同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集

1、工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集第一章 行列式1. 利用對角線法則計算下列三階行列式:2 0 1 (1) 1 4 1 ; 1 8 3解2 0 1 1 4 1 1 8 3 =2(4)3+0(1)(1)+118 0132(1)81(4)(1) =24+8+164=4.a b c (2) b c a ; c a b解a b c b c a c a b =acb+bac+cbabbbaaaccc =3abca3b3c3.1 1 1 (3) a b c ; a 2 b2 c 2解1 1 1 a b c a 2 b2 c 2成都大學詩葉子制作-1-工程數(shù)學-線性代

2、數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集=bc2+ca2+ab2ac2ba2cb2 =(ab)(bc)(ca).x y x+ y (4) y x + y x . x+ y x y解x y x+ y y x+ y x x+ y x y =x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yxy3(x+y)3x3 =3xy(x+y)y33x2 yx3y3x3 =2(x3+y3).2. 按自然數(shù)從小到大為標準次序 , 求下列各排列的逆序 數(shù): (1)1 2 3 4; 解 解 解 解 逆序數(shù)為 0 逆序數(shù)為 4: 41, 43, 42, 32. 逆序數(shù)為 5: 3 2, 3 1, 4 2,

3、4 1, 2 1. 逆序數(shù)為 3: 2 1, 4 1, 4 3. (2)4 1 3 2; (3)3 4 2 1; (4)2 4 1 3; (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n);成都大學詩葉子制作-2-工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集解 逆序數(shù)為 3 2 (1 個) 5 2, 5 4(2 個) 7 2, 7 4, 7 6(3 個) (2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1 個) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2. 解 逆序數(shù)為 n(n1) : 3 2(1 個) 5 2, 5 4 (2 個)

4、(2n1)2, (2n1)4, (2n1)6, , (2n1)(2n2) (n1 個) 4 2(1 個) 6 2, 6 4(2 個) (2n)2, (2n)4, (2n)6, , (2n)(2n2) (n1 個) 3. 寫出四階行列式中含有因子 a11a23 的項. 解 含因子 a11a23 的項的一般形式為 (1)ta11a23a3ra4s,n(n 1) : 2成都大學詩葉子制作-3-工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集其中 rs 是 2 和 4 構成的排列, 這種排列共有兩個, 即 24 和 42. 所以含因子 a11a23 的項分別是 (1)ta11

5、a23a32a44=(1)1a11a23a32a44=a11a23a32a44, (1)ta11a23a34a42=(1)2a11a23a34a42=a11a23a34a42. 4. 計算下列各行列式:4 1 (1) 10 0 1 2 5 1 2 0 2 1 4 2; 0 7解4 1 10 01 2 5 12 0 2 14 c2 c3 4 2 = 1 0 10 7 c4 7c3 01 2 3 02 0 2 110 4 1 10 2 4+3 1 2 14 = 10 3 2 (1) 14 04 1 10 c2 + c3 9 9 10 = 1 2 2 = 0 0 2 = 0 . 10 3 14 c1

6、 + 1 c3 17 17 14 22 3 (2) 1 5 1 1 2 0 2 3 1 5 4 2 3 6 1 1; 2 2 4 2 3 6 1 c4 c2 2 1 = 3 2 1 2 5 1 1 2 0 4 2 3 6 0 r4 r2 2 2 = 3 1 0 2 2解1 1 2 01 1 2 14 2 3 40 2 0 0r4 r1 2 3 = 1 01 1 2 04 2 3 00 2 0 =0 . 0成都大學詩葉子制作-4-工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 ab ac ae (3) bd cd de ; bf cf ef解 ab ac ae b c

7、 e bd cd de = adf b c e bf cf ef b c e 1 1 1 = adfbce 1 1 1 = 4abcdef . 1 1 1a 1 (4) 0 01 b 1 00 1 c 10 0 1. d 0 r1 + ar2 0 1+ ab 0 1 b 1 = 0 1 d 0 0 a 1 c 1 0 0 1 d解a 1 0 01 b 1 00 1 c 11+ ab a 0 c3 + dc2 1+ ab a ad = (1)(1) 1 c 1 = 1 c 1+ cd 0 1 d 0 1 02+1ad = (1)(1)3+ 21+ ab 1+ cd =abcd+ab+cd+ad+

8、1. 15. 證明:a2 ab b2 (1) 2a a + b 2b =(ab)3; 1 1 1證明成都大學詩葉子制作-5-工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集a2 ab b2 c2 c1 a2 ab a2 b2 a2 2a a + b 2b = 2a b a 2b 2a 0 0 1 1 1 c3 c1 1= (1)3+1 ab a ba2b2 a2 = (b a)(b a) a b + a =(ab)3 . 1 2 2b 2aax + by ay + bz az + bx x y z 3 3 (2) ay + bz az + bx ax + by = (

