《同調(diào)代數(shù)》教學(xué)大綱

1、 同調(diào)代數(shù)教學(xué)大綱前 言同調(diào)代數(shù)課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)選修課程。同調(diào)代數(shù)初成于上世紀(jì)40年代中期，是由著名數(shù)學(xué)家S.Eilenberg與S.Maclane等人的一系列重要工作奠基而成的一門學(xué)科，它的思想方法主要來(lái)自代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中的復(fù)形的同調(diào)理論，它的研究對(duì)象主要是環(huán)模以及環(huán)模上的復(fù)形。在發(fā)展的過(guò)程中，同調(diào)代數(shù)充分地使用了范疇論中的方法和理論（因此使同調(diào)代數(shù)的一些結(jié)果可應(yīng)用于更廣的對(duì)象），并以Hom、以及它們的導(dǎo)出函子Ext、Tor作為最基本的函子，所以它能有效地給出環(huán)類的一些同調(diào)不變量（同調(diào)維數(shù)），使同類的環(huán)（尤其是同構(gòu)的環(huán)）具有相同的同調(diào)不變量，從而給環(huán)論的研究提供了一個(gè)有力的新工具。

2、現(xiàn)在，同調(diào)代數(shù)作為一種有力的工具已被應(yīng)用于群論、交換代數(shù)、代數(shù)幾何、微分幾何、代數(shù)拓?fù)?、微分拓?fù)?、?shù)論、偏微分方程、非交換調(diào)和分析等學(xué)科，并越來(lái)越受到重視。設(shè)置本課程的目的是：向?qū)W生介紹同調(diào)代數(shù)中最基礎(chǔ)的，也是最精彩的內(nèi)容：主要是同調(diào)，上同調(diào)，Tor, Ext和導(dǎo)出函子的定義和性質(zhì),同時(shí)介紹三類特殊的模投射模、*模、平坦模它們的概念和由模對(duì)它們的分解而定義的同調(diào)不變量投射維數(shù)、*維數(shù)、平坦維數(shù)。學(xué)習(xí)本課程的要求是：學(xué)生應(yīng)了解同調(diào)代數(shù)中最基礎(chǔ)的知識(shí)，掌握Hom、以及它們的導(dǎo)出函子Ext、Tor的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)，并將其作用于三種典型的特殊模類投射模、*模、平坦模而得出各自不同的同調(diào)不變量。要求學(xué)生

3、了解上述性質(zhì)的同時(shí)，能夠熟悉同調(diào)代數(shù)研究的方法，并能將其作為一種有力的工具應(yīng)用到其他代數(shù)領(lǐng)域的研究。先修課程要求：線性代數(shù)，高等代數(shù)，近世代數(shù)。本課程計(jì)劃：40學(xué)時(shí)，2學(xué)分選用教材：佟文廷編著，同調(diào)代數(shù)引論，高等教育出版社（1998）教學(xué)手段：課堂講授為主，學(xué)生報(bào)告為輔考核方法：考查教學(xué)進(jìn)程安排表周次學(xué)時(shí)數(shù)教學(xué)主要內(nèi)容教學(xué)環(huán)節(jié)備注14第一章范疇與函子及其在模論中的應(yīng)用1.1范疇講課241.2函子與自然變換講課341.3環(huán)模的張量積與函子講課與報(bào)告結(jié)合441.4模正合列與圖追蹤法講課與報(bào)告結(jié)合541.5函子Hom與的正合性講課與報(bào)告結(jié)合641.6直和與直積講課與報(bào)告結(jié)合741.7預(yù)加法范疇中Ho

