湖南大學(xué)微積分11-第11講無窮小量的比較

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 一元微積分學(xué) 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第十一講 無窮小量的比較1第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性本章學(xué)習(xí)要求： 了解函數(shù)極限的概念，知道運用“”和 “X ”語言描 述函數(shù)的極限。 理解極限與左右極限的關(guān)系。熟練掌握極限的四則運算法則 以及運用左右極限計算分段函數(shù)在分段點處的極限。 理解無窮小量的定義。理解函數(shù)極限與無窮小量間的關(guān)系。 掌握無窮小量的比較，能熟練運用等價無窮小量計算相應(yīng)的 函數(shù)極限。了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關(guān)系。 理解極限存在準(zhǔn)則。能較好運用極限存在準(zhǔn)則和兩個重要極 限求相應(yīng)的函數(shù)極限。 理解函數(shù)在一點連續(xù)以及在區(qū)間上連續(xù)的概念，會判斷函數(shù) 間斷點的

2、類型。了解基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的連續(xù)性以及 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（介值定理、最值定理）。 理解冪級數(shù)的基本概念。掌握冪級數(shù)的收斂判別法。2第三章 函數(shù)的極限與連續(xù)性第六節(jié) 無窮小量的比較一. 無窮小量比較的概念二. 關(guān)于等階無窮小的性質(zhì)和定理 3設(shè) , 是同一個極限過程中的兩個無窮小量.4則稱 是 的若記為高階無窮小,此時, 也可稱 是 的低階無窮小.5若為常數(shù),記為則稱 與 是同階無窮小,6若為常數(shù),則稱 為 的 k 階無窮小, 記為7則稱 是 的若記為等階無窮小, 等價無窮小必是同階無窮小,但反之不真.8不存在, 但又不是無窮大,若則稱 與 是不能比較的無窮小.9x 0 時的幾個無窮小

3、量的比較：例11011有何想法？例2證1213所以 1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) . 例314 x 0 時,不可比較的無窮小.不存在, 但不是無窮大, 與 x 是例415二. 關(guān)于等階無窮小的性質(zhì)和定理 1. 定理定理設(shè)在某一極限過程中,16證綜上所述,17限過程中的第三個變量.2. 定理z 是該極 設(shè)在某極限過程中,( 或為 ), 則若定理18由定理 1, 得, 故 lim z = . 綜上所述,設(shè) 則則設(shè) 證19設(shè)在某極限過程中, , , 則 .3. 定理傳遞性定理20無窮小量可以用其等價無窮小量替代.定理告訴我們:在計算只含有乘、除法的極限時,21例 如果在加減法中

4、用等價無窮小量替代, 則會產(chǎn)生錯誤:22將常用的等階無窮小列舉如下: 當(dāng) x 0 時23求例5解24求例6解25求例7解26求例8解27求 和差化積例9解 此題也可先在分子處加 1 減 128求例10解29證明：若在某極限過程中0, 0,在某極限過程中, 若 , 則且 0, 則 的充要條件是例11證反之,則故30由于例12解31解例13 變量代換 四則運算 等價無窮小32解例14 連續(xù)兩次使用等價無窮小替代. 等價無窮小替代33解例15 函數(shù)的性質(zhì) 等價無窮小替代 重要極限 也可再用等價無窮小替代34請看下面的定理.35定理證等價無窮小 替代36解例16 利用初等方法進(jìn)行變化, 使之能用等價無窮小替代.37解例1738解例1839解例19