9、a + b ) y z x ; az + bx ax + by ay + bz z x y 證明 ax + by ay + bz az + bx ay + bz az + bx ax + by az + bx ax + by ay + bz x ay + bz az + bx y ay + bz az + bx = a y az + bx ax + by + b z az + bx ax + by z ax + by ay + bz x ax + by ay + bz x ay + bz z y z az + bx 2 = a y az + bx x + b z x ax + by z ax

10、+ by y x y ay + bz2x y z y z x 3 =a y z x +b z x y z x y x y z3x y z x y z 3 =a y z x +b y z x z x y z x y3x y z = (a + b ) y z x . z x y3 3成都大學詩葉子制作-6-工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集(a +1)2 (b +1)2 (c +1)2 (d +1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2 (a + 3)2 (b + 3)2 =0 ; (c + 3)2 (d + 3)2 (a

11、 + 3)2 (b + 3)2 (c c , c c , c c 得) (c + 3)2 4 3 3 2 2 1 (d + 3)2a2 b2 (3) 2 c d2證明a2 b2 c2 d2 (a +1)2 (b +1)2 (c +1)2 (d +1)2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 (d + 2)2a2 2 = b2 c d2 a2 2 = b2 c d21 a (4) a 2 a4 1 b b2 b42a +1 2b +1 2c +1 2d +1 2a +1 2b +1 2c +1 2d +11 c c2 c4 1 d d2 d42a + 3 2b + 3 2c +

12、3 2d + 3 2 2 2 22a + 5 2b + 5 (c c , c c 得) 2c + 5 4 3 3 2 2d + 52 2 =0 . 2 2=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d); 證明1 a a2 a4 1 b b2 b4 1 c c2 c4 1 d d2 d4成都大學詩葉子制作-7-工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集1 1 1 1 0 ba ca d a = 0 b(b a) c(c a) d (d a) 2 2 2 2 2 2 0 b (b a ) c (c a ) d 2(d 2 a2)= (b a)(

13、c a)(d a)1 1 1 b c d b2(b + a) c2(c + a) d 2(d + a)1 1 1 = (b a)(c a)(d a) 0 c b d b 0 c(c b)(c + b + a) d (d b)(d + b + a)1 = (b a)(c a)(d a)(c b)(d b) c(c +1 + a) d (d + b + a) b=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(a+b+c+d).x 0 (5) 0 an 1 x 0 an1 0 1 0 an2 0 0 0 0 L =xn+a1xn1+ +an1x+an . x 1 a2 x + a1證明用數(shù)學歸納

14、法證明.x 當 n=2 時, D2 = a x1 = x2 + a1x + a2 , 命題成立. + a1 2假設對于(n1)階行列式命題成立, 即Dn1=xn1+a1 xn2+ +an2x+an1,則 Dn 按第一列展開, 有Dn = xDn1 + an (1)n +11 0 0 0 x 1 0 0 1 1 x 1成都大學詩葉子制作-8-工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集=xD n1+an=xn+a1xn1+ +an1x+an . 因此, 對于 n 階行列式命題成立. 6. 設 n 階行列式 D=det(aij), 把 D 上下翻轉、 或逆時針旋轉 9

15、0、或依副對角線翻轉, 依次得an1 ann D1 = , a11 a1n a1n ann ann a1n D2 = , D3 = , a11 an1 an1 a11證明 D1 = D2 = (1) 證明n(n 1) 2D , D3=D . 因為 D=det(aij), 所以a11 an1 ann D1 = = (1)n 1 an1 a11 a1n a21 a11 a21 n 1 n 2 = (1) (1) an1 a31 a1n ann a2na1n a2n ann = a3nn(n 1) 2= (1)1+ 2+ +(n 2)+(n1) D = (1)D.同理可證D2 = (1)n(n 1)

16、 2a11 an1 n(n 1) n(n 1) = (1) 2 DT = (1) 2 D . a1n ann成都大學詩葉子制作-9-工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集D3 = (1)n(n 1) 2D2 = (1)n(n 1) 2(1)n(n 1) 2D = (1)n(n1) D = D .7. 計算下列各行列式(Dk 為 k 階行列式): (1) Dn =a 1 1 a , 其中對角線上元素都是 a, 未寫出的元素都是 0; 解a 0 Dn = 0 0 1 0 a 0 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 0n 0 0 0 a 0 0 0 0 a1

