525定態(tài)、一維勢(shì)阱

1、提綱5 一維勢(shì)阱問(wèn)題 分立譜 一維無(wú)限深方勢(shì)阱* 標(biāo)準(zhǔn)化條件及解的物理意義 分立譜作業(yè)：2-5; 2-6; 2-7* 薛定諤方程例2.8 疊加態(tài)的物理意義 定態(tài)薛定諤方程4 薛定諤方程 力場(chǎng)中粒子的薛定諤方程1一、力場(chǎng)中粒子的薛定諤方程如果粒子在勢(shì)場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)，能量其薛定諤方程定義哈密頓算符（也稱能量算符）則薛定諤方程為坐標(biāo)表象中的力學(xué)量算符4 薛定諤方程2二、定態(tài)薛定諤方程兩邊除以 可得若作用在粒子上的勢(shì)場(chǎng) 不顯含時(shí)間 t 時(shí)， 薛定諤方程可用分離變量法求特解。這相應(yīng)于經(jīng)典力學(xué)中粒子機(jī)械能守恒的情況。3由于空間變量與時(shí)間變量相互獨(dú)立，所以等式兩邊必須等于同一個(gè)常數(shù)，設(shè)為E則有：4可見(jiàn)E具有能量

2、的量綱與自由粒子波函數(shù)類比它代表粒子的能量。薛定諤方程的特解為時(shí)間部分：由歸一化條件可以把A寫(xiě)到空間部分(r)。5對(duì)應(yīng)的幾率密度與時(shí)間無(wú)關(guān)由這種形式的波函數(shù)所描述的狀態(tài)稱之為定態(tài)。其波函數(shù)為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)薛定諤方程處于定態(tài)下的粒子具有確定的能量E粒子在空間的概率密度分布不隨時(shí)間變化力學(xué)量的測(cè)量值的幾率分布和平均值都不隨時(shí)間變化以后我們只研究定態(tài)問(wèn)題。6海森堡Heisenberg 德 1932 Nob 量子力學(xué)(矩陣力學(xué))薛定諤Schrodinger奧 1933 Nob 量子力學(xué)（波動(dòng)力學(xué)）狄拉克Dirac 英 1933 Nob 相對(duì)論量子力學(xué)泡利 Pauli 美 1945 Nob 泡利不相容

3、原理海森堡狄拉克泡利對(duì)量子力學(xué)做出突出貢獻(xiàn)的科學(xué)家:薛定諤7從數(shù)學(xué)上來(lái)講： E 不論為何值該方程都有解。 從物理上來(lái)講： E只有取一些特定值，該方程的解才能滿足波函數(shù)的條件：?jiǎn)沃?、有限、連續(xù)和歸一。特定的E值稱為能量本征值。特定的E值所對(duì)應(yīng)的方程稱為能量本征值方程，相應(yīng)波函數(shù)稱為能量本征函數(shù)。下面以一維定態(tài)為例，求解已知?jiǎng)輬?chǎng)的定態(tài)薛定諤方程。了解怎樣確定定態(tài)的能量E，從而看出能量量子化是薛定諤方程的自然結(jié)果。5 一維勢(shì)阱問(wèn)題 分立譜定態(tài)薛定諤方程8已知粒子所處的勢(shì)場(chǎng)為粒子在勢(shì)阱內(nèi)受力為零，勢(shì)能為零。在阱外勢(shì)能為無(wú)窮大，在阱壁上受極大的斥力。稱為一維無(wú)限深方勢(shì)阱。* 其定態(tài)薛定諤方程 一維無(wú)限深

4、方勢(shì)阱9(2) 在阱內(nèi)粒子勢(shì)能為零，滿足：(1) 在阱外粒子勢(shì)能為無(wú)窮大，滿足：方程的解必處處為零。根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件，在邊界上所以，粒子被束縛在阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。10在阱內(nèi)的薛定諤 方程可寫(xiě)為：類似于簡(jiǎn)諧振子的方程，其通解：代入邊界條件得：所以，n不能取零，否則無(wú)意義11 從能量的意義看，可有E 0，但能否E = 0呢？在限定粒子的位置范圍的情況下（在勢(shì)阱中），由不確定關(guān)系可知，動(dòng)量的不確定量應(yīng)不為零，所以動(dòng)量P 0， E 0n不能取零，否則無(wú)意義。除了波函數(shù)在阱內(nèi)、阱外不能都為零之外，還有以下原因：12因?yàn)榻Y(jié)果說(shuō)明粒子被束縛在勢(shì)阱中，能量只能取一系列分立值，即它的能量是量子化的。結(jié)論：由歸一化

5、條件13一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子其波函數(shù)：討論 零點(diǎn)能的存在 稱為基態(tài)能量 能量是量子化的，由標(biāo)準(zhǔn)化（邊界）條件而來(lái)。 稱n為量子數(shù)；n(x) 為本征態(tài)；En 為本征能量本征能量： 能級(jí)間隔14o圖示:一維無(wú)限深方勢(shì)阱中粒子的能級(jí)、波函數(shù)和幾率密度穩(wěn)定的駐波能級(jí)n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)15 能量本征值En 對(duì)應(yīng)的能量本征函數(shù)n(x) 組成完備集。能量量子數(shù) n 從 1至在坐標(biāo)表象中任何一個(gè)疊加態(tài)的波函數(shù)都可用這一組完備的本征函數(shù)展開(kāi),這組完備集滿足正交性所謂疊加態(tài)，就是各本征態(tài)以一定的幾率、確定的本征值、獨(dú)立完整的疊加在一起。實(shí)驗(yàn)上物理量的測(cè)量值，是各參加疊加態(tài)的可能的本征態(tài)的本征值?？梢杂帽菊鲬B(tài)出現(xiàn)的幾率來(lái)計(jì)算物理量的平均值。16例2.8 疊加態(tài)的物理意義 (無(wú)限深勢(shì)阱，坐標(biāo)原點(diǎn)在阱中間p348) 求疊加態(tài)的概率分布。12描述的不再是定態(tài)，兩定態(tài)的疊加表示粒子從一定態(tài)到另一定態(tài)的躍遷。若第三項(xiàng)表示振動(dòng)電偶極子的電磁輻射。電磁波的頻率正是玻爾提出的原子發(fā)光的頻率。量子力學(xué)能給出粒子在兩個(gè)定態(tài)之間的躍遷幾率，并計(jì)算輻射強(qiáng)度。17例題2.9 若粒子在0，a范圍無(wú)限深一維方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)解：1. 歸一化系數(shù)求：1 歸一化系數(shù)；2 基態(tài)的概率密度及最大值 3 0，a/2之間粒子出現(xiàn)的概率 ； 4 （基態(tài)） 5 由 驗(yàn)證不確定關(guān)系 6