傅里葉分析解析課件

1、第1章 傅里葉分析 1.1 一些常用函數(shù)1. 階躍函數(shù)2. 符號(hào)函數(shù)3. 矩形（rect）函數(shù)4. 斜坡函數(shù)三角狀（tri或）函數(shù)5. sinc函數(shù)6. 高斯函數(shù)7. 圓域（circ）函數(shù) 階躍函數(shù)(1.1.1)Step(x)x一維階躍函數(shù)(1.1.2)二維階躍函數(shù)(1.1.3)一維符號(hào)函數(shù)(1.1.4)二維符號(hào)函數(shù)(1.1.5)符號(hào)函數(shù)與階躍函數(shù)的關(guān)系 符號(hào)函數(shù) 矩形（rect）函數(shù)一維矩形函數(shù)(1.1.6)xrect(x)1D:rect(x) 矩形（rect）函數(shù)二維矩形函數(shù)（1.1.7）rect(x)rect(y)2D: 矩形（rect）函數(shù)在時(shí)域中表示理想的低通濾波器，在空域中表示一個(gè)

2、狹縫、孔徑的透過(guò)率 三角狀（tri或）函數(shù)一維三角狀（tri或 ）函數(shù) （1.1.8）1D:2D:二維三角函數(shù) 三角狀（tri或）函數(shù)（1.1.9） sinc函數(shù)一維sinc函數(shù)（1.1.10）x1D: sinc函數(shù) 是光學(xué)中最重要的函數(shù)之一，與矩形函數(shù) 互為傅里葉變換二維sinc函數(shù)（1.1.11） sinc函數(shù)2D: 高斯函數(shù)一維高斯函數(shù)的定義（1.1.12）二維高斯函數(shù)的定義（1.1.13），二維高斯函數(shù)用極坐標(biāo)表示高斯函數(shù)常用來(lái)描述激光器發(fā)出的高斯光束 圓域函數(shù)（1.1.15）極坐標(biāo)系中，圓域（circ）函數(shù) ，圓域函數(shù)為 （1.1.14） 圓域函數(shù)常用來(lái)表示圓孔的透過(guò)率。 1.2 脈

3、沖函數(shù)函數(shù)是描述物理學(xué)中質(zhì)量或能量在空間或時(shí)間上高度集中的各種現(xiàn)象，如點(diǎn)光源、點(diǎn)脈沖、點(diǎn)電荷等物理模型的數(shù)學(xué)工具。 類似普通函數(shù)的定義1.2.1 函數(shù)的定義與性質(zhì)(1.2.1a)(1.2.1b)一維沖激函數(shù)的定義二維沖激函數(shù)的定義或(1.2.2) 類似普通函數(shù)的定義 普通函數(shù)序列極限形式的定義（1.2.3） 普通函數(shù)序列極限形式的定義對(duì)函數(shù)序列中的任一函數(shù) 來(lái)說(shuō)，都有常用的表現(xiàn)形式有（1.2.4）（1.2.5）（1.2.6）（1.2.7） 廣義函數(shù)形式的定義其中， 在原點(diǎn)處連續(xù)。即（1.2.9）式得證。證明：根據(jù)積分中值定理有：一維二維（1.2.8）（1.2.9） 函數(shù)的性質(zhì) 篩選性質(zhì)（1.2

4、.10）證明：令 則 代入上式得：與定義式相比：，由積分中值定理 比例變化性質(zhì)二維（1.2.11）一維 函授與普通函數(shù)的乘積（1.2.12）1.2.2 梳狀函數(shù)一維梳狀函數(shù)的定義: comb(x)= x1(1.2. 13)0Comb(x)定義為一系列間隔為1的函數(shù)所組成的周期函數(shù)comb(x)間隔為 的等間距脈沖序列表示為下列梳狀函數(shù)形式（1.2.14）梳狀函數(shù)與普通函數(shù)的乘積（1.2.15）1.2.2 梳狀函數(shù)f(x)0 x=x0 xcomb(x).0利用comb(x)可以對(duì)函數(shù)f(x)進(jìn)行等間距抽樣.間隔分別等于a和b（a、b均大于0）二維脈沖陣列（1.2.16）xy二維梳狀函數(shù): com

5、b(x,y)= comb(x) comb(y) 1.3 卷積1.3.1 卷積的定義5.積分求函數(shù) 的面積。4.相乘1.換元( 1.3.1) 圖解法分析有助于理解卷積運(yùn)算的真正含義：換元反折(Flip)平移(Slide)相乘(Multiply)積分(Integrate)函數(shù)f(x)和h(x) 卷積圖解演示第一步 x變成a得到f(a) 和h(a)一維卷積的圖解機(jī)理第二步 h(a)反轉(zhuǎn)得h(a)第三步 h(a)沿橫軸平移x得h(xa)一維卷積的圖解機(jī)理第四步 求出f(a)和h(xa)重疊波形的面積，得到兩函數(shù)積分后的函數(shù).第五步改變x，反復(fù)重復(fù)步驟24，得到全部卷積值。一維卷積的圖解機(jī)理1.3.2