17、0 0 (按第 n 行展開) 0 a 1 a 0 2n + (1) a 0 a (n1)(n1) 0 (n1)(n1) + an =anan2=an2(a21).0 a = (1)n+1 0 0n +10 0 0 0 a = (1) (1)a (n2)(n2)x a (2) Dn = aa x a a a ; x成都大學詩葉子制作- 10 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集解 將第一行乘(1)分別加到其余各行, 得x a a a x xa 0 Dn = a x 0 x a ax 0 0 a 0 0 , 0 xa再將各列都加到第一列上, 得x + (n

18、1)a a a 0 xa 0 Dn = 0 0 x a 0 0 0 a 0 n1 0 =x+(n1)a(xa) . 0 xaan (a 1)n an1 (a 1)n1 (3) Dn+1 = a a 1 1 1解 (a n)n (a n)n1 ; an 1 1 an (a n)n 1 (a n)n根據(jù)第 6 題結果, 有Dn+1 = (1)n(n +1) 21 1 a a 1 a n1 (a 1)n1 a n (a 1)n此行列式為范德蒙德行列式.Dn+1 = (1)= (1)n(n+1) 2n+1i j 1(a i +1) (a j +1)n(n +1) 2n +1i j 1(i j)成都大學

19、詩葉子制作- 11 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集= (1)=n(n +1) 2 (1)n + (n 1)+ +1 2n +1i j 1(i j)n +1i j 1(i j) . bn ; dnan (4) D2n =cna1 b1 c1 d1解an D2n = cn bn (按第 1 行展開) dna1 b1 c1 d1an1 = an cn1 0 a1 b1 c1 d1 L bn1 0dn1 0 0 dn成都大學詩葉子制作- 12 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集0 an1 + (1)2n+1bn c

20、n1 cn bn1a1 b1 c1 d 1.d n1 0再按最后一行展開得遞推公式 D2n=andnD2n2bncnD2n2, 即 D2n=(andnbncn)D2n2. 于是 而 所以D2n = (aidi bici )D2 .i =2 nD2 =a1 b1 = a d b c , c1 d1 1 1 1 1n i =1D2n = (aidi bici ) .(5) D=det(aij), 其中 aij=|ij|;解aij=|ij|,0 1 Dn = det(aij ) = 2 3 n 1 1 2 3 0 1 2 1 0 1 2 1 0 n 2 n 3 n 4 n 1 n2 n 3 n4 0

21、1 1 r1 r2 1 = 1 r2 r3 n 11 1 1 1 n21 1 1 1 1 1 1 1 n 3 n 4 1 1 1 1 0成都大學詩葉子制作- 13 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集1 c2 + c1 1 = 1 c3 + c1 1 n 11+ a1 1 (6) Dn = 1 1+ a2 1 10 0 0 2 0 0 2 2 0 2 2 2 2n 3 2n 4 2n 5 0 0 0 0 n 1=(1)n1(n1)2n2. 1 1 , 其中 a a a 0. 1 2 n 1+ an解1+ a1 1 Dn = 1 1+ a2 1 1 1 1

22、 1+ ana1 c1 c2 a2 = 0 c2 c3 0 00 a2 a3 0 00 0 a3 0 0 0 0 0 an1 00 1 0 1 0 1 an1 1 an 1+ an1 1 = a1a2 an 0 0 00 1 1 0 00 0 1 0 0 0 0 0 1 00 a11 0 a2 1 0 a3 1 1 1 an1 1 1+ an 1成都大學詩葉子制作- 14 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集1 0 0 = a1a2 an 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 a11 a2 1 a3 1 1 an1n i =

23、10 0 0 0 0 1+ ai1= (a1a2Lan )(1+ 1 ) . i =1 ai 8. 用克萊姆法則解下列方程組:x1 + x2 + x3 + x4 = 5 x + 2x2 x3 + 4x4 = 2 (1) 1 ; 2x1 3x2 x3 5x4 = 2 3x + x + 2x +11x = 0 1 2 3 4n解因為1 1 D= 2 3 1 2 3 1 1 1 1 2 1 4 5 = 142 , 11 1 1 4 = 142 , D = 1 2 5 2 11 3 5 2 2 0 1 1 1 2 1 4 5 = 284 , 115 2 D1 = 2 0 1 1 D3 = 2 31 2

24、 3 11 1 1 21 2 3 15 2 2 01 1 4 = 426 , D = 1 4 2 5 11 31 2 3 11 1 1 25 2 =142 , 2 0成都大學詩葉子制作- 15 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集所以x1 = D D1 D D =1 , x2 = 2 = 2 , x3 = 3 = 3 , x4 = 4 = 1. D D D D=1 5x1 + 6x2 =0 x1 + 5x2 + 6x3 x2 + 5x3 + 6x4 = 0 . (2) x3 + 5x4 + 6x5 = 0 x4 + 5x5 =1 解 因為5 1 D= 0

