人教版（B版2019課標(biāo)）高中數(shù)學(xué)選擇性必修一1.2.4二面角 學(xué)案

1、 4/4二面角【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1通過(guò)學(xué)習(xí)二面角的概念及二面角的平面角，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2借助求二面角的方法和步驟的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1掌握二面角的概念，二面角的平面角的定義，會(huì)找一些簡(jiǎn)單圖形中的二面角的平面角（重點(diǎn)）2掌握求二面角的方法、步驟（重點(diǎn)、難點(diǎn)）【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、新知初探1二面角的概念（1）半平面：平面內(nèi)的一條直線(xiàn)把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面（2）二面角：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線(xiàn)叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面棱為l，兩個(gè)面分別為，的二面角的面，記作l，若A，B，則二面角也可以記作AlB，二面角的范圍為0

2、，（3）二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一點(diǎn)O，以O(shè)為垂足，分別在兩半平面內(nèi)分別作射線(xiàn)OAl，OBl，則AOB叫做二面角l的平面角2用空間向量求二面角的大小如果n1，n2分別是平面1，2的一個(gè)法向量，設(shè)1與2所成角的大小為則n1，n2或n1，n2，sinsinn1，n2二、初試身手1思考辨析（正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”）（1）二面角的范圍是eq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)（ ）（2）若二面角l的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1，n2，則二面角的平面角與兩法向量夾角n1，n2一定相等（ ）（3）二面角的大小通過(guò)平面角的大小來(lái)度量（ ）2（教材P52練習(xí)B改編）在正方體ABCD

3、A1B1C1D1中，二面角A1BCA的余弦值為（ ）Aeq f(1,2)Beq f(2,3)Ceq f(r(2),2)Deq f(r(3),3)3已知二面角l，其中平面的一個(gè)法向量m（1,0，1），平面的一個(gè)法向量n（0，1,1），則二面角l的大小可能為_(kāi)4在正方體ABCDA1B1C1D1中，二面角A1BDC1的余弦值是_三、合作探究類(lèi)型1：用定義法求二面角【例1】如圖，設(shè)AB為圓錐PO的底面直徑，PA為母線(xiàn)，點(diǎn)C在底面圓周上，若PAB是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且COAB，求二面角PACB的正弦值類(lèi)型2：用向量法求二面角【例2】如圖所示，四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都相等，ACBDO，

4、A1C1B1D1O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形（1）證明：O1O底面ABCD；（2）若CBA60，求二面角C1OB1D的余弦值類(lèi)型3：空間中的翻折與探索性問(wèn)題【例3】如圖甲，在直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，CD2AB2BC4，過(guò)A點(diǎn)作AECD，垂足為E，現(xiàn)將ADE沿AE折疊，使得DEEC取AD的中點(diǎn)F，連接BF，CF，EF，如圖乙甲乙（1）求證：BC平面DEC；（2）求二面角CBFE的余弦值【學(xué)習(xí)小結(jié)】1學(xué)會(huì)利用空間向量求二面角與定義法求二面角的方法2利用向量法求二面角的基本思想是把空間角轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)向量之間的關(guān)系首先要找出并利用空間直角坐標(biāo)系或基向量（有明顯的

5、線(xiàn)面垂直關(guān)系時(shí)盡量建系）表示出向量，然后運(yùn)用向量的運(yùn)算即可，其次要理清要求角與兩個(gè)向量夾角之間的關(guān)系【精煉反饋】1三棱錐ABCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1n2，若n1，n2eq f(,3)，則二面角ABDC的大小為（ ）Aeq f(,3)Beq f(2,3)Ceq f(,3)或eq f(2,3)Deq f(,6)或eq f(,3)2已知ABC和BCD均為邊長(zhǎng)為a的等邊三角形，且ADeq f(r(3),2)a，則二面角ABCD的大小為（ ）A30B45C60D903如圖所示，在正四棱錐PABCD中，若PAC的面積與正四棱錐的側(cè)面面積之和的比為eq r(6)8，則側(cè)面與底面所成的二面角為（ ）Aeq f(,12)Beq f(,4)Ceq f(,6)Deq f(,3)4在正方體ABCDA1B1C1D1中，E為