線性代數(shù)向量定義以及運算

1、關于線性代數(shù)向量的定義及運算第一張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月平面上的向量的全體：任意規(guī)定加法和數(shù)乘為：易見向量的加法和數(shù)乘滿足矩陣的8條運算規(guī)律.于是 就是平面上全體向量的集合，具有兩個封閉的運算（加法和數(shù)乘），這兩個運算適合8條規(guī)律. 4.1 向量的定義及運算 第二張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月同樣，（歐式）空間中的向量視為即實數(shù)域上所有三維向量的全體. 類似地規(guī)定向量加法和數(shù)乘，加法和數(shù)乘運算也適合8條規(guī)律.第三張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月n維行向量和n維列向量都稱為n維向量(vector)，n維向量常用小寫黑體字母表示.將2、3維向量推廣到n維向量.定義

2、4.1.1 由n個數(shù)構(gòu)成的有序數(shù)組，記作稱為n維行向量；若記作則稱 為n維列向量. 稱數(shù) 為 的第i個分量.第四張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例：n維實向量n維復向量第1個分量第n個分量第2個分量例：n-1次代數(shù)多項式系數(shù)向量n維向量的實際意義：第五張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月 時， 維向量沒有直觀的幾何形象例：確定飛機的狀態(tài)，需要以下6個參數(shù)：飛機重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機身的水平轉(zhuǎn)角機身的仰角機翼的轉(zhuǎn)角所以，確定飛機的狀態(tài)，需用6維向量第六張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定義4.1.2 設兩個向量則稱向量與相等，記作=.（1）如果它們對應的分量分別

3、相等，即（3）數(shù)量乘法：k為實數(shù)，稱向量（2）加法：稱向量為與的和，記作為 k與的數(shù)乘，記作第七張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月（5）稱 為的負向量，記作 -. 因而可以定義向量的減法運算：（4）分量全為0的向量 稱為零向量，記作0（注意區(qū)別數(shù)零和零向量）.第八張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月對任意的n維向量,及任意的數(shù)k,l，向量的線性運算滿足下面八條基本的運算規(guī)律： 向量的加法以及數(shù)與向量的數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運算，這些運算可歸結(jié)為數(shù)（分量）的加法與乘法. 顯然，向量的線性運算是矩陣的線性運算的特殊情形.第九張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定義4.1.3 全體n維實

4、行向量構(gòu)成的集合 ，對于上面定義的向量加法、實數(shù)與向量的數(shù)乘運算，構(gòu)成n維（實）行向量空間；類似地，定義n維（實）列向量空間 ；用符號 表示 或 ，稱為n維（實）向量空間.第十張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例4.1.1 設求解：第十一張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月得到的向量 稱為向量組 的線性組合，或稱 可由 線性表出.定義4.1.4 給定 中的向量 實數(shù)經(jīng)線性運算兩個向量的線性組合的幾何示意圖第十二張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月證明：由向量的線性運算，得即例4.1.2 向量 和 的幾個線性組合：例4.1.4 證明：任意n維向量 是向量組的線性組合.第十三張，PP

5、T共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月例4.1.5 令 ， 能否寫成 和 的線性組合？解：根據(jù)定義，問題即判斷向量方程是否有解. 即第十四張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月利用初等行變換將增廣矩陣化成行最簡形：解是因此 可以寫成 和 的線性組合：第十五張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月其增廣矩陣為當 是行向量空間時，上式兩端轉(zhuǎn)置，得當 是列向量空間時，其增廣矩陣為有無解.一般地，判斷 能否由向量組 線性表出，即判斷向量方程線性方程組的向量表示形式第十六張，PPT共十八頁，創(chuàng)作于2022年6月定義4.1.5 設 由 的所有可能的線性組合構(gòu)成的集合稱為由 張成（生成）的 的子集，記為 即 若 和 是非零向量，且不共線，則 表示由向量 和 確定的平面.