25、 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 0 6 5 1 0 0 0 = 665 , 6 51 0 D1 = 0 0 1 5 1 D3 = 0 0 0 5 1 D5 = 0 0 06 5 1 0 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 00 6 5 1 0 1 0 0 0 1 0 6 5 1 00 0 6 5 1 0 0 6 5 1 0 0 6 5 10 5 0 1 0 =1507 , D2 = 0 6 0 5 0 0 5 0 1 0 = 703 , D4 = 0 6 0 5 0 1 0 0 = 212 , 0 11 0 0 0 1 6 5 1 0 00 6 5 1 0 0 6 5

26、 1 00 0 6 5 1 1 0 0 0 10 0 0 = 1145 , 6 5 0 0 0 = 395 , 6 5所以成都大學詩葉子制作- 16 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集x1 = 1507 , x2 = 1145 , x3 = 703 , x4 = 395 , x4 = 212 . 665 665 665 665 665 x1 + x2 + x3 = 0 9. 問 , 取何值時, 齊次線性方程組 x1 + x2 + x3 = 0 有非 x1 + 2x2 + x3 = 0 零解？ 解 系數(shù)行列式為 1 1 D = 1 1 = . 1 2 1

27、令 D=0, 得=0 或 =1.于是, 當 =0 或 =1 時該齊次線性方程組有非零解.(1 ) x1 2x2 + 4x3 = 0 10. 問 取何值時, 齊次線性方程組 2x1 + (3 )x2 + x3 = 0 x1 + x2 + (1 ) x3 = 0 有非零解？ 解 系數(shù)行列式為1 2 41 3 + 4 D = 2 3 1 = 2 1 1 1 1 1 1 0 1 =(1)3+(3)4(1)2(1)(3) =(1)3+2(1)2+3.成都大學詩葉子制作- 17 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集令 D=0, 得=0, =2 或 =3.于是, 當

28、=0, =2 或 =3 時, 該齊次線性方程組有非零解.第二章 1. 已知線性變換:矩陣及其運算x1 = 2 y1 + 2 y2 + y3 x2 = 3 y1 + y2 + 5 y3 , x3 = 3 y1 + 2 y2 + 3 y3 求從變量 x1, x2, x3 到變量 y1, y2, y3 的線性變換. 解 由已知: x1 2 2 1 y1 x = 3 1 5 y , x2 3 2 3 y2 2 3 故1 y1 2 2 1 x1 7 4 9 y1 y = 3 1 5 x = 6 3 7 y , y2 3 2 3 x2 3 2 4 y2 3 3 2 y1 = 7 x1 4x2 + 9x3

29、y2 = 6x1 + 3x2 7 x3 . y3 = 3x1 + 2x2 4x3 2. 已知兩個線性變換成都大學詩葉子制作- 18 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集x1 = 2 y1 + y3 x2 = 2 y1 + 3 y2 + 2 y3 , x3 = 4 y1 + y2 + 5 y3 解 由已知 x1 2 0 1 y1 2 0 1 3 1 x = 2 3 2 y = 2 3 2 2 0 x2 4 1 5 y2 4 1 5 0 1 2 3 6 1 3 z1 = 12 4 9 z2 , 10 1 16 z 3 0 z1 1 z2 3 z3 y1 =

30、3z1 + z2 y2 = 2z1 + z3 , y3 = z2 + 3z3 求從 z1, z2, z3 到 x1, x2, x3 的線性變換.x1 = 6z1 + z2 + 3z3 所以有 x2 =12z1 4z2 + 9z3 . x3 = 10z1 z2 +16z3 1 1 1 1 2 3 1 1 1 , B = 1 2 4 , 求 3AB2A 及 ATB. 3. 設 A = 1 1 1 0 5 1 解1 1 1 1 2 3 1 1 1 3AB 2 A = 31 1 1 1 2 4 21 1 1 1 1 1 0 5 1 1 1 1 0 5 8 1 1 1 2 13 22 = 3 0 5 6

31、 21 1 1 = 2 17 20 , 2 9 0 1 1 1 4 29 2 1 1 1 1 2 3 0 5 8 A B = 1 1 1 1 2 4 = 0 5 6 . 1 1 1 0 5 1 2 9 0 T4. 計算下列乘積:成都大學詩葉子制作- 19 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 4 3 1 7 (1) 1 2 3 2 ; 5 7 0 1 解 4 3 1 7 4 7 + 3 2 +11 35 1 2 3 2 = 1 7 + (2) 2 + 31 = 6 . 5 7 0 1 5 7 + 7 2 + 01 49 3 (2) (1 2 3) 2 ;

