2滲透在棱柱中的數學思想方法

1、滲透在棱柱中的數學思想方法上海市莘莊中學 劉 坤 201100棱柱體是立體幾何中常見的重要模型之一，總結滲透在其中的數學思想方法，對提高我們的學習能力會有事半功倍的功效。一、轉化的思想方法在棱柱中的應用轉化思想是指：解題時常會遇到一些直接求解困難的問題，需要把它化成相對于自己來說是熟識的類型或分解為若干個難度較小的問題來求解，最終達到解答原問題的目的。例1 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1、B、C1的平面與平面ABC的交線記作l。（1）判斷A1C1與直線l的位置關系，并證明。（2）若AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90,求頂點A1到直線l的距離。分析：這是一類較簡單的轉化

2、問題。問題（1）要判斷并證明線線平行關系，常常轉化為證明線面平行；問題（2）中要求點A1到直線l的距離由（1）可轉化為求點B到直線A1C1的距離。解：（1） A1C1AC，A1C1平面ABC，又過A1、B、C1的平面與平面ABC的交線為l， 由線面平行的性質定理有A1C1直線l；（2） A1C1l， A1到直線l的距離等價于點B到直線A1C1的距離，方法一 過點B作BHAC，過H作HDA1C1交A1C1于點D，連結BD，則BD就是所求。在ABC中，易求BH=，又DHA1A，所以DH=1，在BHD中，易求BD=，即點A1到直線l的距離為方法二 在A1BC1中，易求A1B=,C1B=,A1C1=5

3、，由三角形等面積法可求解為。在立體幾何中，證明線線平行、線面平行、求兩異面直線所成的角、點到線（面）的距離等常常用到轉化思想，化難為易，化陌生為熟識。例2 如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長均為2，D為棱BC上一點，在截面ADC1中，ADC1=90,求：（1）點到B1截面ADC1的距離；（2）二面角D-AC1-C的大小。分析：問題（1）是求點到面的距離可轉化為等體積法求三棱錐B1-ADC1的高；問題（2）去掉枝葉就是我們常見的模型：AC是圓的直徑，D為圓上任意一點（不同于A、C），C1C垂直圓所在的平面，求二面角D-AC1-C的大小。解：（1）方法一 ADC1=90, ADDC1，又

4、ADC1C，所以AD面BB1C1C，過B1作B1MDC1，交DC1于M， 則B1M面ADC1，B1M就是所求。在Rt B1MC1中，B1C1=2，tanB1C1M= tanCDC1=2，B1M=。即到B1截面ADC1的距離為。 當點在平面的射影不能確定或難以確定時，我們通常將點到面的距離轉化為等體積問題求高。方法二 點B1到截面ADC1的距離就是三棱錐B1-ADC1的高， ADC1=90, ADDC1，又ADC1C，所以AD面BB1C1C, 得ADBC， D為BC的中點，由得： 即到B1截面ADC1的距離為。（2）方法一 過點C作CHDC1于H點，則CH面ADC1，過H作HEAC1于E點，連結

5、CE，則CEH就是所求二面角的平面角。在Rt CHE中，易求CEH=，即二面角D-AC1-C的大小為。方法二 過點D作DGAC于G點，則DG面ACC1，過點G作GFAC1交AC1于點F，連結DF，則DFG為所求二面角的平面角。（計算略）二、特殊化的思想方法在棱柱中的應用“特殊化方法”是一種重要的數學思想方法，靈活應用特殊化方法來解答客觀題，常會事半功倍，巧妙地舉出特殊值來思考綜合性問題，常會在迷失中找到目標，給我們指明方向。在立體幾何多面體中，用活特殊化方法，能輕松地幫助我們降低難度，更準確解決問題。例3 如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側面A1B1BA的面積為S，側棱C1C到側面A1B1BA的距離為h，求三棱柱ABC-A1B1C1的體積。分析：若三棱柱為特殊的直三棱柱，則其體積為，所以這題的結論應為，為解題找到了目標。本題可用割補法求解。解：方法一 如圖，將三棱柱補成一個四棱柱，顯然四棱柱的體積為Sh，所以三棱柱的體積為。方法二 根據三棱錐的體積推導方法得：將三棱柱分解成三個三棱錐得三部分體積相等，有：。例4 如圖，在三棱柱ABC