微分中值定理課件

1、第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用例如一、羅爾(Rolle)中值定理則至少存在一點(diǎn)使如果函數(shù)滿(mǎn)足：(2)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，(3)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等(1)在閉區(qū)間上連續(xù)，在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且取3-1 微分中值定理1幾何解釋:證在曲線弧AB上至少有一點(diǎn)C，在該點(diǎn)處的切線是水平的.在上連續(xù)，則必有最大值M和最小值m.(1)若M=m,則由此得都有(2)若所以最值不可能同時(shí)在端點(diǎn)處取得，設(shè)則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)使2證畢3注意:例如,又例如,(不滿(mǎn)足第三個(gè)條件)(不滿(mǎn)足第二個(gè)條件)(不滿(mǎn)足第一個(gè)條件)結(jié)論可能不成立.滿(mǎn)足羅爾定理的一切條件，再如，(2)結(jié)論中的在中至少有一個(gè).(1)若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿(mǎn)足,其4

2、證由介值定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾例1證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.設(shè)使設(shè)另有使在之間滿(mǎn)足羅爾定理的條件則至少存在一個(gè)（在之間）使得但為唯一實(shí)根.則在上連續(xù)，且5證例2設(shè)證明方程有三個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間.顯然，在區(qū)間上都滿(mǎn)足羅爾定理的條件，所以至少有使即方程至少有三個(gè)根.又因?yàn)橹炼嘤腥齻€(gè)根，是三次方程，故方程有三個(gè)實(shí)根，且分別在區(qū)間內(nèi).6二、拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函數(shù)滿(mǎn)足：則至少存在一點(diǎn)使注意：與羅爾定理相比條件中去掉了結(jié)論就可以寫(xiě)成了，變形：Lagrange中值公式.(2)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，(1)在閉區(qū)間上連續(xù)，7幾何解釋:證分析:弦AB方程為在曲線弧A

3、B上至少有一點(diǎn)C，在該點(diǎn)處的切線平行于弦AB.條件中與羅爾定理相差，曲線減去弦AB，所得曲線L兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等.L作輔助函數(shù)8拉格朗日中值公式關(guān)系.公式對(duì)ab時(shí)也成立，在區(qū)間上滿(mǎn)足羅爾定理的條件，則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)使得即或注意1：拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的2：介于a與b之間.3：Rolle中值定理是Lagrange中值定理的特殊情況.94：其它形式：拉格朗日中值定理又稱(chēng)有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱(chēng)有限增量公式.微分中值定理5：又名：微分學(xué)基本定理也可以寫(xiě)成與微分公式相比更加精確.10推論1：設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且則一

4、定是常數(shù)函數(shù).證且則在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日中值定理的條件，至少存在一個(gè)使即為常函數(shù).11推論2：若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且則只差一個(gè)常數(shù).與即證證畢由已知知道：由推論1知：注意：推論中的區(qū)間是任意的區(qū)間，結(jié)論仍然成立.12例3證設(shè)又即13例4若證明證設(shè)則在上滿(mǎn)足拉格朗日定理的條件，則至少存在一點(diǎn)使成立，即又即從而有14注意：用拉格朗日中值定理證明不等式的解題方法：函數(shù)的設(shè)出.選擇在哪個(gè)區(qū)間上使用拉格朗日中值定理.由的范圍，將代換掉.15例5證由上式得又即16AB設(shè)的參數(shù)方程為：則曲線上點(diǎn)處的切線的斜率為：而弦的斜率為假定點(diǎn)對(duì)應(yīng)于參數(shù)那么點(diǎn)處的切線平行于弦則有觀察17三、柯西(Cauchy)中值定理(3)使則至少存在一點(diǎn)如果函數(shù)滿(mǎn)足：(2)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，(1)在閉區(qū)間上連續(xù)，18要證只須證即則構(gòu)造函數(shù)顯然：在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且則至少存在一點(diǎn)使得即分析：滿(mǎn)足羅爾定理的條件， 19幾何解釋:在曲線弧AB上至少有一點(diǎn)在該點(diǎn)處的切線平行于弦AB.當(dāng)拉格朗日中值公式說(shuō)明：Lagrange中值定理是柯西中值定理的特殊情況.20羅爾定理拉格朗日定理柯西定理 條 件 結(jié)論在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，四、小結(jié)1.三個(gè)中值定理：21Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理注意定理成立的條件；3.