32、 1 解 3 (1 2 3) 2 =(13+22+31)=(10). 1 2 (3) 1 (1 2) ; 3 解 2 (1) 2 2 2 2 1 (1 2) = 1 (1) 1 2 = 1 3 3 (1) 3 2 3 3 1 3 0 1 2 ; 1 2 4 2 . 6 1 (4) 2 1 4 0 0 1 1 3 4 1 4解1 2 1 4 0 0 1 1 3 4 1 43 1 3 01 2 = 6 7 8 . 1 20 5 6 2 a11 a12 a13 x1 (5) ( x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2 ; a13 a23 a33 x3 成都大學詩葉子制作- 20 -工程數(shù)學

33、-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集解 a11 a12 a13 x1 ( x1 x2 x3) a12 a22 a23 x2 a13 a23 a33 x3 =(a11x1+a12x2+a13x3 a12x1+a22x2+a23x3 x1 a13x1+a23x2+a33x3) x2 x 32 2 = a11x12 + a22 x2 + a33x3 + 2a12 x1x2 + 2a13x1x3 + 2a23x2 x3 .5. 設 A = 1 1 2 , B = 1 1 3 0 , 問: 2 (1)AB=BA 嗎?解ABBA. 4 , BA = 1 2 , 所以 ABBA

34、. 3 8 6 因為 AB = 3 4 解(2)(A+B)2=A2+2AB+B2 嗎? (A+B)2A2+2AB+B2. 2 , 5 2 2 5 2 2 = 8 14 , 5 14 29 0 = 10 16 , 4 15 27 因為 A + B = 2 2 ( A + B)2 = 2 2 但A2 + 2 AB + B2 = 3 8 + 6 8 + 1 4 11 8 12 3 所以(A+B)2A2+2AB+B2.成都大學詩葉子制作- 21 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集(3)(A+B)(AB)=A2B2 嗎? 解 (A+B)(AB)A2B2.2 ,

35、A B = 0 0 5 2 0 5 0 2 , 1 6 , 9 因為 A + B = 2 2 ( A + B)( A B) = 2 2 2 = 0 1 0 8 , 7 而A2 B2 = 3 8 1 0 = 2 4 11 3 4 1 故(A+B)(AB)A2B2.6. 舉反列說明下列命題是錯誤的: (1)若 A2=0, 則 A=0;解 取 A = 0 1 , 則 A2=0, 但 A0. 0 0 (2)若 A2=A, 則 A=0 或 A=E;解 取 A=1 0 解 取1 , 則 A2=A, 但 A0 且 AE. 0 (3)若 AX=AY, 且 A0, 則 X=Y . A = 1 0 , X = 1

36、 1 , Y = 1 1 , 0 0 1 1 0 1 則 AX=AY, 且 A0, 但 XY .7. 設 A = 1 0 , 求 A2, A3, , Ak. 1 成都大學詩葉子制作- 22 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集解 A2 = 1 0 1 0 = 1 0 , 1 1 2 1 A3 = A2 A = 1 0 1 0 = 1 0 , 2 1 1 3 1 ,Ak = 1 0 . k 1 1 0 8. 設 A = 0 1 , 求 Ak . 0 0 解首先觀察 1 0 1 0 2 2 1 A = 0 1 0 1 = 0 2 2 , 0 0 0 0 0

37、0 2 2 3 32 3 A3 = A2 A = 0 3 32 , 0 0 3 4 43 62 A4 = A3 A = 0 4 43 , 0 0 4 5 54 103 A5 = A4 A = 0 5 54 , 0 0 5 ,成都大學詩葉子制作- 23 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 k kk 1 k (k 1) k 2 2 Ak = 0 k kk 1 0 0 k . 用數(shù)學歸納法證明: 當 k=2 時, 顯然成立. 假設 k 時成立，則 k+1 時， k kk 1 k (k 1) k 2 1 0 2 Ak +1 = Ak A = 0 k kk 1

38、0 1 0 0 0 0 k k +1 (k +1)k 1 (k +1)k k 1 2 = 0 (k +1)k 1 , k +1 0 k +1 0 由數(shù)學歸納法原理知: k kk 1 k (k 1) k 2 2 0 k Ak = kk 1 . 0 0 k 9. 設 A, B 為 n 階矩陣，且 A 為對稱矩陣，證明 BTAB 也是對稱矩陣. 證明 因為 AT=A, 所以成都大學詩葉子制作- 24 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集(BTAB)T=BT(BTA)T=BTATB=BTAB, 從而 BTAB 是對稱矩陣. 10. 設 A, B 都是 n 階對稱

