c4-2,3方差協(xié)方差相關(guān)系數(shù)

1、C4-2 1引例 設(shè)有兩種牌號(hào)的手表，其走時(shí)誤差情況如下表試問(wèn)哪種牌號(hào)的手表質(zhì)量較好？可見(jiàn)兩種手表的平均誤差一樣概率(牌號(hào)甲)概率(牌號(hào)乙)日誤差(秒)分析：設(shè)兩種手表的走時(shí)誤差分別為 則 對(duì)于同一日誤差值，甲表的概率比乙的大，即平均說(shuō)來(lái)甲表中誤差大的占的比例較多，故從直觀上看，乙表的質(zhì)量比甲好平方偏差平方偏差的平均值對(duì) 考慮偏差偏差越小說(shuō)明質(zhì)量越穩(wěn)定絕對(duì)值運(yùn)算不方便平方偏差仍是r.v2一、方差的定義和計(jì)算1. 定義 對(duì)r.v X，若 存在,則稱(chēng)D(X)為r.v X的方差。Variance【說(shuō)明】 3實(shí)際背景數(shù)學(xué)期望r.v的平均值方差r.v與平均值的平均偏離程度34【例】設(shè)有兩種牌號(hào)的手表，其

2、走時(shí)誤差情況如下表試問(wèn)哪種牌號(hào)的手表質(zhì)量較好？概率(牌號(hào)甲)概率(牌號(hào)乙)日誤差(秒)【解】設(shè)兩種手表的走時(shí)誤差分別為 則5【例】設(shè)r.v XN（，2），求D(X)【解】由上節(jié)計(jì)算得E(X) ，又6【例】設(shè)r.v X（），求D(X)【解】由上節(jié)計(jì)算得E(X) ，又【練】設(shè)r.v XU（a , b），求D(X)【解】由上節(jié)計(jì)算得E(X) ，又所以【例】設(shè)r.v XE（），求D(X)【練】設(shè)r.v Xb（1 , p），求D(X)7證二、方差的性質(zhì)1. D( c )=0，（c為常數(shù)）;2. D( cX )=c 2 D( X )，（c為常數(shù)）;3. 對(duì)于r.vX，Y，有？特別當(dāng)X，Y相互獨(dú)立時(shí)有：獨(dú)立

3、獨(dú)立若獨(dú)立,則4. (常數(shù))問(wèn)題 若X，Y相互獨(dú)立，是否有8【例】設(shè)r.v Xb（n，p），求D(X)【解】因?yàn)槎?xiàng)分布來(lái)自n 重伯努利試驗(yàn),故有其中第 次伯努利試驗(yàn)事件 發(fā)生第 次伯努利試驗(yàn)事件 發(fā)生獨(dú)立同分布,所以又則 Xib(1 , p)9三、重要隨機(jī)變量的期望和方差離散型Xb(1,p)Xb(n,p)X ()期望pn p方差p(1p)n p(1p)連續(xù)型XU(a,b)XE()XN (，2)期望(a+b)/2方差(ab)2/122210補(bǔ)充說(shuō)明1. 標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量 一般地，若r.vX的期望和方差存在，且D(X) 0，則稱(chēng)為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量。例如：若 則易得：E(Y)0，D(Y)12. 相

4、互獨(dú)立r.v的線性組合的期望和方差 特別地，若相互獨(dú)立,且 則對(duì)于不全為零的常數(shù) 有11課堂練習(xí)已知離散型r.v X服從參數(shù)為2的泊松分布，則隨機(jī)變 量 Z=3X-2的數(shù)學(xué)期望E(Z) = .E(X) = , D(X)= .2. 設(shè)r.v X 的密度函數(shù)為 ，則3. r.v X,Y獨(dú)立,D(X) =6 , D(Y) =3,則D(2X-Y)= .4. XN(3,1),YN(2,4),X,Y獨(dú)立,則X-2Y+1 .5. XE(2),YN(-2,4),X,Y獨(dú)立,Z=X-Y,則E(Z) = , E(Z 2) = .411/227N(0 , 17) 42212四、切比雪夫不等式定理 設(shè)r.v X具有數(shù)

5、學(xué)期望E(X)，方差D(X) 2，則對(duì)于任意的正數(shù) ，不等式 成立。證明 就連續(xù)型r.v的情況來(lái)證明。設(shè)X的概率密度為f (x)，則xyO+-f (x) 又所以即切比雪夫不等式切比雪夫不等式13end14【例】 已知某種股票每股價(jià)格X的平均值為1元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.1元，為使股價(jià)超過(guò)1+a元或低于1-a元的概率小于10%，用切比雪夫不等式求a.【解】 由切比雪夫不等式令亦即：估價(jià)在0.68到1.32之間的概率為90%15C4-3協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)16一、協(xié)方差的定義及其性質(zhì)討論 r.v X，Y之間的關(guān)系故若設(shè),則 相互獨(dú)立若不獨(dú)立,如何刻畫(huà)它們之間的關(guān)系 相互獨(dú)立,則若必不獨(dú)立,它們之間必存在一定關(guān)

6、系則的方差均存在,記若的協(xié)方差稱(chēng)為問(wèn)題分析定義17性質(zhì)1.2.3.4.5.6.7.相互獨(dú)立若對(duì)任意常數(shù)有常用來(lái)計(jì)算協(xié)方差相互不獨(dú)立的r.v的和的方差計(jì)算公式18二、相關(guān)系數(shù)回顧 協(xié)方差的意義相互獨(dú)立必不獨(dú)立之間必存在某種“關(guān)系”問(wèn)題 這種“關(guān)系”到底是什么關(guān)系？又定義稱(chēng)為X,Y的相關(guān)系數(shù)考慮“標(biāo)準(zhǔn)化”的r.v從直觀上看kX , kY之間的關(guān)系與X,Y之間的關(guān)系應(yīng)無(wú)本質(zhì)差異,但它們的協(xié)方差相差了k2倍 用標(biāo)準(zhǔn)化的r.v的協(xié)方差來(lái)度量這種關(guān)系Cov(X,Y)的大小是否反映這種“關(guān)系”的密切程度?19問(wèn)題 相關(guān)系數(shù)XY刻畫(huà)了X，Y之間的什么關(guān)系？分析記均方誤差考慮X,Y之間的線性關(guān)系,以近似地表示為常數(shù)令解得即有2021定理 的充要條件是存在常數(shù)a,b使得 定義相關(guān)正相關(guān)當(dāng)時(shí),稱(chēng) 與負(fù)相關(guān)當(dāng)時(shí),稱(chēng) 與不相關(guān)當(dāng)時(shí),稱(chēng) 與22相關(guān)系數(shù)大于0(正弱相關(guān))的圖形23正相關(guān)的圖形（ ）24相關(guān)系數(shù)小于(負(fù)弱相關(guān))的圖形25負(fù)相關(guān)的圖形( )26獨(dú)立和不相關(guān)的關(guān)系X,Y 相互獨(dú)立X,Y 互不相關(guān)指X,Y之間沒(méi)有任何關(guān)系, 當(dāng)然也沒(méi)有線性關(guān)系指X,Y之間沒(méi)有線性關(guān)系,但可能有其它關(guān)系？特例相互獨(dú)立互不相關(guān)設(shè)則27不相關(guān)的兩種情況圖形28【例】【解】又因?yàn)樵O(shè)服從圓域