2023版高三一輪數(shù)學復習習題（新高考人教版）：練案20　高考大題規(guī)范解答系列(一)-函數(shù)與導數(shù)

1、練案20高考大題規(guī)范解答系列(一)函數(shù)與導數(shù)1(2021新高考八省聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)exsin xcos x，g(x)exsin xcos x.(1)證明：當xeq f(5,4)時，f(x)0；(2)若g(x)2ax，求a.解析(1)當xeq blcrc(avs4alco1(f(5,4)，f(,4)時，f(x)exeq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)ex0；當xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(3,4)時，f(x)exeq r(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)為增函數(shù)且f(0)0，f(x)在eq

2、blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，0)減，在eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,4)上增，因此f(x)f(0)0，恒有f(x)0；當xeq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)時，f(x)exeq r(2)coseq blc(rc)(avs4alco1(xf(,4)，exeeq sup6(f(3,4)eq r(2)，f(x)0，f(x)在eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)上為增函數(shù)，f(x)feq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)eeq sup6(f(3,4)eq r(2)sineq blc(rc)(avs4a

3、lco1(xf(,4)0；綜上所述：當xeq f(5,4)時，f(x)0成立(2)由已知得exsin xcos x2ax0，設h(x)exsin xcos x2ax且h(0)0.h(x)h(0)，0是h(x)的一個最小值點，也是一個極小值點，h(0)0，即e0cos 0sin 0a0，a2.2(2020天津卷節(jié)選)已知函數(shù)f(x)x36ln x，f(x)為f(x)的導函數(shù)(1)求曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)g(x)f(x)f(x)eq f(9,x)的單調(diào)區(qū)間和極值解析(1)f(x)x36ln x，故f(x)3x2eq f(6,x).可得f(1)1，f(1)9，所以

4、曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y19(x1)，即9xy80.(2)依題意，g(x)x33x26ln xeq f(3,x)，x(0，)從而可得g(x)3x26xeq f(6,x)eq f(3,x2)，整理可得g(x)eq f(3x13x1,x2).令g(x)0，解得x1.當x變化時，g(x)，g(x)的變化情況如下表：x(0,1)1(1，)g(x)0g(x)極小值所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)；g(x)的極小值為g(1)1，無極大值3(2021百師聯(lián)盟考試)設函數(shù)f(x)ln xeq f(a,x)(a為常數(shù))(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2

5、)不等式f(x)1在x(0,1上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍解析(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)eq f(a,x2)eq f(1,x)eq f(xa,x2)，當a0時，又x0，xa0，f(x)0，f(x)在定義域(0，)上單調(diào)遞增；當a0時，若xa，則f(x)0，f(x)單調(diào)遞增；若0 xa，則f(x)0時，f(x)在區(qū)間(0，a)上是減函數(shù)，在區(qū)間(a，)上是增函數(shù)(2)f(x)1eq f(a,x)ln x1eq f(a,x)ln x1axln xx對任意x(0,1恒成立令g(x)xln xx，x(0,1則g(x)ln xxeq f(1,x)1ln x0，x(0,1，g(x)在(

6、0,1上單調(diào)遞增，g(x)maxg(1)1，a1，故a的取值范圍為1，)4已知函數(shù)f(x)ex(ax1)，曲線yf(x)在x1處的切線方程為ybxe.(1)求a，b的值；(2)若函數(shù)g(x)f(x)3exm有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍解析(1)f(x)ex(ax1)，則f(x)ex(ax1)exaex(ax1a)，由題意知eq blcrc (avs4alco1(f1e2a1b，,f1ea1be，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b3e，)a1，b3e.(2)g(x)f(x)3exmex(x2)m，函數(shù)g(x)ex(x2)m有兩個零點，相當于函數(shù)u(x)ex(x2)的圖象與

7、直線ym有兩個交點，u(x)ex(x2)exex(x1)，當x(，1)時，u(x)0，u(x)在(1，)上單調(diào)遞增，當x1時，u(x)取得極小值u(1)e.又當x時，u(x)，當x2時，u(x)0，實數(shù)m的取值范圍為m|em05(2021廣州市調(diào)研檢測)已知a1，函數(shù)f(x)xln xax1a(x1)2.(1)若a1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論f(x)的零點個數(shù)解析(1)若a1，則f(x)xln xx1(x1)2，f(x)的定義域為(0，)，f(x)ln x2(x1)當0 x1時，f(x)1時，f(x)0.所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增(2)當a1時，f(x)x

8、ln xx1(x1)2，因為f(1)0，且f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以f(x)有1個零點當a1時，f(x)1ln xa2a(x1)1ln x2ax3a，令g(x)1ln x2ax3a，因為a1，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又f(1)g(1)1a0，所以存在實數(shù)x0eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)，使得g(x0)0.在(0，x0)上，f(x)0，f(x)是增函數(shù)所以f(x)的最小值是f(x0)，其中x0滿足f(x0)0，即1ln x02ax03a0，所以f(x0)x0ln x0ax01a(x01)2x0(3a12ax0)ax01a(x

9、01)2(1x0)(aax01)因為x0eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(3,2)，所以f(x0)0，f(3)3ln 3a10，所以f(x)有2個零點綜上所述，當a1時，f(x)有1個零點；當a1時，f(x)有2個零點6(2022河南名校模擬)已知f(x)eq f(1x,1x)ex，g(x)a(x1)(1)求曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程；(2)當a0時，若關于x的方程f(x)g(x)0存在兩個正實數(shù)根，證明：ae2.解析本題考查導數(shù)的幾何意義和利用導函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性、零點等問題(1)解：f(x)eq f(3x2,1x2)ex，f(0)3.又f(0)1，曲線yf(x)在點(0，f(0)處的切線方程為y13x，即3xy10.(2)證明：由f(x)g(x)0存在兩個正實數(shù)根，整理得方程exa(x1)(x1)存在兩個正實數(shù)根記這兩個正實數(shù)根為x1，x2(x10，知x2x11，令h(x)exaxa，則h(x)在(1，)上有兩個零點，令h(x)exa0，則xln a.當1