注:Cantor集中除了分割點外,還有大量其他點.說明：三等分的端點有必要特殊考慮，因為它有兩種表示，如0.1000000 = 0.0222222 （三進制小數(shù)）0.2000000 = 0.1222222Cantor函數(shù)（Cantor集為三等分去掉中間一個開區(qū)間，如此過程一直下去） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4、( )0 1/9 1/3 2/3 1 1/21/81/43/85/87/83/4如此類似取值一直定義下去Cantor函數(shù)a.在G=0,1-P的各構(gòu)成區(qū)間上，c.當 時,規(guī)定稱 為0,1 上的Cantor函數(shù)。顯然在0,1上單調(diào)不減b.規(guī)定如前圖規(guī)定:在第n次去掉的2n-1個開區(qū)間上依次取值為Cantor函數(shù)在0,1上連續(xù)注：Cantor函數(shù)把長度為零的集合連續(xù)拉長成長度為1的集合否則，若 在x0 (0,1)處不連續(xù)，則開區(qū)間 非空，此區(qū)間中的每個數(shù)都不屬于 的值域，這與 矛盾.（端點情形類似說明）2.填滿正方形的曲線注：相應(yīng)映射 f : 0,1 0,10,1 是滿射，但不是單射如0.12090

5、909090909 與0. 都對應(yīng)到點(0.1000000 ,0.2999999 )=(0.09999999 , 0.29999999 )(各有限小數(shù)（除0外）都寫成以9為循環(huán)的小數(shù)）將填滿正方形0,10,1連續(xù)曲線0,10,10,1問:0,1 與0,10,1間不存在連續(xù)的一一對應(yīng)?0,1 與0,10,1間存在一一對應(yīng)（即單又滿），勢都為連續(xù)勢;0,1 與0,10,1間存在連續(xù)滿映射；此例引起人們對維數(shù)的重新思考(什么叫曲線，曲面)（傳統(tǒng)上認為維數(shù)即為確定整個圖形中點的位置所需的坐標個數(shù)）各方向擴大2倍2=214=228=23維數(shù)n = log2n / log2 Sierpinski墊的維數(shù)是

6、log3 / log2Cantor集的維數(shù)是log2 / log3參見：分形對象：形、機遇和維數(shù) B.Mandelbrot; 實迭代張景中； 數(shù)學(xué)的源與流張順燕； 集合與面積李惠玲; 分形藝術(shù) .cn; 分形頻道 Koch曲線的維數(shù)是log4 / log3面積有限但邊界線無限長(4/3)n的極限（20世紀上半世紀）有限維 到 無限維 (泛函分析)（20世紀下半世紀）有限維 到 分數(shù)維 (分形幾何)Mandelbrot集合Mandelbrot集合局部放大 Nova分形Newton分形3.點集間的距離 b.若 ,則 d(A,B)=0; 反之則不一定成立，如A=n - 1/n,B=n+1/n（都是閉

7、集）c.d(x,B)=0當且僅當 注：a.若x B,則d(x,B)=0;反之則不一定成立，如x=0,B=(0,1)證明：利用d(x,E) d(x,z) d(x,y) +d(y,z) z E定理 設(shè)E為Rn中非空點集 ，則d(x,E)是Rn上關(guān)于x的一致連續(xù)函數(shù)所以d(x,E)是Rn上關(guān)于x的一致連續(xù)函數(shù)。可得d(x,E) d(x,y) +d(y,E)，同理d(y,E) d(x,y) +d(x,E),故有|d(x,E)- d(y,E) | d(x,y)定理：設(shè)A為非空閉集 ， xRn ，則必有yA,使得d(x,y)=d(x,A)閉集：與E緊挨的點不跑到E外，也即E外的點與E不可能緊挨又為閉集，故

8、yA,對兩邊關(guān)于i取極限即得d(x,y)=d(x,A)證明：由 可得定理：設(shè)A,B為非空閉集，且A有界，則必有xA, yB,使得d(x,y)=d(A,B)由于A有界，故證明：由ABA有界不可少，如A=n - 1/n,B=n+1/n又B為閉集，故yB,另外對兩邊關(guān)于j取極限得d(x,y)=d(A,B)又A為閉集，從而xA ，并可得yni有界因為當ni充分大時， d(x, yni) d(x, xni ) + d(xni, yni) 1 + ( d(A,B) + 1/ni ）例：設(shè)F為R1中的有界閉集，G為開集且則存在0，使得當|x|0,取= d(F,Gc)即可.( F )G定理：設(shè)A,B為非空閉集，且A有界，則必有xA, yB,使得d(x,y)=d(A,B)定理：設(shè)F1， F2為Rn中兩個互不相交的非空閉集，則存在Rn 上的連續(xù)函數(shù)f(x) ，使得 （1）0 f(x) 1， x Rn（2） f(x)=0， x F1; f(x)=1, x F2注：可推廣到一般的拓撲空間（參見：拓撲學(xué) 教材）， 即Urysohn引理.F2F1 定理：設(shè)F為Rn中的非空閉集，f(x)為定義在F