線性空間的維數(shù)

1、 3維數(shù)基與坐標(biāo)一、向量的線性相關(guān)與線性無關(guān)定義2設(shè)V是數(shù)域P上的一個線性空間，氣,。（r 1）是V 一組向量，k ,k，,k是數(shù)域P中的數(shù)，那么向量 12ra = k a + k .a + + k a1122rr稱為向量組ai,.a2,ar的一個線性組合，有 時也說向量a可以用向 量組 ai,.a2,a,線性表出.定義3設(shè)ai,.a2, ,a ；（1）Pi, 82,撰?是V中兩個向量組，如果（1）中每個向量都可以用向量組（2）線性表出，那么 稱向量（1）可以用向量組（2）線性表出.如果（1）與（2）可以互相線性表出， 那么向量組（1）與（2）稱為等價的.定義4線性空間V中向量ai,.a2,.

2、,a, （r 1）稱為線性相關(guān)，如果在數(shù)域P 中有r個不全為零的數(shù)k,k2,k，使k a + k .a + + k a = 0.（3）ii 22rr如果向量以廣儀/。，不線性相關(guān)，就稱為線性無關(guān).換句話說，向量組 ai,.a2,a稱為線性無關(guān)，如果等式（3）只有在七=k2 = . k = 0時才成立.幾個常用的結(jié)論：單個向量a線性相關(guān)的充要條件是a = 0 .兩個以上的向量以廣儀/。, 線性相關(guān)的充要條件是其中有一個向量是其余向量的線性組合.如果向量組a ,.a，,a線性無關(guān)，而且可以被p ,P ,.。線性表出，12r12s那么r s .由此推出，兩個等價的線性無關(guān)的向量組，必含有相同個數(shù)的向

3、量.3.如果向量組a ,.a，,a線性無關(guān)，但a ,.a，,a , p線性相關(guān)，那么p12,12,可以由被ai,.a 2,a 線性表出，而且表示法是唯一的.在一個線性空間中究竟最多能有幾個線性無關(guān)的向量，顯然是線性空間的一 個重要屬性.定義5如果在線性空間V中有n個線性無關(guān)的向量，但是沒有更多數(shù)目的線性無 關(guān)的向量，那么V就稱為n維的；如果在V中可以找到任意多個線性無關(guān)的向量， 那么V就稱為無限維的.定義6在n維線性空間V中，n個線性無關(guān)的向量E點，點稱為V的一組 TOC o 1-5 h z 12n基.設(shè)a是V中任一向量，于是&點，點，a線性相關(guān)，因此a可以被基 12n點，點線性表出：12na

4、 = a + a + + a .1122nn其中系數(shù)a，a，,a是被向量a和基 ,，點唯一確定的，這組數(shù)就稱為a在 12n12n基 ,，點下的坐標(biāo)，記為（a，a，a ）.12n12n由以上定義看來，在給出空間V的一組基之前，必須先確定V的維數(shù).定理1如果在線性空間V中有n個線性無關(guān)的向量以廠氣，。，且V中任 一向量都可以用它們線性表出，那么V是n維的，而以廠氣，。就是V的一組 基.例1在線性空間Px中，1, X，X 2,，Xn-1是n個線性無關(guān)的向量，而且每一個次數(shù)小于n的數(shù)域P上的多項式都可以被它 們線性表出，所以Pxn是n維的，而1,x,X2，.，xn-1就是它的一組基.例2在n維的空間Pn中，顯然|8 = (0,0,1)n是一組基.對于每一個向量a = (%,a2,a )，都有a = a + a + + a .1 12 2n n所以(a1,%,a)就是向量a在這組基下的坐標(biāo).例3如果把復(fù)數(shù)域K看作是自身上的線性空間，