39、矩陣， 證明 AB 是對稱矩陣的充分 必要條件是 AB=BA. 證明 充分性: 因為 AT=A, BT=B, 且 AB=BA, 所以 (AB)T=(BA)T=ATBT=AB, 即 AB 是對稱矩陣. 必要性: 因為 AT=A, BT=B, 且(AB)T=AB, 所以 AB=(AB)T=BTAT=BA. 11. 求下列矩陣的逆矩陣: (1) 1 2 解2 ; 5 2 . |A|=1, 故 A1 存在. 因為 5 A=1 2 A A A* = 11 21 = 5 2 , A A 2 1 12 22 故A1 = 1 A* = 5 2 . 2 1 | A| (2) cos sin ; sin cos

40、解A = cos sin . |A|=10, 故 A1 存在. 因為 sin cos 成都大學詩葉子制作- 25 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集A A A* = 11 21 = cos sin , A A sin cos 12 22 所以A1 = 1 A* = cos sin . sin cos | A| 1 2 1 (3) 3 4 2 ; 5 4 1 解 1 2 1 A = 3 4 2 . |A|=20, 故 A1 存在. 因為 5 4 1 A11 A21 A31 4 2 0 A* = A12 A22 A32 = 13 6 1 , A13 A23

41、 A33 32 14 2 所以 2 1 0 1 A* = 13 3 1 . A1 = 2 | A| 2 16 7 1 a1 a 0 2 (4) (a1a2 an 0) . 0 O an 解 a1 0 a 2 A= , 由對角矩陣的性質知 O 0 an 成都大學詩葉子制作- 26 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集1 a 1 0 1 a 1 2 . A = O 1 0 an 12. 解下列矩陣方程: (1) 2 1 5 X = 4 6 ; 2 1 3 解X =2 1 5 4 6 = 3 5 4 6 = 2 23 . 3 2 1 1 2 2 1 0 8 1

42、 2 1 1 1 1 3 (2) X 2 1 0 = 4 3 2 ; 1 1 1 解 2 1 1 1 1 3 2 1 0 X = 4 3 2 1 1 1 11 0 1 1 1 1 3 2 3 2 = 4 3 2 3 3 0 3 2 2 1 = 8 5 2 . 3 3(3) 1 4 X 2 0 = 3 1 ; 1 2 1 1 0 1 解X = 1 1 4 3 1 2 2 0 1 1 10 1 1成都大學詩葉子制作- 27 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集= 1 2 4 3 1 1 0 12 1 1 0 11 2 = 1 6 12 3 6 1 0 1 0

43、 = 1 1 . 1 2 0 4 0 1 0 1 0 0 1 4 3 (4) 1 0 0 X 0 0 1 = 2 0 1 . 0 0 1 0 1 0 1 2 0 解 0 1 0 1 4 3 1 0 0 X = 1 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 1 1 2 0 0 1 0 11 0 1 0 1 4 3 1 0 0 2 1 0 = 1 0 0 2 0 1 0 0 1 = 1 3 4 . 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 0 2 13. 利用逆矩陣解下列線性方程組: x1 + 2x2 + 3x3 =1 (1) 2x1 + 2x2 + 5x3 = 2 ; 3x1 + 5x2 + x3

44、= 3 解方程組可表示為 1 2 3 x1 1 2 2 5 x = 2 , 3 5 1 x2 3 3 故 x1 1 2 3 1 1 x = 2 2 5 2 = 0 , x2 3 5 1 3 0 3 1成都大學詩葉子制作- 28 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集從而有 x1 =1 x2 = 0 . x3 = 0 x1 x2 x3 = 2 (2) 2x1 x2 3x3 =1 . 3x1 + 2x2 5x3 = 0 解方程組可表示為 1 1 1 x1 2 2 1 3 x = 1 , 3 2 5 x2 0 3 故 x1 1 1 1 2 5 x = 2 1 3

45、 1 = 0 , x2 3 2 5 0 3 3 x1 = 5 x2 = 0 . x3 = 3 1故有14. 設 Ak=O (k 為正整數(shù)), 證明(EA)1=E+A+A2+ +Ak1.證明 所以因為 Ak=O , 所以 EAk=E. 又因為 EAk=(EA)(E+A+A2+ +Ak1),(EA)(E+A+A2+ +Ak1)=E, (EA)1=E+A+A2+ +Ak1.由定理 2 推論知(EA)可逆, 且證明一方面, 有 E=(EA)1(EA).成都大學詩葉子制作- 29 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集另一方面, 由 Ak=O, 有 E=(EA)+(

