《微分幾何》教學(xué)大綱

1、 微分幾何教學(xué)大綱微分幾何課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的必修專業(yè)課程，也是應(yīng)用性很強的一門數(shù)學(xué)課它是以數(shù)學(xué)分析與線性代數(shù)為主要工具的研究空間形式的一門學(xué)科作為幾何學(xué)的一個分支，古典微分幾何主要討論R3中曲線與曲面的局部性質(zhì)本課程以古典微分幾何為主，同時也適當介紹一些近代微分幾何的思想與方法由于微分幾何這門學(xué)科在科學(xué)技術(shù)和其他自然科學(xué)的領(lǐng)域中有著日趨廣泛的滲透和應(yīng)用，它的生命力至今還很旺盛，并且在內(nèi)容和方法上不斷有所更新設(shè)置本課程的目的是：一方面使學(xué)生學(xué)好作為數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)的微分幾何課，以便今后進一步學(xué)習(xí)幾何理論，為過渡到微分流形理論與Riemann幾何打好基礎(chǔ)；另一方面培養(yǎng)學(xué)生理論聯(lián)系實際和分析問題

2、、解決問題的能力，會用微分的方法刻畫曲線和曲面的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)本課程的要求是：學(xué)習(xí)者應(yīng)理解與掌握微分幾何的基本概念，基本思想與基本方法會用微分的方法刻畫曲線與曲面的局部幾何性質(zhì)，了解用積分的方法刻畫它們的一些整體性質(zhì)培養(yǎng)幾何直觀和空間圖形想象的能力，從具體到抽象的能力先修課程要求：數(shù)學(xué)分析，高等代數(shù)，空間解析幾何，常微分方程本課程計劃：72學(xué)時，4學(xué)分選用教材：陳維桓編著，微分幾何初步，北京大學(xué)出版社，1990教學(xué)手段：課堂講授為主，習(xí)題課與討論課為輔考核方法：考試教學(xué)進程安排表周次學(xué)時數(shù)教學(xué)主要內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)備注12微分幾何簡介，正交標架，向量函數(shù)及其運算與性質(zhì)講課12參數(shù)曲線，正則曲線的概念，

3、切向量、切線與法平面的計算，曲線的弧長，弧長參數(shù)講課22曲線的曲率，曲率向量，主法向量，次法向量，密切平面，從切平面，F(xiàn)renet標架，各種方程的計算講課與習(xí)題課相結(jié)合22撓率的概念，F(xiàn)renet公式及其應(yīng)用，撓率的計算講課與習(xí)題課相結(jié)合32曲面論基本定理及其證明講課32曲面在一點的標準展開，近似曲線及其計算，階切觸的概念及其充要條件，曲率圓、曲率半徑、曲率半徑講課42平面曲線的相對曲率，旋轉(zhuǎn)指標的概念，旋轉(zhuǎn)指標定理講課42參數(shù)曲面片，參數(shù)曲線網(wǎng)，曲面的定義講課52切平面和法線的方程，切向量與切空間，自然標架，講課與習(xí)題課相結(jié)合52微分的幾何解釋，曲面的第一基本形式，講課62正交參數(shù)曲線網(wǎng)的充

4、要條件及其存在性定理講課62切映射，保長對應(yīng)和保角對應(yīng)講課72可展曲面的概念及其充要條件講課72曲面的第二基本形式及其應(yīng)用講課82法曲率的概念及其幾何意義，漸近方向與漸近曲線講課82Gauss映射的概念及其切映射，Weingarten映射的概念，主方向與主曲率的概念講課92Euler公式，臍點的概念，曲率線的概念，Rodriques定理及其證明講課92主方向與主曲率的計算，Gauss曲率與平均曲率的概念及計算公式，曲率線網(wǎng)的方程講課102曲率線網(wǎng)的充要條件，Gauss曲率的幾何意義，第三基本形式講課與習(xí)題課相結(jié)合102Dupin標形，曲面在一點的標準展開，曲面上的點的分類講課112全臍曲面與極

5、小曲面講課112Rn中k維曲面或超曲面的各種曲率的定義和計算討論課122Einstein和式約定，Christoffel記號及其計算Gauss公式，Weingarten公式及其證明講課122曲面的唯一性定理及其證明講課132Gauss方程，Codazzi方程及其證明講課132曲面的存在性定理及其證明講課142Gauss定理及其證明講課142測地曲率和測地撓率的概念及其幾何意義，Liouville公式及其證明講課152測地線的概念，曲線為測地線的充要條件，測地線的方程講課152Rn中k維曲面或超曲面的Gauss方程與測地線討論課162弧長第一變分公式測地線的局部短程性，測地線的局部存在性講課16

