《泛函分析》教學大綱

1、 泛函分析教學大綱前言泛函分析課程是數(shù)學和應用數(shù)學專業(yè)的必修課程，是現(xiàn)代數(shù)學中一個較新的重要分支，它綜合運用分析、代數(shù)和幾何的觀點與方法來研究分析學中的許多問題由于運用泛函分析這個工具，引起了微分方程、概率論、群上調和分析的重大發(fā)展，使得泛函分析的概念和方法已經滲透現(xiàn)代純粹及應用數(shù)學、理論物理學、力學、工程理論等許多分支泛函分析是一門重要的數(shù)學基礎課,這一門課掌握的情況直接影響到將來能否從事高水平的科學研究設置本課程的目的是：使學習者在全面了解泛函分析歷史、現(xiàn)狀與發(fā)展趨勢的基礎上，運用泛函分析的理論和方法進一步研究無限維空間的結構通過教學，使學生了解和掌握這一學科的基本概念，理論，培養(yǎng)學生的理

2、論思維能力，為從事數(shù)學學科的教學和研究打下一定的理論基礎學習本課程的要求是：泛函分析是綜合運用高等代數(shù)、數(shù)學分析、實變函數(shù)和微分方程的課程,從而為進一步從事科學研究做準備因此學生必須深刻理解并牢固掌握泛函分析的基本概念、重要定理和證明這些定理的思想方法,培養(yǎng)學生的對無窮維空間的認識，使學生掌握泛函分析的基本思想和基本內容，開闊學生的眼界，豐富學生的數(shù)學知識先修課程要求：高等代數(shù)，數(shù)學分析，實變函數(shù)本課程計劃：周4學時計72學時，4學分選用教材：劉炳初編著，泛函分析，科學出版社，2000教學手段：講解為主，講解和討論相結合考核方法：考試教學進程安排表周次學時數(shù)教學主要內容教學方法備注14介紹泛函

3、分析的研究對象及主要內容；引入距離的定義，并介紹常見的距離空間；介紹按距離收斂的定義及按距離收斂的性質講課24講解作業(yè)和習題；介紹距離空間中開集和閉集、稠密、可分的概念和性質，常見的可分空間講課，習題課34介紹Cauchy列的定義，完備距離空間的定義及性質，常見的完備的距離空間，閉球套定理，疏集的定義，第一綱集和第二綱集距離空間的完備化；壓縮映射原理及其應用講課46距離空間中緊性的基本概念和性質；Ca,b中列緊的判別法的重要定理：Arzela定理講解課后習題講課，習題課5國慶節(jié)放假64賦范空間的基本概念；Holder和Minkowski不等式及由此引入的P方可積函數(shù)空間講課74賦范空間的性質及有限維賦范空間的性質講課84講解作業(yè)及部分課后習題習題課94有界線性算子及有界線性泛函講課104一致有界定理；逆算子的定義及線性算子譜的概念講課114開映射定理、閉圖象定理Hahn-Banach定理及其推論講課124某些賦范空間上有界線性泛函的一般形式講課134自反性、弱收斂講課144緊算子的定義及性質；講解作業(yè)及部分課后習題講課，習題課1