6、卷積運(yùn)算定律 交換律 分配律 結(jié)合律（1.3.2）（1.3.3）（1.3.4）1.3.3 含有脈沖函數(shù)的卷積(1.3.5)(1.3.6)證：任意函數(shù)f(x,y)與函數(shù)的卷積得出函數(shù)f(x,y)本身。而：卷積的結(jié)果是把函數(shù)f(x,y)平移到脈沖所在的空間位置 處 。練習(xí)一1.已知連續(xù)函數(shù)f(x)，若x0b0,利用d 函數(shù)可篩選出函數(shù)在x= x0+b的值，試寫出運(yùn)算式。2. f(x)為任意連續(xù)函數(shù)， a0, 求函數(shù)g(x)= f(x)d(x+a)- d(x-a)并作出示意圖。3.已知連續(xù)函數(shù)f(x)， a0和b0 。求出下列函數(shù)：(1) h(x)= f(x)d(ax-x0)(2) g(x)= f(

7、x)comb(x- x0)/b1.2.3.g(x) = f(x)d (x+a)-d (x-a)= f(x) d (x+a) - f(x)d (x-a)= f(-a) d (x+a) - f(a)d (x-a)h(x) = f(x) d (ax- x0)作圖解答(1)(2)練習(xí)二1. 利用包含脈沖函數(shù)的卷積表示下圖所示雙圓孔屏的透過(guò)率。若在其中任一圓孔上嵌入p位相板，透過(guò)率怎樣變化？ldxy(透過(guò)率=輸出/輸入)解答*=ldxyt (x, y)d (x+d/2) + d (x-d/2 ) =*p 位相板: 輸出 = 輸入 exp(jp ), 即: 透過(guò)率= exp(jp ) = -1d (x+d

8、/2 - d (x-d/2)t (x, y)=*若右邊園孔上加p 位相板, 則x0dlxyy快速搶答！sinc(x)d (x-1) =tri(x)d (x + 0.5) =sinc(x)*d (x-1) =tri(x) * d (x + 0.5) =0sinc(x-1)1x2010.5 d (x + 0.5)1x0-110.5-0.5tri(x + 0.5)0-0.510.5-1.5x1.4 相關(guān) 1.4.1 互相關(guān)兩個(gè)復(fù)函數(shù)f(x,y)和g(x,y)的互相關(guān)定義為（1.4.1）或（1.4.2）兩個(gè)復(fù)函數(shù)f和g是一維函數(shù)，互相關(guān)定義為（1.4.3）（信息處理中的重要運(yùn)算）換一種寫法，兩個(gè)函數(shù)f

9、(x,y)和h(x,y)的互相關(guān)定義為(1.4.1a)或(1.4.2a)互相關(guān)函數(shù)不具有交換性，有(1.4.3）互相關(guān)是兩個(gè)信號(hào)之間存在多少相似性的量度互相關(guān)用卷積表示相關(guān)計(jì)算要嚴(yán)格注意兩個(gè)函數(shù)的順序,以及哪個(gè)函數(shù)取復(fù)共軛.證明：根據(jù)定義可寫出設(shè)當(dāng)f和h皆為實(shí)數(shù)時(shí)，則有* 1.4.2 自相關(guān)當(dāng)f(x,y)g(x,y)時(shí)，即得函數(shù)的自相關(guān)的定義式(1.4.4)(1.4.5)或自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)：（1）自相關(guān)函數(shù)具有厄密對(duì)稱性，即(1.4.6) 當(dāng)f(x,y)是實(shí)函數(shù)時(shí)， Rff(x,y)是偶函數(shù)，即(1.4.7)此時(shí)自相關(guān)就是自卷積。（2）對(duì)于任意兩個(gè)相同函數(shù)的自相關(guān)，有(1.4.8)說(shuō)明自相關(guān)函數(shù)