6、2測地平行坐標系講課172法坐標系，測地極坐標系講課172常曲率曲面的分類定理講課182GaussBonnet公式及其應(yīng)用講課182復(fù)習(xí)習(xí)題課第一章預(yù)備知識一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，要求會在空間中建立正交標架，從而將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題進行討論，能熟練應(yīng)用不同標架下兩種坐標之間的轉(zhuǎn)換公式解決相關(guān)問題，以及運用正交標架表示剛體運動；熟練掌握向量的各種基本運算與向量函數(shù)的微積分運算，以及各種運算的幾何意義與性質(zhì)，并會用它們解決或描述一些簡單幾何問題本章計劃2課時二、課程內(nèi)容11標架正交標架的概念與建立不同標架下同一點兩種坐標之間的轉(zhuǎn)換公式用正交標架表示剛性運動12向量函數(shù)向量代數(shù)的基本運算（線

7、性運算、數(shù)量積和向量積）及其基本性質(zhì)與幾何意義向量函數(shù)的極限、連續(xù)、微分、Taylor展開式及積分用向量函數(shù)的微分方程描述簡單的幾何問題.三、教學(xué)基本要求理解：正交標架的概念，向量的基本運算與向量函數(shù)的極限，微積分運算掌握：坐標轉(zhuǎn)換公式，用向量函數(shù)的微分方程描述簡單的幾何問題了解：用正交標架表示剛性運動四、重點、難點提示和教學(xué)手段（一）重點、難點1一點在不同標架下兩種坐標之間的轉(zhuǎn)換公式2用正交標架表示剛性運動3向量的基本運算及其性質(zhì)4向量函數(shù)的微積分學(xué)，基本運算及其性質(zhì)（二）教學(xué)手段課堂講授與習(xí)題課相結(jié)合五、思考與練習(xí)思考：中向量值函數(shù)的基本計算與微積分運算注：思考與練習(xí)的形式有教師自行確定，

8、下同第二章曲線論一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，熟練掌握曲線論的一些基本概念及其幾何意義理解曲線的曲率和撓率是如何刻畫曲線的彎曲程度的掌握曲線的局部結(jié)構(gòu)和基本定理會用Frenet標架解決相關(guān)問題和用Frenet公式證明有關(guān)結(jié)論本章計劃12課時二、課程內(nèi)容21參數(shù)曲線曲線的基本概念及其參數(shù)方程參數(shù)曲線的切向量，切線與法平面的概念，以及它們在各種曲線方程下的計算方法曲線的光滑性與參數(shù)變換與有向正則曲線的概念22曲線的弧長曲線弧長的求法弧長參數(shù)方程的概念與求法曲線弧長與參數(shù)選取的無關(guān)性曲線的參數(shù)為弧長參數(shù)的充分必要條件23曲線的曲率和Frenet標架曲線的曲率、曲率向量、主法向量與次法向量的概念與幾何意

9、義，以及它們在弧長參數(shù)方程下和一般參數(shù)方程下的求法曲線在某點的Frenet標架曲線在某點的主法線，次法線，從切平面和密切平面的概念與幾何意義，以及它們在弧長參數(shù)下方程的計算公式24撓率和Frenet公式撓率的概念與幾何意義在弧長參數(shù)下和一般參數(shù)方程下?lián)下逝c密切平面方程的求法非直線的曲面為平面曲線的充要條件Frenet公式及其應(yīng)用25曲線論基本定理曲線的弧長、曲率和撓率的剛性曲線論基本定理及其證明，以及曲線的內(nèi)在方程26曲線在一點的標準展開曲線在r(0)處的局部規(guī)范形式（即Bouquet公式）曲線在r(0)處的近似曲線兩條曲線有階切觸的概念，幾何意義與性質(zhì)曲率圓，曲率中心和曲率半徑的概念及其幾何

