四條腿的家俱問題

1、四條腿的家俱問題1椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？四條腿的家俱，如椅子、桌子等，往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而稍挪動幾次，就可以使四只腳同時著地。試建立數(shù)學(xué)模型加以解釋。 2模型假設(shè) 1.椅子四條腿一樣長；2.椅腳與地面接觸處視為一點；3.四腳的連線呈長方形;4.地面光滑，即地面高度是連續(xù)變化的，可視為數(shù)學(xué)上的光滑曲面。5.地面相對平坦，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。3問1：選擇什么量來表示長方形椅子位置的改變？用長方形繞它的對稱中心O旋轉(zhuǎn)代表椅子位置的改變。問2：這種改變?nèi)绾瘟炕?？以對角線AC為x軸，中心O為原點，建立直角坐標(biāo)系。長方形ABCD繞O逆時針旋轉(zhuǎn)角后，轉(zhuǎn)至

2、A1B1C1D1的位置，則AC與x軸正半軸的夾角表示了椅子位置的改變。4問3：椅子在某一位置是否著地如何量化？一只椅腳著地，則它到地面的豎直距離為0，否則大于0。A,B，C，D到地面的距離分別是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，且對于任意，其函數(shù)值至少有三個為0。記A,B 與C，D兩腳到地面距離之和分別為f() 與g(), 它們都是連續(xù)函數(shù)。注意：對任意，f()g()=05已知f()和g()是的連續(xù)函數(shù)，且g(0)=0，f(0)0，那么一定存在，使f()= g()=0。注意f()=g(0)=0，g()=f(0)0 令h()=f()-g(), 則h()是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)，且h(0)=f(0)-g(0)0,h()=f

3、()-g()0，于是存在，使h()=0即 f()= g()。f()=g()=0。 6進(jìn)一步思考 思考1：是否有另外的函數(shù)模型？取對角線頂點到地面的距離之和。思考2：四腳連線還可以是什么圖形時，結(jié)論依然成立？如：中心對稱圖形7雙煎餅問題桌面上放著若干塊不重疊的任意形狀的均勻煎餅，問能否一刀將這些煎餅同時平分？ 抽象為數(shù)學(xué)問題是：在平面放置著若干個任意形狀的不重疊的封閉圖形，問能否用一直線將它們的面積同時平分？8問題探索設(shè)計 1.確定多少個圖形才有可能用一條直線將它們同時平分？三角形，四邊形，圓形等等。結(jié)論1：一個或兩個。2.考察平面上只有一個封閉圖形的情形可以平分，且方式多樣。3.雙煎餅問題 平

4、面放置著兩個任意形狀的封閉圖形Q和P，證明一定能找到一條直線將它們同時平分。9向高維推廣對于空間的任意位置放置著的三個任意形狀的封閉圖形Q、P和R，一定可以找到一個平面將它們的體積同時平分。該推廣被數(shù)學(xué)家戲稱為“三明治問題”。意指必有一刀切下去，能把一個火腿三明治的火腿及上、下底面的兩塊面包各分為一半。 10在平面上，圖形Q與P之間取定一點O,過O畫水平數(shù)軸OX0。將射線OX0繞O逆時針旋轉(zhuǎn)至OX,OX0到OX的角為（001800）。可找到平分P、Q且與OX垂直的直線lP,lQ，垂足分別為BP與BQ，則BP與BQ的坐標(biāo)是關(guān)于的函數(shù)，分別設(shè)為P()與Q()，可知P()與Q()均為連續(xù)函數(shù)。且P(1800)=-P(00)，Q(1800)=-Q(00).問題轉(zhuǎn)化為，找到0,使得P(0)=Q(0)。令R()=P()-Q()，則它是關(guān)于的連續(xù)函數(shù)。 R(00)=P(00)-Q(00)=-P(1800)+Q(1800)=-P(1800)-Q(1800)=-R(1800),即R(00)R(1800)