46、AA2)+A2 Ak1+(Ak1Ak) =(E+A+A2+ +A k1)(EA), 故 (EA)1(EA)=(E+A+A2+ +Ak1)(EA), (EA)1(EA)=E+A+A2+ +Ak1. 15. 設方陣 A 滿足 A2A2E=O, 證明 A 及 A+2E 都可逆, 并 求 A1 及(A+2E)1. 證明 由 A2A2E=O 得 A2A=2E, 即 A(AE)=2E, 或A 1 ( A E) = E , 2兩端同時右乘(EA)1, 就有由定理 2 推論知 A 可逆, 且 A1 = 1 ( A E) . 2 由 A2A2E=O 得A2A6E=4E, 即(A+2E)(A3E)=4E,或( A

47、 + 2E) 1 (3E A) = E 4由定理 2 推論知(A+2E)可逆, 且 ( A + 2E)1 = 1 (3E A) . 4 證明 由 A2A2E=O 得 A2A=2E, 兩端同時取行列式得成都大學詩葉子制作- 30 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集|A2A|=2, 即 故 由 |A|AE|=2, |A|0, A2A2E=O A(AE)=2E A1A(AE)=2A1E A1 = 1 ( A E) , 2 又由 A2A2E=O(A+2E)A3(A+2E)=4E (A+2E)(A3E)=4 E, 所以 (A+2E)1(A+2E)(A3E)=4(

48、A+2 E)1,( A + 2E)1 = 1 (3E A) . 4 16. 設 A 為 3 階矩陣, | A|= 1 , 求|(2A)15A*|. 2 解 因為 A1 = 1 A* , 所以 | A| (2 A)1 5 A*|=| 1 A1 5| A| A1 | =| 1 A1 5 A1 | 2 2 2 =|2A1|=(2)3|A1|=8|A|1=82=16.所以 A 可逆, 而 A+2E=A2, |A+2E|=|A2|=|A|20, 故 A+2E 也可逆.17. 設 矩 陣 A 可 逆 , 證 明 其 伴 隨 陣 A* 也 可 逆 , 且 (A*)1=(A1)*.證明由 A1 = 1 A*

49、, 得 A*=|A|A1, 所以當 A 可逆時, 有 | A|A*|=|A|n|A1|=|A|n10,成都大學詩葉子制作- 31 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集從而 A*也可逆. 因為 A*=|A|A1, 所以 (A*)1=|A|1A. 又 A = 11 ( A1)*=| A| ( A1) * , 所以 |A |(A*)1=|A|1A=|A|1|A|(A1)*=(A1)*. 18. 設 n 階矩陣 A 的伴隨矩陣為 A*, 證明: (1)若|A|=0, 則|A*|=0; (2)|A*|=|A|n1.證明(1)用反證法證明. 假設|A*|0, 則有

50、A*(A*)1=E, 由此得 A=A A*(A*)1=|A|E(A*)1=O ,所以 A*=O, 這與|A*|0 矛盾，故當|A|=0 時, 有|A*|=0.(2)由于 A1 = 1 A* , 則 AA*=|A|E, 取行列式得到 | A| |A|A*|=|A|n.若|A|0, 則|A*|=|A|n1; 若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此時命題也成立. 因此|A*|=|A|n1.成都大學詩葉子制作- 32 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 0 3 3 19. 設 A = 1 1 0 , AB=A+2B, 求 B. 1 2 3 解由 AB=A

51、+2E 可得(A2E)B=A, 故 2 3 3 0 3 3 0 3 3 B = ( A 2E)1 A = 1 1 0 1 1 0 = 1 2 3 . 1 2 1 1 2 3 1 1 0 11 0 1 20. 設 A = 0 2 0 , 且 AB+E=A2+B, 求 B. 1 0 1 解 即由 AB+E=A2+B 得(AE)B=A2E, (AE)B=(AE)(A+E).0 0 1 因為 | A E |= 0 1 0 = 1 0 , 所以(AE)可逆, 從而 1 0 0 2 0 1 B = A + E = 0 3 0 . 1 0 2 21. 設 A=diag(1, 2, 1), A*BA=2BA8

52、E, 求 B.解由 A*BA=2BA8E 得(A*2E)BA=8E, B=8(A*2E)1A1 =8A(A*2E)1 =8(AA*2A)1成都大學詩葉子制作- 33 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集=8(|A|E2A)1 =8(2E2A)1 =4(E+A)1 =4diag(2, 1, 2)1 = 4diag( 1 , 1, 1 ) 2 2 =2diag(1, 2, 1).1 22. 已知矩陣 A 的伴隨陣 A* = 0 1 0 0 1 0 3 0 0 1 0 0 0 , 0 8 且 ABA1=BA1+3E, 求 B. 解 由|A*|=|A|3=8,