10、有且僅有一個(gè)最大值，為自相關(guān)函數(shù)在x=0,y=0處的值（證明: 利用施瓦茲不等式；詳見(jiàn)教材p18）。自相關(guān)函數(shù)乃是自變量相差某一大小時(shí)，函數(shù)值間相關(guān)的量度。 1.4.3 有限功率函數(shù)相關(guān) 有一些函數(shù)不滿足絕對(duì)可積條件，其自相關(guān)也不存在，但它們模平方的平均積分卻是存在的，即(1.4.9) 1.4.3 有限功率函數(shù)相關(guān) 由于在時(shí)域中，這樣的函數(shù)具有功率單位，因此稱此類函數(shù)為有限功率函數(shù)。互相關(guān)功率(1.4.10)自相關(guān)功率(1.4.11)*1.5 正交矢量空間和正交函數(shù)系 信號(hào)分解為正交函數(shù)分量的研究方法在系統(tǒng)理論中占有重要的地位。 1.5.1 正交矢量空間xyzoijkA(1.5.1)這是信號(hào)的

11、正交分解。(1.5.2) 1.5.1 正交矢量空間(1.5.3)(1.5.4) 1.5.2 正交函數(shù)系(1.5.5)(1.5.6)第 i 項(xiàng)系數(shù)(1.5.7) 1.5.2 正交函數(shù)系(1.5.8)(1.5.9)(1.5.10) 1.5.2 正交函數(shù)系1.6 傅里葉級(jí)數(shù)恩格斯(Engels)把傅里葉的數(shù)學(xué)成就與他所推崇的哲學(xué)家黑格爾(Hegel) 的辯證法相提并論.他寫道：傅里葉是一首數(shù)學(xué)的詩(shī)，黑格爾是一首辯證法的詩(shī). 1.6.1 三角傅里葉級(jí)數(shù) 滿足狄氏條件的函數(shù) g(x) 具有有限周期,可以在(-,+ )展為三角傅里葉級(jí)數(shù):(1.6.1)展開(kāi)系數(shù)(1.6.2) 1.6.1 三角傅里葉級(jí)數(shù)利用

12、三角函數(shù)關(guān)系把上式和相比較， g(x)可改寫為(1.6.3)式中零頻分量, 基頻, 諧頻, 頻譜等概念， 奇、偶函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開(kāi)三角傅里葉展開(kāi)的例子前3項(xiàng)的和周期為t =1的方波函數(shù)an fn013頻譜圖1/22/p-2/3p 1.6.2 指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 滿足狄氏條件的函數(shù) g(x) 具有有限周期t,可以在(-,+ )展為指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù):展開(kāi)系數(shù)(1.6.4)(1.6.5)零頻分量, 基頻, 諧頻, 頻譜等概念 1.6.2 指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù) 利用歐拉公式，可證明指數(shù)傅里葉系數(shù)與三角傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系為：(1.6.6) 指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)和三角傅里葉級(jí)數(shù)是同一種級(jí)數(shù)的兩種表示方式，一種系數(shù)可由另一

13、種系數(shù)導(dǎo)出。1.6 傅里葉變換從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換函數(shù) (滿足狄氏條件) 具有有限周期t,可以展為傅里葉級(jí)數(shù):展開(kāi)系數(shù)Cn頻率為n/t的分量n級(jí)諧波頻率:n/t相鄰頻率間隔: 1/t非周期函數(shù)可以看作周期為無(wú)限大的周期函數(shù):由于t 分立的n級(jí)諧波頻率 n/t f, f: 連續(xù)的頻率變量 相鄰頻率間隔: 1/t 0, 寫作df, 求和積分展開(kāi)系數(shù),或頻率f分量的權(quán)重, G(f), 相當(dāng)于分立情形的Cn) 2exp() 2exp()()(fxjdxfxjxgdfxgpp+-+-=從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換寫成兩部分對(duì)稱的形式:這就是傅里葉變換和傅里葉逆變換從傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換 1.7.1 傅

14、里葉變換定義及存在條件 函數(shù)g(x,y)在整個(gè)x-y平面上絕對(duì)可積且滿足狄氏條件(有有限個(gè)間斷點(diǎn)和極值點(diǎn),沒(méi)有無(wú)窮大間斷點(diǎn)), 定義函數(shù)為函數(shù)g(x,y)的傅里葉變換, 記作: 由頻譜函數(shù)求原函數(shù)的過(guò)程稱為傅里葉逆變換: 1.7.1 傅里葉變換定義及存在條件為函數(shù)G(fx,fy)的傅里葉逆變換, 記作: 顯然g(x,y)和G(fx,fy)稱為傅里葉變換對(duì)x (y) 和 fx (fy )稱為一對(duì)共軛變量, 它們?cè)诓煌姆懂?時(shí)空域或頻域) 描述同一個(gè)物理對(duì)象.描述了各頻率分量的相對(duì)幅值和相移.x, y, fx , fy 均為實(shí)變量，G(fx,fy)一般是復(fù)函數(shù), G(fx,fy) =A(fx,f

