大數(shù)定理討論大量隨機(jī)變量的算術(shù)平均值穩(wěn)定性的一系列定

1、大數(shù)定理：討論大量隨機(jī)變量的算術(shù)平均值穩(wěn)定性的一系列定理中心極限定理：討論在什么條件下，大量隨機(jī)變量之和的極限分布為正態(tài)分布的一系列定理第5章 中心極限定理與大數(shù)定律1. 大數(shù)定律定義 設(shè)隨機(jī)變量序列Xn,如果存在一個(gè)常數(shù)列 ,使得對(duì)任意的0，有則稱Xn服從大數(shù)定律.大數(shù)定理切比雪夫大數(shù)定理 辛欽大數(shù)定理 伯努利大數(shù)定理 馬爾可夫大數(shù)定理 泊松大數(shù)定理 定理1 (馬爾可夫大數(shù)定律)設(shè)Xn為隨機(jī)變量序列,且有則對(duì)任意的0 ,有證:定理2 (切比雪夫大數(shù)定律) 設(shè) Xn是兩兩不相關(guān)隨機(jī)變量序列,方差一致有界D(Xn)=n2 0,有證:定理3 (泊松大數(shù)定律) 設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為 ，n次

2、重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)為 ,事件的頻率 ,則對(duì)任意0,有證:定理4 (伯努里利大數(shù)定律) 設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)為 ，事件的頻率有 ,則對(duì)任意0,(伯努里利大數(shù)定律是泊松大數(shù)定律的特例)意義： Bernoulli大數(shù)定理表明當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)無限增加時(shí)事件 A 的頻率按概率收斂到事件 A 的概率.這為頻率的穩(wěn)定性提供了理論依據(jù).定理5 (辛欽大數(shù)定律)設(shè)Xi為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列,且有相同期望E(Xi)=u,(i=1,2,.),則對(duì)任意的0 ,有大數(shù)定理是參數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)的重要理論基礎(chǔ). 注意辛欽大數(shù)定理成立的條件中只需 的數(shù)學(xué)期望存在；而當(dāng)

3、的方差存在時(shí)，其即為切比雪夫大數(shù)定理的直接推論.1.中心極限定理：概率論中有關(guān)論證隨機(jī)變量和的極限分布是正態(tài)分布(Gauss)分布的一系列定理。 意義:大量的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和的分布 可近似認(rèn)為是正態(tài)分布. 這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本問題研究的理論基礎(chǔ).定理6 林德貝格-勒維定理(獨(dú)立同分布中心極限定理) 設(shè)X1,X2,X n,為獨(dú)立同分布序列,期望,方差20,設(shè)注 以上定理表明只要n比較大,就有近似結(jié)果:例1 用機(jī)器包裝味精,每袋味精凈重為隨機(jī)變量,期望值為100克,標(biāo)準(zhǔn)差為10克,一箱內(nèi)裝200袋味精,求一箱味精凈重大于20500克的概率?解設(shè)一箱凈重為X,箱中第i袋味精凈重為Xi,(i=

4、1,2,200)則 X1,X2,X200獨(dú)立同分布, EXi=100, DXi=102=100,且 由中心極限定理得X近似服從正態(tài)分布, EX=200EXi=20000,DX=200DXi=20000,所求為P(X20500)=1-P(X20500)=0.0002 故一箱味精凈重大于20500的概率為0.0002.例2 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝,每箱的重量是隨機(jī)的.假設(shè)每箱平均重50kg,標(biāo)準(zhǔn)差為5kg.若用最大載重量為5噸的汽車承運(yùn),試用中心極限定理說明每車最多可以裝多少箱,才能保障不超載的概率大于0.9772.解設(shè)Xi(i=1,2,n)為裝運(yùn)的第i箱的重量,n是所求的箱數(shù).則 X1,X2

5、,Xn獨(dú)立同分布, EXi=50, DXi=52=25,令 由中心極限定理得所以即最多可以裝98箱.定理7 若隨機(jī)變量n(n,p)(n=1,2,),則對(duì)任意ab有注 : (1) 定理稱為棣莫佛-拉普拉斯定理. (2)它表示當(dāng)n很大時(shí),二項(xiàng)分布可用正態(tài)分布近似逼近: 即 若XB(n,p),當(dāng)n很大時(shí),有近似結(jié)果XNnp,np(1-p). 定理8 (泊松定理)二項(xiàng)概率的泊松近似例3: 每顆子彈擊中飛機(jī)的概率為0.01, 連發(fā)500發(fā),求命中5發(fā)的概率.例4 某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明,在索賠戶中被盜索賠戶占20%,隨機(jī)抽查100戶,利用棣莫佛-拉普拉斯積分定理求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30

6、戶的近似值.解 設(shè)X表示100戶中被盜索賠戶數(shù),則XB(100,0.2)由棣莫佛-拉普拉斯定理得： X近似服從正態(tài)分布, EX=np=20, DX=np(1-p)=16,所以 XN(20,16)所求 P(14X30)=0.927例5 某校有4900個(gè)學(xué)生，已知每天每個(gè)學(xué)生去閱覽室自修的概率為0.1,問閱覽室要準(zhǔn)備多少座位，才能以此為準(zhǔn)99%的概率保證每個(gè)去閱覽室自修的學(xué)生都有座位。例:6某廠有400臺(tái)同類機(jī)器，每臺(tái)發(fā)生故障的概率為0.02，假如各臺(tái)機(jī)器彼此獨(dú)立，求最多2臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障的概率。解：例7：某車間有200臺(tái)獨(dú)立工作的車床，各臺(tái)車床開工的概率都是0.6，每臺(tái)開工車床要耗電1千瓦，問供電所至少要供給這個(gè)車間多少千瓦電力，才能以99.9的概率保證這個(gè)車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)。解：則查表得應(yīng)用: 用頻率代替概率時(shí)誤差的近似估計(jì)Bernoulli大數(shù)定理: 而由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理可得 已知某廠生產(chǎn)一批無線電元件,合格品占1/6 (1)選出6000個(gè)這種元件,試問在這6000個(gè)元件中, 合格品的比例與1/6之差小于1%的概率是多少?(2)選出6000個(gè)這種元件,試問誤差限定為多少時(shí),才能保證頻率與概率之差不大于 的概率為0.99? 此時(shí)合格品數(shù)落在哪個(gè)范圍內(nèi)? (3)選出多少個(gè)這種元件,使選出的這批元件中合格品的比例與1/6的差異不