4、m、與直和、直積的關(guān)系講課與報(bào)告結(jié)合842.1投射模與投射維數(shù)講課與報(bào)告結(jié)合942.2*模與*維數(shù)講課與報(bào)告結(jié)合1042.3平坦模與弱維數(shù)講課與報(bào)告結(jié)合第一章范疇與函子及其在模論中的應(yīng)用一、學(xué)習(xí)目的通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)掌握范疇論中的最基本的一些概念與基本的結(jié)果。范疇、函子、正合性、直和、直積概念、性質(zhì)，特殊函子Hom與的正合性等。二、課程內(nèi)容11范疇介紹范疇的概念。一般范疇的基本性質(zhì)，始對(duì)象、終對(duì)象、零對(duì)象的概念和它們?cè)诜懂犞械淖饔?、唯一性?2函子與自然變換介紹研究?jī)蓚€(gè)范疇間關(guān)系或同一范疇內(nèi)在聯(lián)系的一種重要工具函子，它的概念，簡(jiǎn)單性質(zhì)和幾種特殊的函子。另外介紹了研究?jī)蓚€(gè)函子間關(guān)系的自然變換

5、，它的定義和簡(jiǎn)單性質(zhì)。13環(huán)模的張量積與函子介紹模的概念，它的簡(jiǎn)單性質(zhì)。張量積以及張量函子的定義和它們具有的性質(zhì)。14模正合列與圖追蹤法介紹模正合列的概念和基本性質(zhì)，圖追蹤的方法。15函子Hom與的正合性介紹正合函子（左正合、右正合）的概念，討論兩類特殊的函子Hom與張量函子的正合性，事實(shí)上Hom函子是左正合的而張量函子是右正合的。16直和與直積介紹模的直和、直積的定義。直和的泛性質(zhì)，直積的泛性質(zhì)。17預(yù)加法范疇中Hom、與直和、直積的關(guān)系預(yù)加法范疇、加法范疇的概念。討論預(yù)加法范疇中Hom、與直和、直積的關(guān)系。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1.范疇與函子的定義及其基本結(jié)果。2.正

6、合列的概念與圖追蹤法，Hom、與函子的定義和它們的正合性。3.熟悉同調(diào)代數(shù)研究的基本技巧。（二）教學(xué)手段課堂講授與學(xué)生報(bào)告討論相結(jié)合四、思考與練習(xí)（注：思考與練習(xí)的形式有教師自行確定）第二章特殊模與其相應(yīng)的維數(shù)一、學(xué)習(xí)目的投射模、*模和平坦模是環(huán)模論中最常見(jiàn)也是最基本的三大模類。投射模與*模有著豐富的對(duì)偶性，*模與平坦模之間也有著內(nèi)在的聯(lián)系，它們是同調(diào)代數(shù)和模論的主要研究對(duì)象。通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，我們要掌握這三種特殊的模的定義和一些基本的性質(zhì)，熟悉利用模對(duì)這三種特殊模的分解而給出的三種同調(diào)不變量，并在此基礎(chǔ)上給出了環(huán)的同調(diào)維數(shù)整體維數(shù)與弱維數(shù)，它們?cè)诳坍嫮h(huán)的性質(zhì)上起到了相當(dāng)大的作用。二、課程內(nèi)容2

7、1投射模與投射維數(shù)介紹一類特殊的模投射模的概念、性質(zhì)。通過(guò)模對(duì)投射模的投射分解給出模的左（右）投射維數(shù)，從而定義環(huán)的左（右）整體維數(shù)概念。并介紹了關(guān)于投射維數(shù)的一些結(jié)果。22*模與*維數(shù)介紹*模的概念和性質(zhì)。利用模對(duì)*模的分解給出模的左（右）*維數(shù)概念，從而定義環(huán)的左（右）*整體維數(shù)，并介紹了*模與投射模之間的對(duì)偶性。23平坦模與弱維數(shù)介紹平坦模的概念和基本性質(zhì)，以及利用模的平坦分解而定義的左（右）平坦維數(shù)和環(huán)的弱維數(shù)的概念和性質(zhì)，并介紹了平坦模與投射模、*模之間的聯(lián)系。三、重點(diǎn)、難點(diǎn)提示和教學(xué)手段（一）重點(diǎn)、難點(diǎn)1.三種特殊模的概念和性質(zhì)。2.三種模之間的聯(lián)系，尤其是投射模與*模之間的對(duì)偶性。3.利用模對(duì)三種特殊模的分解和定義同調(diào)不變量維數(shù)的方法，幾種維數(shù)之間的關(guān)系。（二）