15、y)e jf (fx,fy)振幅譜位相譜G(fx,fy)是g(x,y)的頻譜函數(shù) 1.7.1 傅里葉變換定義及存在條件 1.7.2 廣義傅里葉變換對(duì)于某些不符合狄氏條件的函數(shù), 求FT的方法.例: g(x,y)=1, 在(-, + )不可積對(duì)某個(gè)可變換函數(shù)組成的系列取極限不符合狄氏條件的函數(shù),函數(shù)系列變換式的極限原來(lái)函數(shù)的廣義F T可定義: g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 則 g(x,y)=lim rect(x/t)rect(y/t) t 根據(jù)廣義傅立葉變換的定義和d 函數(shù)的定義: g(x,y)=limt2sinc(tfx)sinc(tfy) = d(fx, f

16、y) t 則 rect(x/t)rect(y/t) =t2sinc(tfx)sinc(tfy) 1 = d(fx, fy)按照廣義變換的概念可以得出一系列特殊函數(shù)的FT重要推論: rect(x) =sinc(fx)rect( ) 1.7.3 虛實(shí)奇偶函數(shù)傅里葉變換的性質(zhì) 將頻譜函數(shù)G(f)分別寫成實(shí)部(余弦變換)和虛部(正弦變換), 然后根據(jù)g(x)的虛、實(shí)、奇、偶 性質(zhì)討論頻譜的相應(yīng)性質(zhì)。如果 傅里葉變換并改變函數(shù)的奇偶性，這個(gè)性質(zhì)為傅里葉變換的對(duì)稱性。 1.7.4 傅里葉變換定理（1） 線性定理 Linearity 設(shè) g(x,y) G(fx,fy), h(x,y) H(fx,fy), F

17、TFT（2）空間縮放 Scaling (相似性定理）ag(x,y)+b h(x,y)=a G(fx,fy) + b H(fx,fy)FT是線性變換 注意空域坐標(biāo)(x,y)的擴(kuò)展(a,b1),導(dǎo)致頻域中坐標(biāo)(fx,fy)的壓縮及頻譜幅度的變化. 反之亦然.g(x)x01/2-1/21g(ax) a=2x01/4-1/41fG(f)01-11空域壓縮FTFT頻域擴(kuò)展空間縮放f02-21/2g(x-a, y-b)= G(fx, fy) exp-j2p(fxa+fyb)頻率位移:原函數(shù)在空間域的相移,導(dǎo)致頻譜的位移.g(x,y) expj2p(fax+fby)= G(fx- fa, fy- fb)空間

18、位移:原函數(shù)在空域中的平移,相應(yīng)的頻譜函數(shù)振幅分布不變,但位相隨頻率線性改變.推論:由1= d (fx,fy)expj2p(fax+fby)= d (fx- fa, fy- fb)復(fù)指函數(shù)的F.T.是移位的d 函數(shù)（3） 位移定理 Shifting若g(x)代表加在單位電阻上的電流或電壓,則| g(x) |2dx 代表信號(hào)的總能量(或總功率) | G(f) |2代表能量(功率)的譜密度(單位頻率間隔的能量或功率)Parseval定理說(shuō)明,信號(hào)的能量由|G(f)|2曲線下面積給出.或者說(shuō)等于各頻率分量的能量之和能量守恒（4）帕色伐(Parseval)定理交換積分順序,先對(duì)x求積分:利用復(fù)指函數(shù)的

19、FT利用d 函數(shù)的篩選性質(zhì)Parseval定理的證明空域中兩個(gè)函數(shù)的卷積, 其FT是各自FT的乘積.g(x,y)* h(x,y)= G(fx,fy) . H(fx,fy)g(x,y) . h(x,y)= G(fx,fy) * H(fx,fy)空域中兩個(gè)函數(shù)的乘積, 其FT是各自FT的卷積.將時(shí)、空域的卷積運(yùn)算，化為頻域的乘積運(yùn)算，特別有用.亦可用于求復(fù)雜函數(shù)的FT和復(fù)雜函數(shù)的卷積（5）卷積定理交換積分順序:應(yīng)用位移定理應(yīng)用FT定義卷積定理的證明（6）自相關(guān)定理（7）傅里葉積分定理-1 1.7.5 可分離變量函數(shù)的變換 在某個(gè)坐標(biāo)系中，一個(gè)二維函數(shù)如能表示為兩個(gè)一維函數(shù)的乘積，則稱此函數(shù)在這種坐標(biāo)系中是可分離的則其傅里葉變換注意: 不可與兩個(gè)函數(shù)乘積的FT相混淆! 1.7.6 傅里葉-貝塞爾變換特別適合于圓對(duì)稱函數(shù)的FT極坐標(biāo)變換令: 則在極坐標(biāo)中:則極坐標(biāo)下的的二維傅里葉變換定義為