10、意義27平面曲線平面曲線的相對曲率及其幾何意義旋轉(zhuǎn)指標的概念與旋轉(zhuǎn)指標定理三、教學(xué)基本要求理解：曲率、撓率、切線、兩種向量和兩種切平面的概念與幾何意義曲線論基本定理及其證明平面曲線的相對曲率的概念與幾何意義掌握：Frenet標架與Frenet公式的應(yīng)用，局部規(guī)范形式了解：曲線論基本定理及其證明，近似曲線的概念與計算，曲率圓、曲率中心與曲率半徑的概念與幾何意義旋轉(zhuǎn)指標與旋轉(zhuǎn)指標定理四、重點、難點提示和教學(xué)手段（一）重點、難點1曲線基本概念及其幾何意義，在各種曲線方程下切線、法平面的計算2弧長與參數(shù)選取的無關(guān)性3曲率，曲率向量，主法向量和次法向量的求法和幾何意義，F(xiàn)renet標架的建立的條件4撓率

11、的計算和幾何意義，F(xiàn)renet公式的應(yīng)用5弧長，曲率和撓率的剛性，曲線論基本定理及其證明6 Bouquet公式的推導(dǎo)，近似曲線的求法兩條曲線有階切觸的充要條件，曲率圓的幾何意義7旋轉(zhuǎn)指標定理（二）教學(xué)手段課堂講授與討論課、習(xí)題課相結(jié)合五、思考與練習(xí)思考：Rn中的曲線的曲率與撓率的定義與計算（注：思考與練習(xí)的形式有教師自行確定）第三章曲面的第一基本形式一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，要求正確理解曲面的定義，掌握曲面第一基本形式及其幾何意義，為今后學(xué)習(xí)Riemann幾何打好基礎(chǔ)會用第一基本形式計算曲面上一些幾何量（如曲面上曲線弧長，曲線的夾角，曲面上閉區(qū)域的面積）理解向量值函數(shù)的微分的幾何解釋，加深對

12、數(shù)學(xué)分析中微分的理解掌握可展曲面的定義與基本特征本章計劃14課時二、課程內(nèi)容31曲面的定義參數(shù)曲面片、參數(shù)曲線網(wǎng)、曲紋坐標與正則曲面片的概念曲面的定義以及曲面的參數(shù)變換幾種常見的曲面及其參數(shù)方程32切平面和法線曲面上的切向量以及曲面在其任意一點的切空間的概念曲面的切平面和法線的求法自然標架的建立向量函數(shù)微分的幾何解釋33曲面的第一基本形式曲面的第一基本形式及其幾何意義，近代引進第一基本形式的方法通過第一基本量計算曲面上曲線的弧長，兩條相交曲線的夾角，曲面上有界閉區(qū)域面積正交參數(shù)曲線網(wǎng)的定義及其充要條件34曲面上正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性定理及其證明35保長對應(yīng)和保角對應(yīng)切映射

13、的概念及其幾何意義，切映射在自然基底下的矩陣保長對應(yīng)的概念，幾何意義與性質(zhì)一些簡單的保長對應(yīng)的建立保角對應(yīng)的概念，幾何意義與性質(zhì)任意兩個正則曲面之間的保角對應(yīng)的存在性，一些簡單的保角對應(yīng)的建立36可展曲面可展曲面的概念及其充要條件可展曲面的分類以及可展曲面局部性質(zhì)三、教學(xué)基本要求理解：正則曲面片，曲面的定義以及曲面的參數(shù)變換，自然標架的建立，曲面的第一基本形式及其幾何意義切映射的概念及其幾何意義保長映射與保角映射的概念，幾何意義以及它們的性質(zhì)可展曲面的概念掌握：參數(shù)曲面片、參數(shù)曲線網(wǎng)，曲紋坐標，幾種常見曲面及其參數(shù)方程熟練掌握曲面上的切向量，曲面在其任意一點的切空間的概念，以及曲面的切平面和法

14、線的求法會用第一基本量計算曲面上曲線的弧長，兩條相交曲線的夾角，有界閉區(qū)域的面積切映射在自然基底下的矩陣會建立一些簡單的保長對應(yīng)和保角對應(yīng)可展曲面的充分必要條件，分類以及局部性質(zhì)了解：向量函數(shù)微分的幾何解釋，近代引進第一基本形式的方法，正交參數(shù)曲線網(wǎng)的存在性定理及其證明任意兩個正則曲面之間的保角對應(yīng)的存在性四、重點、難點提示和教學(xué)手段（一）重點、難點1曲面的定義2切空間的定義，微分dr的幾何解釋3曲面的第一基本形式的幾何意義及其相關(guān)量的計算4切映射的概念，幾何意義，在自然基底下的矩陣保長對應(yīng)與保角對應(yīng)的概念，性質(zhì)簡單保長（角）對應(yīng)的建立5可展曲面的概念，充要條件，分類定理及其局部性質(zhì)（二）教學(xué)

