基本不等式的靈活應(yīng)用

1、PAGE PAGE 4題目：基本不等式的靈活應(yīng)用題目：熟能生巧，活能制勝衡東縣第一中學(xué)：覃春艷前言：重要不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）與基本不等式（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）是教材中的定理，它們都是重要的不等式，對(duì)于它及各種變式的掌握與熟練應(yīng)用是求解很多與不等式有關(guān)問題的重要方法。常見的變式及應(yīng)用：1，變式： = 1 * GB3 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”） = 2 * GB3 = 3 * GB3 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”） = 4 * GB3 或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”） = 5 * GB3 或（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”） = 6 * GB3 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）2，應(yīng)用：例1：（1）設(shè)若，則的最大值為（ ） （2）若實(shí)數(shù)滿足，則

2、的最小值是（ ） 解：（1），則，又，故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）故選（2）方法1：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”。方法2：由得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”。運(yùn)用基本不等式求最值：（1）“和定積最大”， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）（2）“積定和最小”， （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）運(yùn)用基本不等式求最值要注意必須滿足三個(gè)條件：即一正、二定、三相等。例2：（1）已知，求證：（2）已知，求證：（3）已知，則的最小值是（ ） 證明：（1）， ， 三式相加得：即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”證明（2），三式相加得即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”。解（3），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”。故選答案。點(diǎn)評(píng)：利用不等式和時(shí)，關(guān)鍵是把式子恰當(dāng)?shù)淖冃危侠順?gòu)造“和式”與“積式”的互化，

3、必要時(shí)可多次應(yīng)用，注意在多次使用時(shí)等號(hào)成立的條件。例3：（1）求函數(shù)（）的最大值；（2）已知，且，求的最小值。解（1） ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”當(dāng)時(shí)，函數(shù)（）的最大值為。（2）方法1：，且，當(dāng)且僅當(dāng)，又，即時(shí)上式取“=”故當(dāng)時(shí)，的最小值為16.方法2：由，得（定值）又，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)上式取“=”。故當(dāng)時(shí)，的最小值為16.方法3：，又，同理可得，由得：當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立。此時(shí)。即當(dāng)當(dāng)時(shí)，的最小值為16.點(diǎn)評(píng)：在利用基本不等式求最值時(shí)，除注意“一正、二定、三相等”的條件外，更重要的是需要拆、湊、構(gòu)出定值求解。即通過恰當(dāng)變形，合理拆分項(xiàng)或配湊因式從而構(gòu)造出定值（和為定值或積為定值）求解。例4：（應(yīng)用題）如圖所示，例題5：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最大值。解當(dāng)時(shí)，上述三個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立。解：可以看出，基本不等式的各種變式及其靈活應(yīng)用給予我們帶來了不僅