53、得|A|=2. 由 ABA1=BA1+3E 得AB=B+3A, B=3(AE)1A=3A(EA1)1A = 3(E 1 A*)1 = 6(2E A*)1 21 = 6 0 1 0 0 1 0 30 0 1 00 6 0 0 =0 6 0 6 0 6 0 3 10 0 6 00 0 . 0 1 23. 設 P1AP=, 其中 P = 1 4 , = 1 0 , 求 A11. 1 1 0 2 解由 P1AP=, 得 A=PP1, 所以 A11= A=P11P1.成都大學詩葉子制作- 34 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集|P|=3, P* = 1 1 而

54、 = 1 0 11 114 , P 1 = 1 1 4 , 1 3 1 1 0 = 1 0 , 2 0 211 故 1 4 A11 = 1 4 1 0 3 3 = 2731 2732 . 1 1 0 211 1 1 683 684 3 3 1 1 1 1 1 0 2 , = 1 , 24. 設 AP=P, 其中 P = 1 1 1 5 求(A)=A8(5E6A+A2). 解()=8(5E6+2)=diag(1,1,58)diag(5,5,5)diag(6,6,30)+diag(1,1,25) =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).(A)=P()P1=

55、1 P ()P * | P| 1 1 1 1 0 0 2 2 2 = 21 0 2 0 0 0 3 0 3 1 1 1 0 0 0 1 2 1 1 1 1 = 41 1 1 . 1 1 1 25. 設矩陣 A、B 及 A+B 都可逆, 證明 A1+B1 也可逆, 并成都大學詩葉子制作- 35 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集求其逆陣. 證明 因為 A1(A+B)B1=B1+A1=A1+B1, 而 A1(A+B)B1 是三個可逆矩陣的乘積, 所以 A1(A+B)B1 可逆, 即 A1+B1 可逆. (A1+B1)1=A1(A+B)B11=B(A+B)1

56、A.1 26. 計算 0 0 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 3 0 0 3 1 1 2 1 . 0 2 3 0 0 3 解 則 而設 A1 = 1 2 , A2 = 2 1 , B1 = 3 1 , B2 = 2 3 , 0 1 0 3 2 1 0 3 A1 E E B1 = A1 A1B1 + B2 , O A O B O A B 2 2 2 2 A1B1 + B2 = 1 0 A2 B2 = 2 0 2 3 1 + 2 3 = 5 2 , 1 2 1 0 3 2 4 1 2 3 = 4 3 , 3 0 3 0 9 2 5 2 1 2 4 , 0 4 3 0 0

57、 9 所以1 A1 E E B1 = A1 A1B1 + B2 = 0 O A O B O A B 0 2 2 2 2 0 1 0 0 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0 1 1 0 1 0 3 0 0 3 1 1 1 2 1 = 0 0 2 3 0 0 0 3 0 即2 5 2 1 2 4 . 0 4 3 0 0 9 成都大學詩葉子制作- 36 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集27. 取 A = B = C = D = 1 0 解1 A B= 0 C D 1 0 0 1 0 1 1 0 1 00 , 驗證 A B | A| | B | . 1

58、C D |C | | D | 0 2 1= 0 0 1 1 00 2 0 10 0 1 00 0 = 2 0 1 0 =4, 0 0 20 1 1而 故| A| | B | 1 1 = =0 , |C | | D | 1 1 A B | A| | B | . C D |C | | D |3 4 O 4 3 8 4 28. 設 A = , 求|A |及 A . 2 0 O 2 2 解 則 故令 A1 = 3 4 , A2 = 2 0 , 4 3 2 2 A O A= 1 , O A 2 A O A8 O A = 1 = 1 8 , O A O A 2 28 88 | A8 |=| A18 | A

59、2 |=| A1 |8| A2 |8 =1016 . 54 0 O 4 4 4 A 1 O = 0 5 A = . 4 4 O A2 O 26 04 2 2 29. 設 n 階矩陣 A 及 s 階矩陣 B 都可逆, 求成都大學詩葉子制作- 37 -工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集 同濟版 工程數(shù)學-線性代數(shù)第五版答案全集(1) O A ; B O 1C C 解 設 O A = 1 2 , 則 B O C C 3 4 O A C1 C2 = AC3 AC4 = En O . B O C C BC BC O E 3 4 1 s 2 1由此得 AC3 = En C3 = A1 AC4 = O C4

60、= O BC = O C = O , BC1 = E C1 = B1 2 s 2所以 O A = O B 1 . B O A1 O 11(2) A O . C B D D 解 設 A O = 1 2 , 則 C B D D 3 4AD2 En O A O D1 D2 = AD1 C B D D CD + BD CD + BD = O E . 3 4 1 3 2 4 s1由此得D1 = A1 AD1 = En AD2 = O D = O CD + BD = O D2 = B1CA1 , CD1 + BD3 = E D3 = B1 2 4 s 4O A O = A1 C B B 1CA1 B1 .