15、手段課堂講授與習(xí)題課相結(jié)合五、思考與練習(xí)第四章曲面的第二基本形式一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，熟練掌握曲面的第二基本形式及其幾何意義掌握曲面上曲線的法曲率、主曲率、Gauss曲率和平均曲率等一些概念與計算公式理解它們是如何刻畫曲面的彎曲程度的理解Gauss映射與Weingarten映射在刻畫曲面性質(zhì)上的應(yīng)用，為進一步學(xué)習(xí)子流形幾何打好基礎(chǔ)本章計劃18課時二、課程內(nèi)容41第二基本形式曲面的第二基本形式的概念，幾何意義與計算通過第二基本形式刻畫正則曲面是平面或球面的充分必要條件42法曲率曲面上曲線的法曲率的定義、計算、性質(zhì)與幾何意義漸近曲線，漸近方向的概念與計算參數(shù)曲線網(wǎng)是漸近曲線網(wǎng)的充要條件以及曲

16、線為漸近曲線的充要條件43 Gauss映射和Weingarten映射Gauss映射的概念及其切映射在自然基底下的矩陣Weingarten映射的概念及自然基底在Weingarten映射下的像Weingarten映射與第二基本形式的關(guān)系主曲率與主方向的概念與幾何意義Euler公式及其證明與應(yīng)用臍點、圓點的概念曲率線的概念與Rodriques定理曲面上曲線為曲率線的充要條件44主方向和主曲率的計算主方向與主曲率的計算Gauss曲率和平均曲率的概念和計算，以及它們與保持定向的參數(shù)變換的無關(guān)性曲率線方程的求法參數(shù)曲線網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的概念及其充要條件Weingarten映射在自然基底下矩陣的推導(dǎo)Gauss曲

17、率的幾何意義曲面的第三基本形式以及第一、二、三基本形式之間的關(guān)系45Dupin標形和曲面在一點的標準展開曲面在一點的Dupin標形曲面上的橢圓點，雙曲點和拋物點的概念曲面在一點的標準展開及近似曲面46某些特殊曲面常曲率曲面的性質(zhì)與分類極小曲面的概念及其幾何意義，R3中極小曲面的充要條件及其方程三、教學(xué)基本要求理解：第二基本形式的概念曲面上曲線的法曲率的概念漸近曲線、漸近方向的概念Gauss映射，Weingarten映射，臍點、圓點的概念曲率線的概念Gauss曲率與平均曲率的概念曲率線網(wǎng)的概念Gauss曲率的幾何意義曲面在一點的Dupin標形曲面上的橢圓點、雙曲點和拋物點的概念極限曲面的概念及其

18、幾何意義掌握：第二基本形式的幾何意義與計算會用第二基本形式刻畫正則曲面是平面或球面的充分必要條件法曲率的計算、性質(zhì)與幾何意義漸近曲線方程、漸近方向的計算主曲率與主方向的概念與幾何意義Euler公式及其證明與應(yīng)用Rodriques定理曲面上曲線為曲率線的充要條件主方向與主曲率的計算Gauss曲率與平均曲率的計算參數(shù)曲線網(wǎng)是曲率線網(wǎng)的充分必要條件Weingarten映射在自然基底下矩陣的推導(dǎo)曲面上點的分類常曲率曲面的性質(zhì)與分類了解：參數(shù)曲線網(wǎng)是漸近曲線網(wǎng)的充要條件以及曲線為漸近曲線的充要條件Gauss映射的切映射在自然基底下的矩陣Weingarten映射與第二基本形式之間的關(guān)系了解Gauss曲率與

19、平均曲率與保持定向的參數(shù)變換的無關(guān)性第三基本形式及其第一、二、三基本形式之間的關(guān)系曲面在一點的標準展開及近似曲面R3中極小曲面的充要條件及其方程的求法四、重點、難點提示和教學(xué)手段（一）重點、難點1第二基本形式及其幾何意義，會用第二基本量刻畫某些特殊曲面的性質(zhì)2法曲率的計算與幾何意義，曲面上漸近曲線網(wǎng)的充要條件3 Gauss映射的幾何意義及應(yīng)用4 Weingarten映射的概念和幾何意義，及其和第二基本形式的關(guān)系5主曲率與主方向的概念與計算公式6 Gauss曲率和平均曲率的概念與計算公式7 Gauss曲率的幾何意義8曲面在一點的局部性質(zhì)曲面上點的分類9常曲率曲面的性質(zhì)與分類10極小曲面的幾何意義

