一元二次方程解法的綜合運(yùn)用

1、一元二次方程解法的綜合運(yùn)用內(nèi)容教學(xué)目標(biāo) (一)鞏固、掌握解一元二次方程的四種解法： (二)提高題目難度，培養(yǎng)計(jì)算能力和計(jì)算技巧，滲透換元思想； (三)培養(yǎng)觀察能力，根據(jù)題目結(jié)構(gòu)，選擇恰當(dāng)?shù)慕夥?教學(xué)重點(diǎn)的難點(diǎn) 重點(diǎn)：四種方法的綜合運(yùn)用，選擇恰當(dāng)?shù)慕夥? 難點(diǎn)：選擇恰當(dāng)?shù)慕夥?要有一定的計(jì)算能力和技巧.教學(xué)過程設(shè)計(jì) (一)復(fù)習(xí) 1.一元二次方程的一般形式是什么? 2.不完全的一元二次方程有哪幾種? 3.解一元二次方程有哪四種方法? (二)新課 同一個(gè)題目可能會(huì)有多種解法，我們應(yīng)該根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)選取恰當(dāng)?shù)慕夥?在解題過程中應(yīng)該根據(jù)算理，發(fā)揮計(jì)算技能，要有毅力計(jì)算到底，并在解題過程中隨時(shí)檢查可能出現(xiàn)

2、的錯(cuò)誤. 例1 解方程：x(x-1)=x(x+1) 分析：(啟發(fā)學(xué)生一起想)先化為一般形式.解：原方程化為(1-)x2-(1+)x=0,提取公因式x,得x(1-)x-(1+)=0,x=0,(1-)x-(1+)=0. (二次根式運(yùn)算的結(jié)果，應(yīng)化為最簡二次根式) 例2 解方程：(3x+2)2-8(3x+2)+15=0. 分析：(啟發(fā)學(xué)生一起想)不宜把(3x+2)2和8(3x+2)展開整理為一元二次方程一般形式.觀察題目的結(jié)構(gòu)可見，把3x+2換元為t，則原方程就是t的一元二次方程. 解：設(shè)3x+2=t,原方程變?yōu)閠2-8t+15=0,(t-3)(t-5)=0.所以t1=3,t2=5.即3x+2=3或

3、3x+2=5.故x1=1 3,x2=1. 注：本題也可直接寫為(3x+2)-3(3x+2)-5=0,即(3x-1)(3x-3)=0,故x1=1 3,x2=1. 例3 解方程：144x2=61-208x. 解：原方程化為144x2+208x-61=0,則a=144,b=208,c=-61.b2-4ac=2082-4144(-61)=2082+414461. (此題數(shù)據(jù)太大，不宜大乘大除，應(yīng)注意計(jì)算技巧.分解因數(shù)，提取公因數(shù)，化為連乘積) b2-4ac=(1613) 2+2242961=82 (4169961)=821225=(835) 20,原方程有實(shí)根. 例4 解方程：2(x+1)2+3(x+

4、1)(x-2)-2(x-2) 2=0. 分析：如果把各項(xiàng)展開，整理為一元二次方程的一般過程太繁.觀察題目結(jié)構(gòu)，可換元. 解：設(shè)x+1=m,x-2=n,原方程變形為2m2+3mn-2n2=0,左邊因式分解為(2m-n)(m+2n)=0,2m-n=0或m+2n=0,即2(x+1)-(x-2)=0或(x+1)+2(x-2)=0所以x1=-4 ,x2=1. 另解：也可直接寫為 2(x+1)-(x-2)(x+1)+2(x-2)=0, 2x+2-x+2=0或x+1+2x-4=0, 故 x1=-4,x2=1. 例5 解方程：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)=44. 分析：從例4的解題過程，我們再一次

5、體會(huì)到，解方程的基本思想之一是“降次”，例如把一元二次方程降次，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程. 本題是一元四次方程，我們試試能不能和因式分解法把方程(注意，必須等號一邊為0) (x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0的左邊分解因式. 解：(x+2)(x+3)(x-4)(x-5)-44=0，(x+2)(x-4)(x+3)(x-5)-44=0,(x2-2x-8)(x2-2x-15)-44=0, 令y=x2-2x-8,原方程變?yōu)閥(y-7)-44=0,即y2-7y-44=0,(y-11)(y+4)=0,y-11=0或y+4=0,即x2-2x-8-11=0或x2-2x-8+4=0. 由x2-2x-

6、19=0，得x1,2=12 ；由x2-2x-4=0,得x3,4=1. 所以 x1=1+2,x2=1-2,x3=1+,x4=1-. (三)課堂練習(xí) 1.解方程：(-x)2-(x-)(-x)=0. 2.解方程：x2+x-1=0. (1.x1=,x2=. 2.x= (四)小結(jié) 1.換元、降次是解方程的重要思路. 2.計(jì)算過程應(yīng)盡可能簡捷、合理，盡可能避免大乘大除. (五)作業(yè) 1.用適當(dāng)方法解方程： (1) x2+2=3x; (2) x2=3x+2; (3) (x-1)(x+2)=70; (4) (3-x) 2=9-x2; (5) (y+3) 2-2=0; (6) (3x-2)=2(3-x); (7) x2+(1-3)x+4+=0; (8) 2(x+1)(x+2)=3x(x+2);(9) (x+7)(x-7)=2x-50; (10) (3x-1)(x+3)=1;解關(guān)于x的方程：作業(yè)的答案或提示 當(dāng)a=b=0時(shí)，方程的解不定； 當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)a=0,bc0