20、與充要條件（二）教學(xué)手段課堂講授與習(xí)題課相結(jié)合五、思考與練習(xí)（注：思考與練習(xí)的形式有教師自行確定）第五章曲面論基本定理一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，要求理解曲面的基本公式（即Gauss公式與Weingarten公式），掌握第一、二基本形式之間的關(guān)系（即Gauss方程、Codazzi方程），以及曲面的存在性定理與唯一性定理掌握Gauss絕妙定理及其簡單應(yīng)用了解法曲率的幾何意義本章計劃6課時二、課程內(nèi)容51自然標架的運動公式Einstein和式約定與Christoffel記號曲面基本公式（Gauss公式，Weingarten公式）及其幾何意義與證明聯(lián)絡(luò)系數(shù)計算公式的推導(dǎo)過程及其幾何意義52曲面的唯一

21、性定理曲面的唯一性定理及其證明通過切映射描述曲面的唯一性定理53曲面論基本方程曲面的基本方程（Gauss方程、Codazzi方程）及其幾何意義與推導(dǎo)過程，Riemann符號特殊參數(shù)曲線網(wǎng)下，Gauss方程與Codazzi方程的具體形式以及Riemann符號的計算54曲面的存在性定理曲面的存在性定理及其證明55Gauss定理Gauss絕妙定理及其證明正交參數(shù)曲面網(wǎng)下Gauss曲率的計算通過Gauss曲率描述可展曲面的充要條件曲面的法曲率的幾何意義三、教學(xué)基本要求理解：曲面的唯一性定理及其證明通過切映射描述曲面的唯一性定理Gauss方程，Codazzi方程，Riemann符號Gauss絕妙定理曲面

22、的法曲率的幾何意義掌握：Gauss公式，Weingarten公式及其幾何意義與證明聯(lián)絡(luò)系數(shù)的計算公式的推導(dǎo)及其幾何意義Gauss方程，Codazzi方程的幾何意義，推導(dǎo)過程及其具體形式Riemann符號的計算正交參數(shù)曲線網(wǎng)下Gauss曲率的計算會用Gauss曲率描述可展曲面的充要條件了解：Einstein和式約定與Christoffel記號曲面的存在唯一性定理及其證明法曲率的幾何意義四、重點、難點提示和教學(xué)手段（一）重點、難點1 Gauss公式與Weingarten公式及其幾何意義2曲面唯一性定理及其證明3 Gauss方程、Codazzi方程的形式及其幾何意義4曲面論存在性定理及其證明5 Ga

23、uss定理，用Gauss曲率描述可展曲面的充要條件，證明曲面的法曲率包含了曲面形狀的全部信息（二）教學(xué)手段課堂講授與習(xí)題課相結(jié)合五、思考與練習(xí)（注：思考與練習(xí)的形式有教師自行確定）第六章測地曲率和測地線一、學(xué)習(xí)目的通過本章的學(xué)習(xí)，掌握測地線及其局部存在性與局部短程性掌握弧長第一變分公式，會用Liouville公式解決相關(guān)問題掌握測地平行坐標系，法坐標系和測地極坐標系的概念與建立，會用這些坐標系解決相關(guān)問題熟練掌握常曲率曲面的分類掌握GaussBonnet公式及其幾何意義，以及常曲率曲面上測地三角形的內(nèi)角和的計算本章計劃18課時二、課程內(nèi)容61測地曲率和測地撓率測地曲率、測地撓率的概念與幾何意義，測地曲率是內(nèi)蘊量的證明測地曲率的計算，Liouville公式及其證明非直線的漸近曲線的測地撓率為零的證明62測地線測地線的概念及其幾何意義曲面上曲線為測地線的各種充要條件弧長的第一變分公式以及變分曲線中測地線長度達臨界值63測地坐標系測地線族的概念測地線局部存在性定理測地平行坐標系的概念與幾何意義，測地平行坐標系下的第一基本形式測地圓的概念與Gauss引理指數(shù)映射，法坐標系的概念法坐標系下第一基本形式測地極坐標系的概念測地極坐標下第一基本形式64常曲率曲面常曲率曲面的第一基本形式常曲率曲面的分類及其證明65曲面